ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತೆ

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ವಸ್ತುಗಳ ರಚನಾ ನಿಯಮವನ್ನು (Hooke ನಿಯಮ) ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಯ ಆಯ್ಕೆ ಮತ್ತು ಇನ್‌ಪುಟ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟೀಕರಣಗಳ ವಿವರಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಭಾಗದ 03_material ಅನ್ನು ನೋಡಿ.

ಘಟನೆ (ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ)

ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ದೇಹವೆಂದರೆ, ಭಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿಕೃತಿಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣದಾಗಿರುವ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ವಿಕೃತಿಯ ನಡುವೆ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಹಾಗೂ ಭಾರವನ್ನು ತೆಗೆದಾಗ ಎಲ್ಲಾ ವಿಕೃತಿಯೂ ಮೂಲ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಮರಳುವ ಪ್ರತಿವರ್ತನೀಯ ಮತ್ತು ಇತಿಹಾಸ-ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುವ ವಸ್ತು. ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಅಥವಾ ಕ್ರೀಪ್‌ನಂತೆ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಆಂತರಿಕ ಚರಗಳನ್ನು (ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಿಕೃತಿ ಅಥವಾ ಸ್ನಿಗ್ಧ ವಿಕೃತಿ ಮುಂತಾದವು) ಇದು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಒತ್ತಡವು ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿಕೃತಿಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ಏಕಾರ್ಥವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಣ್ಣ ವಿರೂಪಣ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ Cauchy ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{\sigma}\) ಮತ್ತು ಅತಿಸಣ್ಣ ವಿಕೃತಿ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಸೀಮಿತ ವಿರೂಪಣ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ (ದೊಡ್ಡ ಭ್ರಮಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೂ ವಿಕೃತಿಯೇ ಸಣ್ಣವಾಗಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ) 2ನೇ Piola-Kirchhoff ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{S}\) ಮತ್ತು Green-Lagrange ವಿಕೃತಿ \(\boldsymbol{E}\) ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (St.Venant-Kirchhoff ವಸ್ತು).

ರಚನಾ ನಿಯಮ

ಸಮದಿಶ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ವಸ್ತು

ಸಣ್ಣ ವಿರೂಪಣ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಸಮದಿಶ Hooke ನಿಯಮವನ್ನು ಲಾಮೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು \(\lambda, \mu\) ಬಳಸಿ

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘಟಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

ಎಂದು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ; ವಿಕೃತಿಯೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಗುಣ ಸಂಕೋಚನ ಮಾಡಿದಾಗ \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಲಾಮೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಯಂಗ್ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ \(E\) ಮತ್ತು ಪಾಯ್ಸನ್ ಅನುಪಾತ \(\nu\) ಜೊತೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ವಿಕೃತಿ ವೆಕ್ಟರ್ \(\hat{\varepsilon}\) ಮತ್ತು ಒತ್ತಡ ವೆಕ್ಟರ್ \(\hat{\sigma}\) ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; 3-ಆಯಾಮದ ವಸ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \(D\) ಹೀಗಿದೆ:

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

(ಅನುಷ್ಠಾನದಲ್ಲಿ ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಆರ್ಥೋಟ್ರೋಪಿಕ್ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ವಸ್ತು

ಮುಖ್ಯ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನಂತೆ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಬದಲಾಗುವ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ 9 ಸ್ವತಂತ್ರ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆರ್ಥೋಟ್ರೋಪಿಕ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಮುಖ್ಯ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನ ಯಂಗ್ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ಗಳು \(E_1, E_2, E_3\), ಮುಖ್ಯ ಅಕ್ಷಗಳ ನಡುವಿನ ಪಾಯ್ಸನ್ ಅನುಪಾತಗಳು \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) ಮತ್ತು ಕತ್ತರಿಕೆ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ಗಳು \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). \(D\) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸ್ಪಷ್ಟ ರೂಪಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.

ಸೀಮಿತ ವಿರೂಪಣ ವ್ಯಾಪ್ತಿ: St.Venant-Kirchhoff ವಸ್ತು

ದೊಡ್ಡ ಭ್ರಮಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೂ ವಿಕೃತಿಯೇ ಸಣ್ಣವಾಗಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, 2ನೇ Piola-Kirchhoff ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{S}\) ಮತ್ತು Green-Lagrange ವಿಕೃತಿ \(\boldsymbol{E}\) ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ನಿಯಮವಾಗಿ St.Venant-Kirchhoff ವಸ್ತುವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

ಲಾಮೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು \(\lambda, \mu\) ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಣ್ಣ ವಿರೂಪಣ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿರುವುದೇ ಆಗಿದೆ. ಆದರೆ ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ವಿಕೃತಿಯ ಜೋಡಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಬೇರೆ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಸಣ್ಣ ವಿರೂಪಣದ Hooke ನಿಯಮಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ರಚನಾ ನಿಯಮವೆಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

ಹೈಪೋಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ವಸ್ತು

Updated Lagrange ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಸಾಪೇಕ್ಷ Kirchhoff ಒತ್ತಡ ಟೆನ್ಸರ್‌ನ Jaumann ದರ \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) ಮತ್ತು ವಿರೂಪಣ ದರ ಟೆನ್ಸರ್ \(\boldsymbol{D}\) ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ನಿಯಮವಾದ

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಹೈಪೋಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ವಸ್ತುವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಯೂ ಲಾಮೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ \(\boldsymbol{C}\) ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮೇಲಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ; ಆದರೆ ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ವಿಕೃತಿಯ ಜೋಡಿ ಬೇರೆ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ರಚನಾ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ. ಕಾಲ ಸಮಾಕಲನ ಕ್ರಮದ ಮೂಲಕ (ಫಾರ್ವರ್ಡ್ Euler ಸಮಾಕಲನ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸನ್ನಿಕಟನೆ) \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) ನ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಹೇಗೆ ನವೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ವಿವರಗಳಿಗೆ tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex ಅನ್ನು ನೋಡಿ.

2-ಆಯಾಮದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಶೆಲ್ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸರಳೀಕರಣ

ಸಮತಲ ಒತ್ತಡ (\(\sigma_{33} = 0\))

ತೆಳುವಾದ ಫಲಕಗಳು ಮತ್ತು ಶೆಲ್‌ಗಳ ಮೇಲಿನ ಭಾರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಮತಲ ಒತ್ತಡದಲ್ಲಿ, \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) ಎಂದು ಊಹಿಸಿ, ಸಮತಲದ ಹೊರಗಿನ ವಿಕೃತಿ ಘಟಕ \(\varepsilon_{33}\) ಅನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ ಸರಳೀಕೃತ ವಸ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \(D\) ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

ಸಮತಲ ವಿಕೃತಿ (\(\varepsilon_{33} = 0\))

ದಪ್ಪದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ದೀರ್ಘ ರಚನೆಯ ಅಡ್ಡಮಟ್ಟವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಮತಲ ವಿಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

ಅಕ್ಷಸಮಮಿತಿ

ಸಿಲಿಂಡ್ರಿಕಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು \((r, \theta, z)\) ನಲ್ಲಿ \(\theta\) ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಅಕ್ಷಸಮಮಿತಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) ಮತ್ತು \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) ಎಂಬ 4 ಘಟಕಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಂಡು,

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

ಎಂದು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

ಶೆಲ್ ಅಂಶಗಳು (ಸಮತಲ ಒತ್ತಡ + ಅಡ್ಡ ಕತ್ತರಿಕೆ)

ಶೆಲ್ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಮತಲದೊಳಗಿನ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಸಮತಲ ಒತ್ತಡವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೊತೆಗೆ, ಅಡ್ಡ ಕತ್ತರಿಕೆ ವಿಕೃತಿ ಘಟಕಗಳು \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) ಗೆ ಕತ್ತರಿಕೆ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಗುಣಕ \(\kappa\) (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ \(\kappa = 5/6\)) ಅನ್ವಯಿಸಿ \(\kappa\, G\) ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶದ ವಿವರವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಉನ್ನತ ಅಂಶ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ನೋಡಿ. ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಭಾಗದ 03_material ನಲ್ಲಿ ಇರುವ "ಶೆಲ್ ಅಂಶಗಳು ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತವೆ" ಎಂಬ ನಿರ್ದಿಷ್ಟೀಕರಣವು ಸಮತಲದೊಳಗಿನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಮತಲ ಒತ್ತಡವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಈ ಸರಳೀಕರಣದ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ.

ತಾಪಮಾನ ಅವಲಂಬಿತತೆ

ಯಂಗ್ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ \(E\), ಪಾಯ್ಸನ್ ಅನುಪಾತ \(\nu\) ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆ ಗುಣಾಂಕ \(\alpha\) ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಾಪಮಾನ \(T\) ನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. FrontISTR ನಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತಾಪಮಾನ ಬಿಂದುಗಳ ಸರಣಿ \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) ಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಇನ್‌ಪುಟ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ಗಣನೆಯಲ್ಲಿನ ತಾಪಮಾನ \(T\) ಗಾಗಿ ಪಕ್ಕಪಕ್ಕದ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ರೇಖೀಯ ಇಂಟರ್‌ಪೊಲೇಷನ್ ಮೂಲಕ ಸಂಬಂಧಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಹೊರಗಿನ ತಾಪಮಾನಗಳಿಗೆ (\(T < T_1\) ಅಥವಾ \(T > T_n\)), ಅತಿ ಸಮೀಪದ ಅಂಚಿನ \(T_1\) ಅಥವಾ \(T_n\) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರಾಪೊಲೇಷನ್‌ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸ್ಥಿರ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರಾಪೊಲೇಷನ್).

ಉಷ್ಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ (ಸಾಂದ್ರತೆ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಉಷ್ಣ ಮತ್ತು ಉಷ್ಣ ವಾಹಕತೆ) ತಾಪಮಾನ ಅವಲಂಬಿತತೆಗೆ ಉಷ್ಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನೋಡಿ. ಇಂಟರ್‌ಪೊಲೇಷನ್ ನಿಯಮಗಳು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆ.

ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯಗಳು