ការវិភាគម៉ូដ¶

បញ្ហាតម្លៃអ៊ីហ្គិនទូទៅ¶

នៅពេលវិភាគរំញ័រសេរីរបស់អង្គធាតុបន្ត គេធ្វើឌីស្ក្រីតកម្មតាមលំហ ហើយម៉ូដែលរចនាសម្ព័ន្ធជាប្រព័ន្ធដឺក្រេនៃសេរីភាពច្រើនដែលមានម៉ាសប្រមូលផ្តុំ ដូចបង្ហាញក្នុងរូប 2.3.1។ សម្រាប់បញ្ហារំញ័រសេរីគ្មានការថយរំញ័រ សមីការគ្រប់គ្រង (សមីការចលនា) មានដូចខាងក្រោម។

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

នៅទីនេះ $u$ ជាវ៉ិចទ័របម្លាស់ទីទូទៅ, $M$ ជាម៉ាទ្រីសម៉ាស និង $K$ ជាម៉ាទ្រីសភាពរឹង។ កំណត់ប្រេកង់មុំធម្មជាតិជា $\omega$, ឱ្យ $a$ និង $b$ ជាថេរណាមួយដែលមិនសូន្យទាំងពីរព្រមគ្នា ហើយឱ្យ $x$ ជាវ៉ិចទ័រ។ កំណត់អនុគមន៍

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

ដេរីវេលំដាប់ទីពីររបស់វាគឺ

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

ដោយជំនួសសមីការ $\eqref{eq:2.3.2}$ និងសមីការ $\eqref{eq:2.3.3}$ ចូលក្នុងសមីការ $\eqref{eq:2.3.1}$ នោះទទួលបាន

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

ទទួលបានសមីការខាងលើ។

សម្រាប់រំញ័រដែលមិនមែនជាដំណោះស្រាយសូន្យ $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ មិនស្មើសូន្យជាអត្តសញ្ញាណទេ ដូច្នេះ

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

ដូច្នេះទទួលបានទំនាក់ទំនងខាងលើ។ បន្ទាប់មក បើកំណត់ $\lambda=\omega^2$ នោះ

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

ទទួលបានសមីការខាងលើ។

មេគុណ $\lambda$ ហៅថា តម្លៃអ៊ីហ្គិន, វ៉ិចទ័រ $x$ ហៅថា វ៉ិចទ័រអ៊ីហ្គិន ហើយបញ្ហាដែលបង្ហាញដោយសមីការ $\eqref{eq:2.3.5}$ ហៅថា បញ្ហាតម្លៃអ៊ីហ្គិនទូទៅ។

ប្រេកង់មុំធម្មជាតិ $\omega$ ទទួលបានពីតម្លៃអ៊ីហ្គិន $\lambda=\omega^2$ ហើយវ៉ិចទ័រអ៊ីហ្គិន $x$ ដែលត្រូវគ្នាតំណាងឱ្យម៉ូដរំញ័រ។

ឧទាហរណ៍ប្រព័ន្ធដឺក្រេនៃសេរីភាពច្រើនសម្រាប់រំញ័រសេរីគ្មានការថយរំញ័រ

រូប 2.3.1 ឧទាហរណ៍ប្រព័ន្ធដឺក្រេនៃសេរីភាពច្រើនសម្រាប់រំញ័រសេរីគ្មានការថយរំញ័រ

លក្ខណៈ និងសន្មត់របស់ម៉ាទ្រីស¶

ចំពោះបញ្ហាតម្លៃអ៊ីហ្គិនទូទៅ $Kx=\lambda Mx$ ដែលទទួលបានក្នុងផ្នែកមុន សៀវភៅណែនាំនេះសន្មត់ថាម៉ាទ្រីសដែលពាក់ព័ន្ធមានស៊ីមេទ្រី។ សម្រាប់ម៉ាទ្រីសកុំផ្លិច នេះស្មើនឹងម៉ាទ្រីសហឺមីត្យង់; សម្រាប់ម៉ាទ្រីសពិត វាស្មើនឹងម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រី។

ឱ្យ $k_{ij}$ ជាធាតុ $ij$ នៃម៉ាទ្រីស $K$។ លក្ខណៈហឺមីត្យង់ត្រូវបានបង្ហាញជា

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

សមីការខាងលើ។ នៅទីនេះ $\bar{k}_{ji}$ ជាកុំផ្លិចសមាសរបស់ $k_{ji}$។ សម្រាប់ម៉ាទ្រីសពិត ទំនាក់ទំនងនេះក្លាយជា $k_{ij}=k_{ji}$។

ម៉ាទ្រីសពិតស៊ីមេទ្រី $H$ ហៅថាវិជ្ជមានកំណត់ បើសម្រាប់គ្រប់វ៉ិចទ័រមិនសូន្យ $x$,

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

វិសមភាពខាងលើត្រឹមត្រូវ។ ក្នុងករណីនេះ តម្លៃអ៊ីហ្គិនទាំងអស់របស់ $H$ គឺវិជ្ជមាន។

ក្នុងបញ្ហាតម្លៃអ៊ីហ្គិនរចនាសម្ព័ន្ធ ម៉ាទ្រីសម៉ាស $M$ ជាធម្មតាត្រូវបានចាត់ទុកថាវិជ្ជមានកំណត់។ ផ្ទុយទៅវិញ ម៉ាទ្រីសភាពរឹង $K$ អាចជាវិជ្ជមានពាក់កណ្តាលកំណត់ អាស្រ័យលើលក្ខខណ្ឌកំហិត ហើយអាចមានតម្លៃអ៊ីហ្គិនសូន្យដែលត្រូវនឹងម៉ូដរូបកាយរឹង។

វិធីអ៊ីតេរ៉ាស្យុងបញ្ច្រាសដោយមានការបម្លាស់¶

ក្នុងការវិភាគរចនាសម្ព័ន្ធដោយវិធីធាតុកំណត់ ជាក់ស្តែងជាទូទៅមិនត្រូវការតម្លៃអ៊ីហ្គិនទាំងអស់ទេ; តម្លៃអ៊ីហ្គិនលំដាប់ទាបត្រឹមពីរបីជាញឹកញាប់គ្រប់គ្រាន់។ HEC-MW ត្រូវបានបង្កើតសម្រាប់បញ្ហាទំហំធំ ដែលម៉ាទ្រីសមានទំហំធំ និងរាយប៉ាយខ្លាំង ដោយមានធាតុសូន្យជាច្រើន។ ដូច្នេះ វាសំខាន់ក្នុងការគណនាតម្លៃអ៊ីហ្គិនរបស់ម៉ូដលំដាប់ទាបឱ្យមានប្រសិទ្ធភាព ដោយគិតគូរពីលក្ខណៈទាំងនេះ។

សម្រាប់ការបម្លាស់ $\sigma$, បើ $-\sigma$ មិនមែនជាតម្លៃអ៊ីហ្គិន ហើយ $K+\sigma M$ មិនសិង្គុលទេ សមីការ $\eqref{eq:2.3.5}$ អាចបម្លែងបានដូចខាងក្រោម។

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

ការបម្លែងនេះរក្សាវ៉ិចទ័រអ៊ីហ្គិន $x$ មិនឱ្យផ្លាស់ប្តូរ ហើយបម្លែងតម្លៃអ៊ីហ្គិន $\lambda$ ទៅជា $1/(\lambda+\sigma)$។

ដូច្នេះ កាលណា $\lambda$ កាន់តែជិត $-\sigma$, តម្លៃដាច់ខាតនៃតម្លៃអ៊ីហ្គិនបន្ទាប់ពីបម្លែងកាន់តែធំ។ សម្រាប់បញ្ហាតម្លៃអ៊ីហ្គិនរចនាសម្ព័ន្ធ $\lambda \geq 0$ និង $\sigma \geq 0$, ដូច្នេះតម្លៃអ៊ីហ្គិនទាបបំផុតត្រូវបានផ្គូផ្គងទៅតម្លៃអ៊ីហ្គិនដែលមានតម្លៃដាច់ខាតធំបំផុត។ ដោយប្រើលក្ខណៈនេះ និងអនុវត្តវិធីអ៊ីតេរ៉ាទីវដែលងាយឈានដល់ភាពរួមមុនចំពោះតម្លៃអ៊ីហ្គិនដែលមានតម្លៃដាច់ខាតធំ ទៅលើសមីការ $\eqref{eq:2.3.8}$, គេអាចរកតម្លៃអ៊ីហ្គិនលំដាប់ទាបតាមលំដាប់កើនបានយ៉ាងមានប្រសិទ្ធភាព។

