ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ FrontISTR ಬಳಸುವ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ರಚನಾ ನಿಯಮದ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿ ಆಯ್ಕೆ ಮತ್ತು ಇನ್‌ಪುಟ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಗಳ ವಿವರಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯವಿಭಾಗದ 03_material ನೋಡಿ.

ಘಟನೆ (ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಿರೂಪಣ)

TBD (ಮುಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಠ್ಯವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗುವುದು).

ರಚನಾ ನಿಯಮದ ಚೌಕಟ್ಟು

FrontISTR ಸಂಬಂಧಿತ ಹರಿವು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ರಚನಾ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಈ ರಚನಾ ಸಮೀಕರಣವು Kirchhoff ಒತ್ತಡದ Jaumann ದರ ಮತ್ತು ವಿರೂಪಣ ದರ ಟೆನ್ಸರ್ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; ವಿರೂಪಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ನವೀಕರಿಸಿದ Lagrange ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಸ್ತುವಿನ ಇಳುವರಿ ಷರತ್ತು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಆರಂಭಿಕ ಇಳುವರಿ ಷರತ್ತು:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

ನಂತರದ ಇಳುವರಿ ಷರತ್ತು:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

ಇಲ್ಲಿ,

  • \(F\): ಇಳುವರಿ ಕಾರ್ಯ
  • \(\sigma_{y_0}\): ಆರಂಭಿಕ ಇಳುವರಿ ಒತ್ತಡ
  • \(\sigma_y\): ನಂತರದ ಇಳುವರಿ ಒತ್ತಡ
  • \(\sigma\): ಒತ್ತಡ ಟೆನ್ಸರ್
  • \(e\): ಅಲ್ಪ ವಿಕೃತಿ ಟೆನ್ಸರ್
  • \(e^p\): ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಿಕೃತಿ ಟೆನ್ಸರ್
  • \(\overline{e}^p\): ಸಮತೂಲ್ಯ ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಿಕೃತಿ

ಇಳುವರಿ ಒತ್ತಡ–ಸಮತೂಲ್ಯ ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಿಕೃತಿ ಸಂಬಂಧವು ಏಕಾಕ್ಷ ಸ್ಥಿತಿಯ ಒತ್ತಡ–ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಿಕೃತಿ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಏಕಾಕ್ಷ ಸ್ಥಿತಿಯ ಒತ್ತಡ–ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಿಕೃತಿ ಸಂಬಂಧ

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

ಇಲ್ಲಿ \(H'\) ವಿರೂಪಣ ಗಟ್ಟಿಯಾಗುವ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ.

ಸಮತೂಲ್ಯ ಒತ್ತಡ–ಸಮತೂಲ್ಯ ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಿಕೃತಿ ಸಂಬಂಧ

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

ನಂತರದ ಇಳುವರಿ ಕಾರ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಾಪಮಾನ ಮತ್ತು ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಿಕೃತಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಆದರೆ ಸರಳತಿಗಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ ಅದು ಸಮತೂಲ್ಯ ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಿಕೃತಿ \(\overline{e}^p\) ಮಾತ್ರದ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಿರೂಪಣ ಮುಂದುವರಿಯುವಾಗ \(F = 0\) ಸದಾ ತೃಪ್ತಿಯಾಗಿರಬೇಕು; ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ಥಾಪಿತವಾಗಿರಬೇಕು.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

ಇಲ್ಲಿ \(\dot{F}\) ಎನ್ನುವುದು \(F\) ನ ಕಾಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಮುಂದೆ, ಯಾವುದಾದರೂ ಪ್ರಮಾಣ \(A\) ಯ ಕಾಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು \(\dot{A}\) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ \(\Theta\) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಿಕೃತಿ ದರವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

ಇಲ್ಲಿ \(\dot{\lambda}\) ಒಂದು ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ.

ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ \(\Theta\) ಇಳುವರಿ ಕಾರ್ಯ \(F\) ಗೆ ಸಮನಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಿತ ಹರಿವು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಗತತಾ ಷರತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

ಇಲ್ಲಿ \(D\) ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು,

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಒತ್ತಡ–ವಿಕೃತಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಸ್ತುವಿನ ಇಳುವರಿ ಕಾರ್ಯ \(F\) ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅದರ ರಚನಾ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಇಳುವರಿ ಕಾರ್ಯಗಳು

FrontISTR ಬಳಸುವ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಇಳುವರಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

Von Mises ಇಳುವರಿ ಕಾರ್ಯ

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

ಇಲ್ಲಿ \(J_2\) ವಿಚಲನ ಒತ್ತಡ ಟೆನ್ಸರ್‌ನ 2ನೇ ಅಚಲಮಾನವಾಗಿದೆ.

Mohr-Coulomb ಇಳುವರಿ ಕಾರ್ಯ

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

ಇಲ್ಲಿ \(\sigma_1, \sigma_3\) ಕ್ರಮವಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ರಧಾನ ಒತ್ತಡಗಳು, \(c\) ಸಂಯೋಜಕ ಬಲ, ಮತ್ತು \(\phi\) ಆಂತರಿಕ ಘರ್ಷಣಾ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

Drucker-Prager ಇಳುವರಿ ಕಾರ್ಯ

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

ಇಲ್ಲಿ ವಸ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾದ \(\alpha\) ಮತ್ತು \(\sigma_y\) ಅನ್ನು ವಸ್ತುವಿನ ಸಂಯೋಜಕ ಬಲ ಮತ್ತು ಘರ್ಷಣಾ ಕೋನದಿಂದ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯಗಳು