Skip to content

វិធី Newton-Raphson

ការលីនេអ៊ែររូប និងសមីការធ្វើម្តងទៀត

សមីការមិនលីនេអ៊ែរសម្រាប់ការផ្លាស់ទីថ្នាំងនៅពេល \(t_{n+1}\) គឺ \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) ដែលទទួលបានក្នុង ការងារនិម្មិតរបស់កម្លាំងខាងក្រៅ និងការផ្គុំសមីការសរុប ត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធី Newton-Raphson។ ការផ្លាស់ទីថ្នាំងរហូតដល់ពេល \(t_n\) គឺ \(\boldsymbol{u}_n\) ត្រូវបានសន្មតថាដឹង ហើយយកកំណើនការផ្លាស់ទី \(\Delta\boldsymbol{u}\) ជាអថេរមិនស្គាល់ ដើម្បីរក

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

ចាប់ពីនេះទៅ មិនគិតភាពអាស្រ័យរបស់វ៉ិចទ័រកម្លាំងខាងក្រៅលើការផ្លាស់ទីថ្នាំង ហើយដោយ \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\)

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

ត្រូវបានដោះស្រាយ។

នៅដំណោះស្រាយបច្ចុប្បន្ន \(\Delta\boldsymbol{u}\) កំណត់ ភាពរឹងប៉ះ

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

ដោយប្រើវា ការលីនេអ៊ែររូបនៃសមីការមិនលីនេអ៊ែរ ផ្តល់ឱ្យ

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

កំណត់បរិមាណកែតម្រូវក្នុងការធ្វើម្តងទៀតទី \(i\) ជា \(d\boldsymbol{u}_i\) ហើយវ៉ិចទ័រសំណល់នៅដើមការធ្វើម្តងទៀតជា

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

បន្ទាប់មក សមីការធ្វើម្តងទៀតគឺ

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

ដូច្នេះ សំណល់ \(\boldsymbol{R}_i\) គឺជាបរិមាណដែលតំណាងឱ្យអសមតុល្យកម្លាំងពីសមតុល្យ។

ការបង្កើតម៉ាទ្រីសភាពរឹងប៉ះ

ភាពរឹងប៉ះ \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\) ត្រូវបានបង្កើតដោយយកដេរីវេផ្នែកនៃវ៉ិចទ័រកម្លាំងខាងក្នុងរបស់ធាតុដែលទទួលបានក្នុង ការឌីសគ្រីតកម្មនៃការងារនិម្មិតខាងក្នុង តាមការផ្លាស់ទីថ្នាំង អាំងតេក្រាលអនុគមន៍ក្រោមអាំងតេក្រាលកម្រិតធាតុលើដែនធាតុនីមួយៗ ហើយផ្គុំវា។ ដោយសម្គាល់អនុគមន៍ក្រោមអាំងតេក្រាលកម្រិតធាតុជា \(\boldsymbol{K}^e_X\) (សញ្ញាសរសេរការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង ទម្រង់ TL) ឬ \(\boldsymbol{K}^e_x\) (សញ្ញាសរសេរការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន ទម្រង់ UL) ភាពរឹងប៉ះរបស់ធាតុគឺ

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

ទម្រង់ចុងក្រោយនៃអនុគមន៍ក្រោមអាំងតេក្រាល TL/UL ត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម។ ទាំងពីរត្រូវបានបំបែកជាផលបូកនៃ ពាក្យភាពរឹងសម្ភារៈ (ពាក្យការផ្លាស់ទីដំបូង) និង ពាក្យភាពរឹងធរណីមាត្រ (ពាក្យស្ត្រេសដំបូង)។

ទម្រង់ Total Lagrange

ក្នុងទម្រង់ Total Lagrange សន្មតទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែររវាងអត្រាស្ត្រេស Piola-Kirchhoff ទី 2 \(\dot{\boldsymbol{S}}\) និងអត្រាស្ត្រេន Green-Lagrange \(\dot{\boldsymbol{E}}\) គឺ \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\)។ វាត្រូវនឹងច្បាប់ទំនាក់ទំនងសម្ភារៈសម្រាប់សម្ភារៈអេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ (សម្ភារៈ St. Venant-Kirchhoff) និងសម្ភារៈហាយពើអេឡាស្ទិច ហើយ FrontISTR ប្រើទម្រង់ Total Lagrange សម្រាប់សម្ភារៈទាំងនេះ។ អនុគមន៍ក្រោមអាំងតេក្រាលនៃភាពរឹងប៉ះរបស់ធាតុ ត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់តង់ស័រជា

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

ពាក្យទីមួយនៅខាងស្ដាំគឺ ពាក្យភាពរឹងសម្ភារៈ (ពាក្យការផ្លាស់ទីដំបូង) ហើយពាក្យទីពីរគឺ ពាក្យភាពរឹងធរណីមាត្រ (ពាក្យស្ត្រេសដំបូង)។

ក្នុងការអនុវត្ត FrontISTR អនុគមន៍ក្រោមអាំងតេក្រាលនេះត្រូវបានគណនាជាទម្រង់ម៉ាទ្រីសដោយប្រើសញ្ញាសរសេរ Voigt៖

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

ម៉ាទ្រីសនីមួយៗមានដូចខាងក្រោម។ \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) គឺជាម៉ាទ្រីស B ដែលបានណែនាំក្នុង ការឌីសគ្រីតកម្មនៃការងារនិម្មិតខាងក្នុង ហើយ \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) គឺជាតំណាង Voigt នៃតង់ស័រសមាសភាព \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) ពោលគឺម៉ាទ្រីសភាពរឹងសម្ភារៈ \(6\times 6\) (សញ្ញាសរសេរតង់ស័រ និងមូលដ្ឋានគណិតវិទ្យា)។ \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) គឺជាម៉ាទ្រីសរៀបឡើងវិញខាងក្រោម ដែលប្រើដើម្បីបង្ហាញពាក្យភាពរឹងធរណីមាត្រជាផលគុណម៉ាទ្រីស។ ជាមុន កំណត់សញ្ញា \([\,\cdot\,]\) ដែលរៀបតង់ស័រលំដាប់ទីពីរ \(3\times 3\) \(\boldsymbol{A}\) ឡើងវិញជា វ៉ិចទ័រ 9 សមាសធាតុជា

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

ដោយនិយមន័យនេះ \(\boldsymbol{F}_9\) បង្ហាញបម្រែបម្រួលនៃក្រាដ្យង់ការប្រែទ្រង់ទ្រាយក្នុងទម្រង់ \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) ហើយជាម៉ាទ្រីស \(9\times d n_e\)។ សម្រាប់ថ្នាំងធាតុ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) ប្លុក \(9\times d\) ដែលត្រូវគ្នាគឺ

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ គឺជា } 3\times 3 \text{ ម៉ាទ្រីសឯកតា}) \]

ហើយ \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\) ត្រូវបានផ្តល់ដោយរៀបប្លុកផ្ដេកតាមលំដាប់ថ្នាំងធាតុ។ \(\boldsymbol{S}_9\) ត្រូវបានជ្រើសដើម្បីឱ្យពេលបញ្ចូលជាមួយម៉ាទ្រីសនេះ ពាក្យភាពរឹងធរណីមាត្រត្រូវបានបង្ហាញជា \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\); វាគឺជាម៉ាទ្រីស \(9\times 9\) ខាងក្រោម

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

នេះគឺជាម៉ាទ្រីសដែលទទួលបាន។

ទម្រង់ Updated Lagrange

ក្នុងទម្រង់ Updated Lagrange សន្មតទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែររវាងអត្រា Jaumann នៃតង់ស័រស្ត្រេស Kirchhoff ទាក់ទង \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) និងតង់ស័រអត្រាប្រែទ្រង់ទ្រាយ \(\boldsymbol{D}\) គឺ \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\)។ នេះជាទម្រង់នៃច្បាប់ទំនាក់ទំនងសម្ភារៈ ហាយប៉ូអេលាស្ទិក ដែលរួមគ្នាសម្រាប់សម្ភារៈអេឡាស្ទិចលីនេអ៊ែរ អេលាស្តូប្លាស្ទិក និងសម្ភារៈការលូន ហើយ FrontISTR ប្រើទម្រង់ Updated Lagrange សម្រាប់សម្ភារៈទាំងនេះ។ អនុគមន៍ក្រោមអាំងតេក្រាលនៃភាពរឹងប៉ះរបស់ធាតុក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន ត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់តង់ស័រជា

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

នៅទីនេះ \(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) គឺជាអត្រា Truesdell, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) គឺជាផ្នែកលីនេអ៊ែរនៃស្ត្រេន Almansi, \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) គឺជាក្រាដ្យង់ការផ្លាស់ទីយោងទៅការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន ហើយ \(\boldsymbol{L}\) គឺជាតង់ស័រក្រាដ្យង់ល្បឿន។ ពាក្យទីមួយនៅខាងស្ដាំគឺ ពាក្យភាពរឹងសម្ភារៈ ហើយពាក្យទីពីរគឺ ពាក្យភាពរឹងធរណីមាត្រ។

ក្នុងការអនុវត្ត FrontISTR អនុគមន៍ក្រោមអាំងតេក្រាលនេះត្រូវបានគណនាជាទម្រង់ម៉ាទ្រីសដោយប្រើសញ្ញាសរសេរ Voigt៖

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

នៅទីនេះ \(\boldsymbol{b}\) គឺជាម៉ាទ្រីស B ដែលបង្កើតក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន (ការឌីសគ្រីតកម្មនៃការងារនិម្មិតខាងក្នុង)។ \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) ត្រូវបានទទួលពី \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) ដែលកំណត់សម្រាប់ទម្រង់ TL ដោយជំនួសស្ត្រេស PK ទី 2 \(\boldsymbol{S}\) ជាមួយស្ត្រេស Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) និងក្រាដ្យង់ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ជាមួយក្រាដ្យង់ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធបច្ចុប្បន្ន \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)។

\(\boldsymbol{G}\) គឺជាម៉ាទ្រីសកែតម្រូវអាស្រ័យលើស្ត្រេស Cauchy ដែលត្រូវការដើម្បីឱ្យច្បាប់ទំនាក់ទំនងសម្ភារៈ ហាយប៉ូអេលាស្ទិក \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) ស្របនឹងក្របខណ្ឌភាពរឹងប៉ះ ជាច្បាប់ទំនាក់ទំនងសម្ភារៈផ្អែកលើអត្រា Truesdell។ វាទទួលបានដោយរៀបសមាសធាតុតង់ស័រលំដាប់ទីបួន \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\) ជាទម្រង់ Voigt \(6\times 6\) ជា

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

នេះគឺជាម៉ាទ្រីសដែលទទួលបាន។

ការផ្គុំម៉ាទ្រីសភាពរឹងសរុប

ភាពរឹងប៉ះសរុប \(\boldsymbol{K}\) ត្រូវបានទទួលដោយបែងភាពរឹងធាតុនីមួយៗ \(\boldsymbol{K}^e\) ជាប្លុក \(d\times d\) \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) សម្រាប់គូថ្នាំងនីមួយៗ ហើយប្រើសំណុំផ្គុំតង់ស័រលំដាប់ទីពីរ \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) ដែលបានណែនាំក្នុង ការផ្គុំបរិមាណរូបវិទ្យាថ្នាំងធាតុ៖

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

តម្លៃដែលទទួលបានត្រូវបានរៀបជាម៉ាទ្រីសដែលមានជួរដេក \(i_g\) និងជួរឈរ \(i_h\)។ ក្នុងការអនុវត្ត សំណុំ \(\mathcal{E}^2\) មិនត្រូវបានបង្កើតដោយផ្ទាល់ទេ; ផ្ទុយទៅវិញ ប្លុកដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានបូកដោយផ្ទាល់ក្នុងរង្វិលជុំធាតុ។ ម៉ាទ្រីសជាការេ មានវិមាត្រស្មើដឺក្រេសេរីភាពក្នុងមួយថ្នាំង \(\times\) ចំនួនថ្នាំងសរុប \(n_g\) ប៉ុន្តែដោយសារសមាសធាតុក្រៅពីរវាងថ្នាំងដែលភ្ជាប់តាមធាតុគឺ \(0\) វាត្រូវបានរក្សាទុកជាទម្រង់ម៉ាទ្រីសរង្វើល។