វិធីនេះហៅថា វិធីអ៊ីតេរ៉ាស្យុងបញ្ច្រាសដោយមានការបម្លាស់។

សម្រាប់ការវិភាគដែលមានលក្ខខណ្ឌកំហិត FrontISTR កំណត់ $\sigma = 0$, ហើយសមីការ $\eqref{eq:2.3.8}$ ក្លាយជា $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, ពោលគឺ អ៊ីតេរ៉ាស្យុងបញ្ច្រាសគ្មានការបម្លាស់។ ក្នុងការវិភាគសេរី–សេរីដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌកំហិត $K$ ជាម៉ាទ្រីសសិង្គុល ព្រោះវាមានតម្លៃអ៊ីហ្គិនសូន្យដែលត្រូវនឹងម៉ូដរូបកាយរឹង; ការផ្តល់តម្លៃវិជ្ជមានដល់ $\sigma$ ធ្វើឱ្យ $K+\sigma M$ មិនសិង្គុល។ តម្លៃ $\sigma$ ត្រូវបានកំណត់ដោយ SIGMA ក្នុង !EIGEN។

វិធី Lanczos¶

មូលហេតុជ្រើសរើស (ប្រៀបធៀបជាមួយវិធី Jacobi)¶

វិធី Jacobi គឺជាវិធីបុរាណមួយដែលគេស្គាល់យ៉ាងទូលំទូលាយ។

វាមានប្រសិទ្ធភាពនៅពេលម៉ាទ្រីសមានទំហំតូច និងក្រាស់។ ប៉ុន្តែ ដោយសារម៉ាទ្រីសដែល HEC-MW ដោះស្រាយមានទំហំធំ និងរាយប៉ាយ វិធី Jacobi មិនត្រូវបានប្រើទេ; ជំនួសវិញ គេប្រើវិធីអ៊ីតេរ៉ាទីវ Lanczos។

អាល់ហ្គរីធម៌ និងលក្ខណៈ¶

វិធីនេះត្រូវបានស្នើដោយ C. Lanczos ក្នុងទសវត្សរ៍ 1950 ជាអាល់ហ្គរីធម៌សម្រាប់បម្លែងម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់បីអង្កត់ទ្រូង ហើយមានលក្ខណៈដូចខាងក្រោម។

វាជាវិធីអ៊ីតេរ៉ាទីវ ហើយអាចគណនាបានដោយរក្សាម៉ាទ្រីសឱ្យរាយប៉ាយ។
ប្រតិបត្តិការរបស់វាផ្អែកជាចម្បងលើផលគុណម៉ាទ្រីស–វ៉ិចទ័រ ដូច្នេះសមស្របសម្រាប់ការគណនាស្របគ្នា។
វាសមស្របសម្រាប់ការបែងចែកដែនធរណីមាត្រដែលភ្ជាប់នឹងសំណាញ់ធាតុកំណត់។
វាអាចគណនាបានមានប្រសិទ្ធភាព ដោយកំណត់ចំនួនតម្លៃអ៊ីហ្គិន ឬជួរម៉ូដដែលត្រូវរក។

វិធី Lanczos ចាប់ផ្តើមពីវ៉ិចទ័រដំបូង បង្កើតវ៉ិចទ័រអរតូកូណាល់ជាបន្តបន្ទាប់ ហើយទទួលបានមូលដ្ឋានសម្រាប់លំហរង Krylov។

