វិធីសាស្ត្រវិភាគឌីណាមិច¶

ផ្នែកនេះបង្ហាញវិធីវិភាគបញ្ហាឌីណាមិចដោយអនុវត្តវិធីអាំងតេក្រាលពេលដោយផ្ទាល់។ ខាងក្រោមបង្ហាញរូបមន្តសម្រាប់វិធីអ៊ីមផ្លីស៊ីត និងវិធីអិចផ្លីស៊ីត។

ឌីស្ក្រីតកម្មនៃសមីការចលនា (ក្របខណ្ឌរួម)¶

TBD (នឹងបំពេញអត្ថបទក្នុងដំណាក់កាលបន្ទាប់)។

វិធីអ៊ីមផ្លីស៊ីត (Newmark-β)¶

សម្រាប់បញ្ហាឌីណាមិច វិធីអាំងតេក្រាលពេលដោយផ្ទាល់ត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីដោះស្រាយសមីការចលនាខាងក្រោម។

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

នៅទីនេះ \(M\) ជាម៉ាទ្រីសម៉ាស, \(C\) ជាម៉ាទ្រីសបន្ថយរំញ័រ, \(Q\) ជាវ៉ិចទ័រកម្លាំងខាងក្នុង និង \(F\) ជាវ៉ិចទ័រកម្លាំងខាងក្រៅ។ ម៉ាទ្រីសម៉ាសត្រូវបានចាត់ទុកថាថេរ និងមិនអាស្រ័យលើខូចទ្រង់ទ្រាយ សូម្បីតែក្នុងការវិភាគមិនលីនេអ៊ែរ។

ការផ្លាស់ប្តូរការផ្លាស់ទី ល្បឿន និងសំទុះក្នុងចន្លោះពេល \(\Delta t\) ត្រូវបានប្រហាក់ប្រហែលដោយវិធី Newmark-\(\beta\) ដូចបង្ហាញក្នុងសមីការ \(\eqref{eq:2.5.2}\) និង \(\eqref{eq:2.5.3}\)។

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

នៅទីនេះ \(\gamma\) និង \(\beta\) ជាប៉ារ៉ាម៉ែត្ររបស់វិធី Newmark-\(\beta\)។

ដូចដែលគេស្គាល់ទូទៅ បើកំណត់ \(\gamma\) និង \(\beta\) ជាតម្លៃខាងក្រោម នោះវិធីនេះស្មើនឹងវិធីសំទុះលីនេអ៊ែរ ឬក្បួនត្រាប៉េស។

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (វិធីសំទុះលីនេអ៊ែរ)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (ក្បួនត្រាប៉េស)

ដាក់សមីការ \(\eqref{eq:2.5.2}\) និង \(\eqref{eq:2.5.3}\) ចូលក្នុងសមីការ \(\eqref{eq:2.5.1}\) នោះទទួលបានសមីការខាងក្រោម។

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

ជាពិសេស សម្រាប់បញ្ហាលីនេអ៊ែរ យក \(K_L\) ជាម៉ាទ្រីសភាពរឹងលីនេអ៊ែរ ហើយ \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\)។ ដាក់វាចូលក្នុងសមីការខាងលើ នោះទទួលបាន

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

នៅទីតាំងដែលសំទុះត្រូវបានកំណត់ជាលក្ខខណ្ឌព្រំដែនធរណីមាត្រ ការផ្លាស់ទីខាងក្រោមត្រូវបានទទួលពីសមីការ \(\eqref{eq:2.5.2}\)។

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

ដូចគ្នា នៅទីតាំងដែលល្បឿនត្រូវបានកំណត់ ការផ្លាស់ទីខាងក្រោមត្រូវបានទទួលពីសមីការ \(\eqref{eq:2.5.6}\)។

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

នៅទីនេះ \(u_{is}(t+\Delta{t})\) គឺការផ្លាស់ទីថ្នាំងនៅពេល \(t+\Delta{t}\), \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) គឺល្បឿនថ្នាំងនៅពេល \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) គឺសំទុះថ្នាំងនៅពេល \(t+\Delta{t}\), \(i\) ជាលេខដឺក្រេនៃសេរីភាពថ្នាំង និង \(s\) ជាលេខថ្នាំង។ ការដោះស្រាយអង្គម៉ាស និងអង្គបន្ថយរំញ័រ មានដូចខាងក្រោម។

