ការវិភាគឆ្លើយតបប្រេកង់¶

ការកំណត់បញ្ហា¶

ការវិភាគឆ្លើយតបប្រេកង់ វាយតម្លៃអំព្លីទុត និងដំណាក់កាលនៃការឆ្លើយតបនៅស្ថានភាពស្ថិរភាពរបស់ប្រព័ន្ធក្នុងដែនប្រេកង់ នៅពេលកម្លាំងខាងក្រៅប្រែប្រួលតាមពេលវេលាបែបហាម៉ូនិក។ ដោយសារសមីការចលនាគ្រប់គ្រងមានក្របខណ្ឌខុសគ្នា នៅពេលមាន និងគ្មានការបន្ថយរំញ័រ ជំពូកនេះជាមុនដកស្រង់ម៉ូដឯកលក្ខណៈពីរំញ័រសេរីគ្មានការបន្ថយរំញ័រ ហើយបន្ទាប់មកប្រើវាជាមូលដ្ឋានម៉ូដ ដើម្បីពង្រីកការឆ្លើយតបហាម៉ូនិកដែលមានការបន្ថយរំញ័រ។

រំញ័រសេរីគ្មានការបន្ថយរំញ័រ និងម៉ូដឯកលក្ខណៈ¶

នៅពេលមិនគិតការបន្ថយរំញ័រ សមីការចលនាគឺ

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

ដោយពង្រីកវាតាមម៉ូដឯកលក្ខណៈនីមួយៗ ទទួលបាន

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

ដោយជំនួសវាចូលក្នុងសមីការ\(\eqref{eq:2.6.1}\) ទទួលបាន

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

នេះជាបញ្ហាតម្លៃឯកលក្ខណៈទូទៅ។ វិធីដោះស្រាយលេខសម្រាប់បញ្ហានេះ រួមទាំងការធ្វើម្តងទៀតបញ្ច្រាសដោយប្ដូរតម្លៃ និងវិធី Lanczos ត្រូវបានពិពណ៌នាក្នុង ការវិភាគម៉ូដ។ ផ្នែកនេះសង្ខេបលក្ខណៈនៃប្រេកង់ធម្មជាតិ និងម៉ូដឯកលក្ខណៈដែលទទួលបាន ដែលប្រើក្នុងការពង្រីកការឆ្លើយតបហាម៉ូនិកបន្ទាប់។

ភាពជាចំនួនពិតនៃប្រេកង់ធម្មជាតិ¶

អាចបង្ហាញថាប្រេកង់ធម្មជាតិជាចំនួនពិតដូចខាងក្រោម។ កំណត់ \(\omega_j^2 = \lambda_j\)។ ដោយយកកុងជូហ្គេតស្មុគស្មាញនៃសមីការ\(\eqref{eq:2.6.3}\) ទទួលបានសមីការ\(\eqref{eq:2.6.4}\)។

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

ដោយគុណនឹង \(\overline{U}_J^T\) ទទួលបាន

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

ពីសមីការ\(\eqref{eq:2.6.5}\)

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

ដោយសារម៉ាទ្រីសម៉ាសជាម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រីកំណត់វិជ្ជមាន សម្រាប់វ៉ិចទ័រឯកលក្ខណៈមិនសូន្យ មាន

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

ដូច្នេះ

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

ហេតុនេះ \(\omega_j^2 = \lambda_j\) ជាចំនួនពិត។

ភាពអរតូកូណាល់ និងការធ្វើន័រម៉ាល់នៃម៉ូដឯកលក្ខណៈ¶

ពិចារណាម៉ូដពីរខុសគ្នា។

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

ពីនេះ ទទួលបាន

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

ហើយនៅពេលតម្លៃឯកលក្ខណៈខុសគ្នា

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

ដូច្នេះ ម៉ូដឯកលក្ខណៈខុសគ្នាមានអរតូកូណាល់ចំពោះម៉ាទ្រីសម៉ាស។ សម្រាប់ម៉ូដដូចគ្នា ការធ្វើន័រម៉ាល់ចំពោះម៉ាទ្រីសម៉ាស ដូចក្នុងសមីការ\(\eqref{eq:2.6.12}\) ធ្វើឱ្យការដោះស្រាយបន្ទាប់កាន់តែងាយស្រួល។

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

ការឆ្លើយតបហាម៉ូនិកជាមួយការបន្ថយរំញ័រ¶

បន្ទាប់មក បង្ហាញទម្រង់នៃការវិភាគឆ្លើយតបប្រេកង់ នៅពេលគិតការបន្ថយរំញ័រ។ សមីការចលនាគ្រប់គ្រងត្រូវបានបង្ហាញក្នុងសមីការ\(\eqref{eq:2.6.13}\)។

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

ពាក្យបន្ថយរំញ័រនៅទីនេះ ត្រូវបានសន្មតថាជាប្រភេទ Rayleigh ហើយអាចបង្ហាញដូចសមីការ\(\eqref{eq:2.6.14}\)។

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

ដោយប្រើវ៉ិចទ័រឯកលក្ខណៈដែលទទួលបានពីការវិភាគម៉ូដ វ៉ិចទ័រការផ្លាស់ទីនៅពេល t អាចពង្រីកដូចសមីការ\(\eqref{eq:2.6.15}\)។

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

នៅពេលនេះ សន្មតថាពាក្យកម្លាំងខាងក្រៅមានទម្រង់ហាម៉ូនិក

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

ក្នុងករណីនេះ កំណត់ \(b_{j}(t)\)។ ដោយសារសមីការចលនា\(\eqref{eq:2.6.13}\) មានទម្រង់រំញ័របង្ខំ

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

ទំនាក់ទំនងនេះត្រឹមត្រូវ។ ផ្នែកពិត និងផ្នែកស្រមៃនៃមេគុណពង្រីក \(b_{j}(t)\) ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ\(\eqref{eq:2.6.18}i\) និងសមីការ\(\eqref{eq:2.6.19}\) រៀងៗខ្លួន។

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

ដោយនេះ ទទួលបានមេគុណការឆ្លើយតបហាម៉ូនិកដែលត្រូវការ។

ប្រធានបទពាក់ព័ន្ធ¶

ការវិភាគម៉ូដ — ទម្រង់នៃបញ្ហាតម្លៃឯកលក្ខណៈដែលជាមូលដ្ឋាន
វិធីវិភាគឌីណាមិក — ការវិភាគឌីណាមិចក្នុងដែនពេលវេលា
ប្រភេទការវិភាគ — ទិដ្ឋភាពទូទៅមុខងារនៃការវិភាគឆ្លើយតបប្រេកង់