សញ្ញាតង់ស័រ និងមូលដ្ឋានគណិតវិទ្យា¶

ជំពូកនេះប្រមូលផ្ដុំក្បួនសញ្ញាតង់ស័រ សញ្ញាសន្ទស្សន៍ និងសញ្ញា Voigt ដែលប្រើក្នុងជំពូកបន្ទាប់នៃសៀវភៅដៃទ្រឹស្ដី FrontISTR។ នៅទីនេះពិភាក្សាតែ ក្បួនសញ្ញាសុទ្ធ ដែលមិនពឹងផ្អែកលើនិយមន័យបរិមាណរូបវន្ត។ ក្បួនសញ្ញាដែលពឹងផ្អែកលើការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធក្នុងចលនាមេឌៀបន្ត (ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង/បច្ចុប្បន្ន) ដូចជាការបែងចែកអក្សរធំ/តូច និងការបែងចែកដេរីវេសម្ភារៈពីដេរីវេតាមលំហ ត្រូវបានដាក់ក្នុង ចលនា ការខូចទ្រង់ទ្រាយ និងស្ត្រេន ដែលណែនាំគំនិតការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធ។

សញ្ញាតង់ស័រ¶

សញ្ញាវ៉ិចទ័រ និងតង់ស័រដោយអក្សរដិត¶

ជាគោលការណ៍អំពីទម្រង់អក្សរ បរិមាណស្កាលារ និង សមាសភាគ របស់វ៉ិចទ័រ/តង់ស័រត្រូវសរសេរជាអក្សរធម្មតា (ឧ. \(\rho\), \(x_i\)) ខណៈ បរិមាណវ៉ិចទ័រ/តង់ស័រខ្លួនវា ត្រូវសរសេរជាអក្សរដិត (ឧ. \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\))។

ក្បួនបង្រួម Einstein¶

លុះត្រាតែមានការបញ្ជាក់ផ្សេង ប្រសិនបើសន្ទស្សន៍ដូចគ្នាបង្ហាញពីរដងក្នុងតួដូចគ្នា អនុវត្តក្បួនបូក Einstein ដោយបូកតាមសន្ទស្សន៍នោះ។ ឧទាហរណ៍

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

សម្រាប់តង់ស័រ \(\boldsymbol{A}\) និង \(\boldsymbol{B}\) ផលគុណ \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) មានសមាសភាគ \(i,j\) ជា

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

តាមក្បួនសន្ទស្សន៍ លុះត្រាតែមានការបញ្ជាក់ផ្សេង នៅពេល \(i, j, k, l, \ldots\) ត្រូវបានប្រើជាសន្ទស្សន៍ វាមានន័យជាសន្ទស្សន៍ទាក់ទងនឹងដឺក្រេសេរីភាព (ក្នុង 3 វិមាត្រ គឺ \(1, 2, 3\)) ហើយនៅពេលអក្សរក្រិកតូច \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) ត្រូវបានប្រើ វាមានន័យជាសន្ទស្សន៍ទាក់ទងនឹងថ្នាំងបង្កើតធាតុ។

ផលគុណក្នុង, ត្រង់ស្ប៉ូស និងផលគុណតង់ស័រ¶

ត្រង់ស្ប៉ូសរបស់តង់ស័រ \(\boldsymbol{A}\) ត្រូវសរសេរ \(\boldsymbol{A}^T\)។ ផលគុណក្នុង (ការបង្រួមទ្វេ) របស់តង់ស័រលំដាប់ទី 2 \(\boldsymbol{A}\) និង \(\boldsymbol{B}\) ត្រូវសរសេរ

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

ផលគុណក្នុងរបស់វ៉ិចទ័រ \(\boldsymbol{a}\) និង \(\boldsymbol{b}\) គឺ \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\) ហើយផលគុណតង់ស័រគឺ \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\)។

សញ្ញា Voigt¶

ស្ត្រេស និងស្ត្រេន គឺជាតង់ស័រស៊ីមេទ្រីលំដាប់ទី 2 ទាក់ទងនឹងដឺក្រេសេរីភាព ហើយមេគុណដែលតំណាងទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែររវាងវាគឺជាតង់ស័រលំដាប់ទី 4។ ការដោះស្រាយវាដោយផ្ទាល់ក្នុងកម្មវិធីមិនមានប្រសិទ្ធភាពទាក់ទងនឹងបរិមាណគណនា និងការសរសេរកូដ (អារេពហុវិមាត្រ និងរង្វិលជុំជាន់ច្រើន)។ ដូច្នេះកម្មវិធីវិធីសាស្ត្រធាតុកំណត់ទូទៅ ប្រើស៊ីមេទ្រីដើម្បីបង្រួម ស្ត្រេស និងស្ត្រេនជាវ៉ិចទ័រជួរឈរ និង តង់ស័រអេលាស្ទិកលំដាប់ទី 4 ជាម៉ាទ្រីស 2 វិមាត្រ។ នេះហៅថាសញ្ញា Voigt។

ចាប់ពីនេះទៅ សញ្ញាម៉ាទ្រីស/វ៉ិចទ័ររបស់បរិមាណតង់ស័រ \(\boldsymbol{A}\) ត្រូវសរសេរ \(\hat{A}\) ដើម្បីបែងចែកពីតង់ស័រដើម។

សញ្ញាវ៉ិចទ័រសម្រាប់ស្ត្រេស និងស្ត្រេន¶

សម្រាប់តង់ស័រស្ត្រេសស៊ីមេទ្រី \(\boldsymbol{\sigma}\) និងតង់ស័រស្ត្រេន \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ក្នុងករណី 2 វិមាត្រ

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

ក្នុងករណី 3 វិមាត្រ

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

ត្រូវដោះស្រាយជាវ៉ិចទ័រជួរឈរដូចខាងលើ។ ក្បួនដូចគ្នាត្រូវអនុវត្តទៅបរិមាណដេរីវេដូចជា វ៉ារ្យាស្យុង និងដេរីវេ។ សូមកត់សម្គាល់ថា សមាសភាគកាត់របស់ស្ត្រេនមានមេគុណ 2 (ខាងស្ត្រេសមិនមាន)។ ដោយសារអស៊ីមេទ្រីនេះ ផលគុណក្នុងតង់ស័រអាចសរសេរជាផលគុណក្នុងវ៉ិចទ័រជា

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

ក្នុងការអនុវត្ត ងាយច្រឡំកត្តា 2 សម្រាប់សមាសភាគកាត់របស់ស្ត្រេន ដូច្នេះត្រូវចងចាំក្បួន «ស្ត្រេសមិនមាន / ស្ត្រេនមាន» ជានិច្ច។ ក្បួន Voigt ដូចគ្នានេះត្រូវអនុវត្តទាំងស្រុងទៅបរិមាណក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង (ស្ត្រេស Piola-Kirchhoff ទី 2 \(\boldsymbol{S}\) និង Green-Lagrange ស្ត្រេន \(\boldsymbol{E}\))។

សញ្ញាម៉ាទ្រីសសម្រាប់តង់ស័រលំដាប់ទី 4¶

សម្រាប់ទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែររវាងស្ត្រេស និងស្ត្រេន \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (ជាសមាសភាគ \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) ប្រើស៊ីមេទ្រីរបស់ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) អាចសរសេរឡើងវិញជា

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

ក្នុងករណី 3 វិមាត្រ ប្រសិនបើរៀប \(\tilde{C}\) ជាម៉ាទ្រីសសម្ភារៈ 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\) ទំនាក់ទំនងតង់ស័រដើមគឺ

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

ចាប់ពីនេះទៅ ក្នុងសៀវភៅដៃនេះ លុះត្រាតែមានការបញ្ជាក់ផ្សេង ម៉ាទ្រីសសម្ភារៈត្រូវសរសេរជា \(D\) (ឬ \(\hat{C}\))។ សម្រាប់សមាសភាគជាក់លាក់នៃអេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរអ៊ីសូត្រូពិក សូមមើល អេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ។

ក្បួនសម្រាប់អូប៉េរ៉ាទ័រដេរីវេ¶

អូប៉េរ៉ាទ័រជម្រាលស៊ីមេទ្រី¶

សម្រាប់វាលវ៉ិចទ័រ \(\boldsymbol{u}\) កំណត់ អូប៉េរ៉ាទ័រជម្រាលស៊ីមេទ្រី \(\nabla_S\) ជា

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

ជាសមាសភាគ \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\)។ ស្ត្រេនសម្រាប់ការខូចទ្រង់ទ្រាយតូច \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) អាចតំណាងយ៉ាងសង្ខេបដោយអូប៉េរ៉ាទ័រនេះ។ ការជ្រើសការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធ (យោង/បច្ចុប្បន្ន) ដែលយកជម្រាលក្នុងការខូចទ្រង់ទ្រាយមានកំណត់ ត្រូវបានពិភាក្សាក្នុង ចលនា ការខូចទ្រង់ទ្រាយ និងស្ត្រេន។

ដេរីវេតាមពេលវេលាសម្ភារៈ¶

ដេរីវេតាមពេលវេលាសម្ភារៈរបស់បរិមាណ \(A\) (ដេរីវេតាមពេលវេលាដែលតាមដានចំណុចសម្ភារៈដូចគ្នា) ត្រូវសរសេរដោយចំណុចខាងលើជា \(\dot{A}\)៖

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

ល្បឿន និងសំទុះអនុវត្តតាមក្បួននេះ។

ប្រធានបទពាក់ព័ន្ធ¶

ចលនា ការខូចទ្រង់ទ្រាយ និងស្ត្រេន — គំនិតការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង/បច្ចុប្បន្ន និងក្បួនសញ្ញាដែលពឹងផ្អែកលើការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធ (អក្សរធំ/តូច, សម្ភារៈ/ដេរីវេតាមលំហ)
ស្ត្រេស និងច្បាប់រក្សាទុក — ការដេរីវេសមីការគ្រប់គ្រងដោយប្រើសញ្ញានេះ
គោលការណ៍ការងារនិម្មិត — ការជ្រើសប្រើទម្រង់ខ្សោយ និងសញ្ញា Voigt
អេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ — ទម្រង់ជាក់លាក់នៃម៉ាទ្រីសសម្ភារៈ \(D\)
អនុគមន៍រាង និងការប៉ាន់ស្មានធាតុកំណត់ — ការគណនាភាពរឹងធាតុដោយសញ្ញា Voigt