ម៉ាទ្រីសភាពរឹងធាតុសម្រាប់ទម្រង់ TL និង UL មានទម្រង់ដូចគ្នា លើកលែងតែការប្ដូរការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធយោង (កូអរដោនេថ្នាំង និងប្រភពសម្រាប់បង្កើតម៉ាទ្រីស B) និងវត្តមាន ឬអវត្តមានរបស់ម៉ាទ្រីស \(\boldsymbol{G}\)។ ដូច្នេះ FrontISTR អនុវត្តទម្រង់ទាំងពីរដោយ អនុកម្មវិធីរង រួម។

ក្បួនដោះស្រាយការធ្វើម្តងទៀត

សរុបខាងលើ នៅដើមការធ្វើម្តងទៀត កំណត់ \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) ហើយគណនាសំណល់ដំបូង \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\)។ បន្ទាប់មក ក្នុងការធ្វើម្តងទៀតទី \(i\) អនុវត្តនីតិវិធីខាងក្រោម។

  1. នៅការផ្លាស់ទីបច្ចុប្បន្ន \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) គណនាភាពរឹងប៉ះ \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) ដោយប្រើនីតិវិធីក្នុង ការបង្កើតម៉ាទ្រីសភាពរឹងប៉ះ។
  2. ដើម្បីអនុវត្តលក្ខខណ្ឌព្រំដែនធរណីមាត្រ កែម៉ាទ្រីសភាពរឹងប៉ះ និងវ៉ិចទ័រសំណល់សម្រាប់ដឺក្រេសេរីភាពដែលមានការរឹតបន្តឹងការផ្លាស់ទី ដើម្បីទទួលបាន \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) (ការដោះស្រាយលក្ខខណ្ឌព្រំដែនធរណីមាត្រ)។
  3. ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) ដើម្បីទទួលបានបរិមាណកែតម្រូវ \(d\boldsymbol{u}_i\)។ នីតិវិធីនេះជាញឹកញាប់កាន់កាប់ភាគច្រើននៃបន្ទុកគណនាក្នុងការធ្វើម្តងទៀត។
  4. ធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពកំណើនការផ្លាស់ទីជា \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\) ហើយតាមនោះគណនាវ៉ិចទ័រកម្លាំងខាងក្នុង \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) និងសំណល់ \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)។
  5. ពិនិត្យភាពរួម ហើយបញ្ចប់ការធ្វើម្តងទៀត ប្រសិនបើសម្រេចបានភាពរួម។ សមាសធាតុដែលត្រូវនឹងប្រតិកម្មរឹតបន្តឹង លេចឡើងក្នុងសំណល់ \(\boldsymbol{R}_i\) នៅដឺក្រេសេរីភាពដែលមានលក្ខខណ្ឌព្រំដែនធរណីមាត្រ ដូច្នេះសូចនាករភាពរួមត្រូវបានបង្កើតពី \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) បន្ទាប់ពីដកសមាសធាតុទាំងនេះចេញ។ សូចនាករ និងកម្រិតភាពរួមជាក់លាក់ ត្រូវបានពិពណ៌នាក្នុង លក្ខខណ្ឌវិនិច្ឆ័យភាពរួម។ ប្រសិនបើមិនសម្រេចបានភាពរួម ហើយដល់កំណត់អតិបរមានៃការធ្វើម្តងទៀត នោះចាត់ទុកថាការធ្វើម្តងទៀតបរាជ័យ។

នៅពេលការធ្វើម្តងទៀតសម្រេចបានភាពរួម បូក \(\Delta\boldsymbol{u}\) ដែលបានសម្រេចភាពរួមទៅ \(\boldsymbol{u}_n\) ដើម្បីទទួលបានការផ្លាស់ទីសរុបនៅពេល \(t_{n+1}\) គឺ \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) ហើយបន្តទៅជំហានពេលវេលាបន្ទាប់។

ប្រធានបទពាក់ព័ន្ធ