ក្នុងនព្វន្ធភាពជាក់លាក់មានកំណត់ កំហុសបង្គត់អាចធ្វើឱ្យវ៉ិចទ័របាត់បង់ភាពអរតូកូណាល់។ ដើម្បីទប់ស្កាត់ឥទ្ធិពលនេះ ការអនុវត្តរបស់ FrontISTR ធ្វើអរតូកូណាល់វ៉ិចទ័រនីមួយៗឡើងវិញ ទល់នឹងវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន Lanczos ដែលទទួលបានរួច។

អត្ថន័យធរណីមាត្រ (លំហរង Krylov)¶

ដោយអនុវត្តការបម្លែងអថេរខាងក្រោមទៅលើសមីការ $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

បញ្ហាអាចសរសេរឡើងវិញជា

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

ទទួលបានសមីការខាងលើ។

សម្រាប់វ៉ិចទ័រមិនសូន្យណាមួយ $q_0$,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

លំហដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រទាំងនេះ

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

ហៅថា លំហរង Krylov។

វិធី Lanczos បង្កើតមូលដ្ឋានរបស់លំហរង Krylov នេះជាបន្តបន្ទាប់។

FrontISTR ប្រើផលគុណខាងក្នុងខាងក្រោមដែលទាក់ទងនឹងម៉ាទ្រីសម៉ាស $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

ដើម្បីធ្វើមូលដ្ឋានឱ្យអរតូណ័រម៉ាល់។ ផលគុណខាងក្នុង $\langle x,y\rangle$ និងន័រម $\|x\|$ ដែលបង្ហាញក្នុងរូបខាងក្រោម ត្រូវបានបកស្រាយក្នុងការគណនារបស់ FrontISTR ថាជាផលគុណខាងក្នុង $M$ នេះ និងន័រម $M$ ដែលត្រូវគ្នា

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

រៀងគ្នា។

អនុវត្តការបម្លែងលីនេអ៊ែរដែលកំណត់ដោយម៉ាទ្រីស $A$ ទៅលើវ៉ិចទ័រណាមួយ $q_0$, ដូចបង្ហាញក្នុងរូប 2.3.2។

$ការបម្លែងលីនេអ៊ែររបស់ $q_0$ ដោយម៉ាទ្រីស $A$$

រូប 2.3.2 ការបម្លែងលីនេអ៊ែររបស់ $q_0$ ដោយម៉ាទ្រីស $A$

វ៉ិចទ័រដែលបានបម្លែងត្រូវបានធ្វើអរតូកូណាល់ក្នុងលំហដែលវាបង្កើតជាមួយវ៉ិចទ័រដើម។ ជាក់លាក់ គេធ្វើអរតូកូណាល់ Gram-Schmidt ដូចបង្ហាញក្នុងរូប 2.3.3។ កំណត់វ៉ិចទ័រដែលទទួលបានជា $r_1$; ធ្វើឱ្យវាមានន័រមស្មើ 1 ដើម្បីទទួលបាន $q_1$។

$វ៉ិចទ័រ $q_1$ ដែលអរតូកូណាល់ទៅនឹង $q_0$$

រូប 2.3.3 វ៉ិចទ័រ $q_1$ ដែលអរតូកូណាល់ទៅនឹង $q_0$

ដោយនីតិវិធីដូចគ្នា គេទទួលបាន $q_2$ ពី $q_1$។ នៅទីនេះ $q_2$ អរតូកូណាល់ទៅនឹងទាំង $q_1$ និង $q_0$, ដូចបង្ហាញក្នុងរូប 2.3.4។

$វ៉ិចទ័រ $q_2$ ដែលអរតូកូណាល់ទៅនឹង $q_1$ និង $q_0$$

រូប 2.3.4 វ៉ិចទ័រ $q_2$ ដែលអរតូកូណាល់ទៅនឹង $q_1$ និង $q_0$

តាមរបៀបនេះ វិធី Lanczos បង្កើតមូលដ្ឋានអរតូណ័រម៉ាល់របស់លំហរង Krylov ជាបន្តបន្ទាប់។ តាមទ្រឹស្តី ស៊ីមេទ្រីនៃបញ្ហាតម្លៃអ៊ីហ្គិនអនុញ្ញាតឱ្យអ៊ីតេរ៉ាស្យុងនេះត្រូវបានបង្ហាញជាសមីការកើតឡើងវិញបីធាតុដែលប្រើវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានថ្មីៗបំផុត។