ការដោះស្រាយអង្គម៉ាស¶

ជាគោលការណ៍ ម៉ាទ្រីសម៉ាសត្រូវបានដោះស្រាយជាម៉ាទ្រីសម៉ាសប្រមូលផ្តុំ (ម៉ាទ្រីសម៉ាសប្រមូលផ្តុំ)។

ការដោះស្រាយអង្គបន្ថយរំញ័រ¶

អង្គបន្ថយរំញ័រ ត្រូវបានដោះស្រាយជា ការបន្ថយរំញ័រ Rayleigh ដែលបង្ហាញដោយសមីការ \(\eqref{eq:2.5.8}\)។

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

នៅទីនេះ \(R_m\) និង \(R_k\) ជាប៉ារ៉ាម៉ែត្ររបស់ ការបន្ថយរំញ័រ Rayleigh។

\(R_m\) និង \(R_k\) ដែលកំណត់ដោយកាត !DYNAMIC ត្រូវបានអនុវត្តដូចគ្នាទៅម៉ូដែលទាំងមូល។ បើចង់ផ្តល់ \(R_m\), \(R_k\) ខុសគ្នាតាមសម្ភារៈ កំណត់កាត !DAMPING នៅក្នុងប្លុក !MATERIAL របស់សម្ភារៈនោះ។ សម្រាប់ធាតុដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សម្ភារៈដែលបានកំណត់ !DAMPING ម៉ាទ្រីសបន្ថយរំញ័ររបស់ធាតុត្រូវបានគណនាជា \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) ពីម៉ាទ្រីសម៉ាស \(M_i\) និងម៉ាទ្រីសភាពរឹងតង់សង់ \(K_i\) របស់ធាតុ ហើយបញ្ចូលទៅម៉ាទ្រីសបន្ថយរំញ័រសកល។ មុខងារនេះមានប្រសិទ្ធភាពតែក្នុងវិធីអ៊ីមផ្លីស៊ីត។

វិធីអិចផ្លីស៊ីត (វិធីផលដកកណ្ដាល)¶

វិធីអិចផ្លីស៊ីត ផ្អែកលើសមីការចលនានៅពេល t ដែលបង្ហាញខាងក្រោម។

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

នៅទីនេះ ការផ្លាស់ទីនៅពេល \(t + \Delta t\) និង \(t - \Delta t\) ត្រូវបានបង្ហាញដោយ ការពង្រីក Taylor ជុំវិញពេល \(t\) ហើយរក្សាអង្គរហូតដល់លំដាប់ទី 2 នៃ \(\Delta t\) ដូចខាងក្រោម។

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

ពីផលដក និងផលបូកនៃសមីការ \(\eqref{eq:2.5.3}\) និង \(\eqref{eq:2.5.4}\) ទទួលបានសមីការខាងក្រោម។

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

ដាក់សមីការ \(\eqref{eq:2.5.12}\) និង \(\eqref{eq:2.5.13}\) ចូលក្នុងសមីការ \(\eqref{eq:2.5.9}\) នោះទទួលបាន

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

ជាពិសេស សម្រាប់បញ្ហាលីនេអ៊ែរ \(Q(t) = K_L U(t)\) ហើយសមីការខាងលើក្លាយជា

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

បើកំណត់ម៉ាទ្រីសម៉ាស \(M\) ជាម៉ាទ្រីសម៉ាសប្រមូលផ្តុំ និងម៉ាទ្រីសបន្ថយរំញ័រ ជាម៉ាទ្រីសបន្ថយរំញ័រសមាមាត្រ \(C = R_m M\) នោះសមីការ \(\eqref{eq:2.5.15}\) មិនត្រូវការប្រតិបត្តិការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការរួមទេ។

ដូច្នេះ \(U(t+\Delta t)\) អាចរកបានពីសមីការ \(\eqref{eq:2.5.15}\) ដោយសមីការខាងក្រោម។

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

ប្រធានបទពាក់ព័ន្ធ¶

ប្រភេទវិភាគ — ទិដ្ឋភាពមុខងារ និងការជ្រើសរើសប្រើការវិភាគឌីណាមិច
ឯកសារយោង