ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಸ್ಥಿರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (ಪರಿಚಯ)

ಈ ವಿಭಾಗವು ಅತ್ಯಲ್ಪ ವಿರೂಪಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧಾರದ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಸ್ಥಿರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ. ಒತ್ತಡ–ವಿಕೃತಿ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ರಚನಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಒಟ್ಟಾರೆ ಹರಿವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಅಧ್ಯಾಯವಾಗಿದ್ದು, ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಓದಬಹುದಾದಂತೆ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕಾರ್ಯದ ತತ್ವದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳಿಗೆ (ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸ, ಆರಂಭಿಕ ವಿನ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಲ್ಪ ವಿರೂಪಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಕೆ) ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕಾರ್ಯದ ತತ್ವ ನೋಡಿ; ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಸಂರಚನಾ ನಿಯಮದ ವಿವರಗಳಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತೆ, ಟೆನ್ಸರ್ ಮತ್ತು Voigt ಸಂಕೇತ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಸಂಕೇತನ ಮತ್ತು ಗಣಿತೀಯ ಮೂಲಭೂತಗಳು, ಸೀಮಿತ ವಿರೂಪಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಚಲನೆ, ವಿರೂಪಣ ಮತ್ತು ವಿಕೃತಿ, ಮತ್ತು ಅರೇಖೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನೋಡಿ.

ಮೂಲಭೂತ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಅತ್ಯಲ್ಪ ವಿರೂಪಣ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತೆಯ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಘನ ಯಾಂತ್ರಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಗಡಿ-ಮೌಲ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣ, ಯಾಂತ್ರಿಕ ಗಡಿ ಷರತ್ತು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ (ಮೂಲಭೂತ) ಗಡಿ ಷರತ್ತಿನಿಂದ ಕೂಡಿದೆ (ಚಿತ್ರ 2.1.1 ನೋಡಿ):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{ನಲ್ಲಿ} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{ಮೇಲೆ} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{ಮೇಲೆ} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

ಇಲ್ಲಿ, \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy ಒತ್ತಡ, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ಘನಪರಿಮಾಣದ ದೇಹ ಬಲ, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೇಲ್ಮೈ ಬಲ, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಳಾಂತರ, ಮತ್ತು \(S_t, S_u\) ಕ್ರಮವಾಗಿ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗಡಿಗಳಾಗಿವೆ.

ಗಡಿ-ಮೌಲ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಘನ ಯಾಂತ್ರಿಕಶಾಸ್ತ್ರ (ಅತ್ಯಲ್ಪ-ವಿರೂಪಣ ಸಮಸ್ಯೆ)

ಚಿತ್ರ 2.1.1 ಗಡಿ-ಮೌಲ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಘನ ಯಾಂತ್ರಿಕಶಾಸ್ತ್ರ (ಅತ್ಯಲ್ಪ-ವಿರೂಪಣ ಸಮಸ್ಯೆ)

ಸಮಮಿತ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಬಳಸಿ ವಿಕೃತಿ–ಸ್ಥಳಾಂತರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೀಗಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಸಂರಚನಾ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

ಇಲ್ಲಿ \(\boldsymbol{C}\) ನಾಲ್ಕನೇ-ಕ್ರಮದ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆ.

ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸದ ತತ್ವ

ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕಾರ್ಯದ ತತ್ವದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳನ್ನು (ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸ, ಆರಂಭಿಕ ವಿನ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಲ್ಪ ವಿರೂಪಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಕೆ) ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕಾರ್ಯದ ತತ್ವ ನಲ್ಲಿ ಸಾರಾಂಶಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅತ್ಯಲ್ಪ ವಿರೂಪಣ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತೆಯ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ದುರ್ಬಲ ರೂಪ:

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{ಮೇಲೆ} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

ಸಂರಚನಾ ಸಮೀಕರಣ \eqref{eq:2.1.5} ಅನ್ನು ಸ್ಥಾನಾಪನ್ನಗೊಳಿಸಿ Voigt ಸಂಕೇತನ ನಲ್ಲಿ \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ಎಂದು ಬರೆದರೆ, ವಿಚ್ಛೇದೀಕರಣಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

ಇಲ್ಲಿ \(D\) ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತೆ ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳು \eqref{eq:2.1.10} ಮತ್ತು \eqref{eq:2.1.7} ವಿಚ್ಛೇದೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬಳಸುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕಾರ್ಯದ ತತ್ವವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ವಿಚ್ಛೇದೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಜಾಗತಿಕ ಸಮೀಕರಣ

Eq.\( \eqref{eq:2.1.10} \) ರ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕಾರ್ಯದ ತತ್ವವನ್ನು ಸೀಮಿತ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಚ್ಛೇದಿಸಿದರೆ:

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

ಪ್ರತಿ ಅಂಶದಲ್ಲಿ, ಅಂಶವನ್ನು ರಚಿಸುವ ನೋಡ್‌ಗಳ ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೀಗಾಗಿ ಅಂತರ್ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

ಆಗ Eq.\(\eqref{eq:2.1.4}\) ಬಳಸಿ ವಿಕೃತಿಯನ್ನು ಹೀಗಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

ಸಮೀಕರಣಗಳು \(\eqref{eq:2.1.12}\) ಮತ್ತು \(\eqref{eq:2.1.13}\) ಅನ್ನು Eq.\(\eqref{eq:2.1.11}\) ಗೆ ಸ್ಥಾನಾಪನ್ನಗೊಳಿಸಿದರೆ:

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.1.14}\) ಅನ್ನು ಹೀಗಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

ಇಲ್ಲಿ, ಇಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳು \(\eqref{eq:2.1.16}\) ಮತ್ತು \(\eqref{eq:2.1.17}\) ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಅಂಶ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಅಧಿಸ್ಥಾಪನೆಯ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Eq.\(\eqref{eq:2.1.15}\) ಯಾವುದೇ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸ್ಥಳಾಂತರ \(\delta \boldsymbol{U}\) ಗೆಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

ಇನ್ನೊಂದೆಡೆ, Eq.\(\eqref{eq:2.1.3}\) ರ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಗಡಿ ಷರತ್ತನ್ನು ಹೀಗಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Eq.\(\eqref{eq:2.1.18}\) ಅನ್ನು Eq.\(\eqref{eq:2.1.19}\) ರ ನಿರ್ಬಂಧ ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದರಿಂದ ನೋಡಲ್ ಸ್ಥಳಾಂತರ \(\boldsymbol{U}\) ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