ទោះជាយ៉ាងណា ការអនុវត្តរបស់ FrontISTR ធ្វើអរតូកូណាល់វ៉ិចទ័រនីមួយៗឡើងវិញ ទល់នឹងវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន Lanczos ដែលទទួលបានរួច ដោយប្រើផលគុណខាងក្នុង $M$, ដើម្បីទប់ស្កាត់ការបាត់បង់ភាពអរតូកូណាល់ដោយនព្វន្ធភាពជាក់លាក់មានកំណត់។

ការបម្លែងជាម៉ាទ្រីសបីអង្កត់ទ្រូង¶

ក្នុងអ៊ីតេរ៉ាស្យុង Lanczos របស់ FrontISTR វ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានត្រូវបានធ្វើអរតូណ័រម៉ាល់តាមផលគុណខាងក្នុង $M$ ដែលពិពណ៌នាក្នុងផ្នែកមុន ដូច្នេះ

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

ទំនាក់ទំនងខាងលើត្រឹមត្រូវ។

ដោយប្រើម៉ាទ្រីស $A$ ពីសមីការ $\eqref{eq:2.3.10}$, អ៊ីតេរ៉ាស្យុង Lanczos តាមទ្រឹស្តីគឺ

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

ដែលបង្ហាញដោយសមីការកើតឡើងវិញបីធាតុខាងលើ។

ដំបូង កំណត់ $\alpha_i$ ដូចខាងក្រោម។

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

បន្ទាប់មក កំណត់សំណល់បណ្ដោះអាសន្នជា

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

ដូចបង្ហាញខាងលើ។

ដើម្បីទប់ស្កាត់ការបាត់បង់ភាពអរតូកូណាល់ដោយនព្វន្ធភាពជាក់លាក់មានកំណត់ ការអនុវត្តរបស់ FrontISTR ធ្វើអរតូកូណាល់ $\tilde{r}_{i+1}$ ឡើងវិញ ទល់នឹងវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន Lanczos ដែលទទួលបានរួច ដោយប្រើផលគុណខាងក្នុង $M$។ បើ $r_{i+1}$ ជាសំណល់បន្ទាប់ពីធ្វើអរតូកូណាល់ឡើងវិញ នោះ

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

ទំនាក់ទំនងខាងលើត្រឹមត្រូវ។

ប្រមូលវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន $m$ ដែលទទួលបានពីអ៊ីតេរ៉ាស្យុង Lanczos ជា

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

បន្ទាប់មក ក្រោយអ៊ីតេរ៉ាស្យុង Lanczos ចំនួនកំណត់មួយ

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

ទំនាក់ទំនងខាងលើត្រឹមត្រូវ។

នៅទីនេះ $e_m$ ជាវ៉ិចទ័រឯកតា $m$ វិមាត្រ ដែលមានតែសមាសភាគទី $m$ ស្មើ 1 ហើយ

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

ជាម៉ាទ្រីសបីអង្កត់ទ្រូងស៊ីមេទ្រី។

ដូច្នេះ តម្លៃអ៊ីហ្គិនរបស់បញ្ហាតម្លៃអ៊ីហ្គិនទំហំធំដើម អាចប្រហែលបានដោយគណនាតម្លៃអ៊ីហ្គិនរបស់ម៉ាទ្រីសបីអង្កត់ទ្រូង $T_m$។

ប្រធានបទពាក់ព័ន្ធ¶

ការវិភាគឆ្លើយតបប្រេកង់ — ការឆ្លើយតបប្រេកង់ដោយប្រើលទ្ធផលវិភាគម៉ូដ
ប្រភេទការវិភាគ — ទិដ្ឋភាពមុខងារនៃការវិភាគម៉ូដ