ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ಸನ್ನಿಕಟನೆ

ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸದ ತತ್ವದ ದುರ್ಬಲ ರೂಪವನ್ನು ಗಣಕದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲು, ದೇಹದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶದೊಳಗಿನ ವಸ್ತುಬಿಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ, ಸ್ಥಳಾಂತರ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೋಡಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹಾಗೂ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಅಂತರ್ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು, ದುರ್ಬಲ ರೂಪದ ವಿಚ್ಛೇದೀಕರಣಕ್ಕೆ ಆಂತರಿಕ ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸದ ವಿಚ್ಛೇದೀಕರಣ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಂಶ ಪ್ರಕಾರದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಂಶ ಸಂಖ್ಯೀಕರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯ ಲೈಬ್ರರಿ ಹಾಗೂ ಅದರ ನಂತರದ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.

ಪ್ರದೇಶ ವಿಭಜನೆ ಮತ್ತು ಅಂಶವಾರು ಸಮಾಕಲನ

ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ಪ್ರದೇಶ \(\Omega_0\) ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದ ಪ್ರದೇಶ \(\Omega\) ಅನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಂಶಗಳ \(\Omega^e_0\) ಮತ್ತು \(\Omega^e\) ಸಂಯೋಗದಿಂದ ಸನ್ನಿಕಟಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

ಇಲ್ಲಿ \(e\) ಅಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಕ್ಕದ ಅಂಶಗಳು ತಮ್ಮ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇದರಿಂದ ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸದ ತತ್ವದಲ್ಲಿ ಕಾಣುವ ಘನಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ಸಮಾಕಲನಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ಸಮಾಕಲನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೂ ಇದೇ ಸಂಬಂಧ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ; ಅಲ್ಲಿ \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), ಮತ್ತು \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) ಎಂದು ಬದಲಿಸಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿ ದುರ್ಬಲ ರೂಪದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು ಅಂಶವಾರು ಸಮಾಕಲನಗಳ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು.

ನೋಡಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂತರ್ನಿರ್ದೇಶನ (ಐಸೋಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಂಶಗಳು)

ಪ್ರತಿ ಅಂಶ \(\Omega^e_0\) ಗೆ \(n_e\) ನೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಶದ ನೋಡ್ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) ಯ ಉಲ್ಲೇಖ-ವಿನ್ಯಾಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮತ್ತು ನೋಡಲ್ ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ. ಇವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿದ ಅಂಶ ನೋಡಲ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) ಮತ್ತು \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) ಆಗಿವೆ. ಇವು ಜಾಗತಿಕ ನೋಡಲ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾದ \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) ನಿಂದ ಅಂಶ \(e\) ಅನ್ನು ರಚಿಸುವ ನೋಡ್‌ಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ನಿರ್ಮಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ; ಇಲ್ಲಿ \(n_g\) ಒಟ್ಟು ನೋಡ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಅಂಶದ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು \(\boldsymbol{r}\) ಅನ್ನು ಪರಾಮಿತಿಗಳಾಗಿ ಬಳಸಿ, ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) ಮೂಲಕ ಅಂಶದೊಳಗಿನ ವಸ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ, ಸ್ಥಳಾಂತರ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದೇ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಅಂತರ್ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಐಸೋಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಂಶ ಮತ್ತು Galerkin ವಿಧಾನದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ:

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೊತೆಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಿಂದ ವಸ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಕ್ಕೆ ಇರುವ ನಕ್ಷೆ \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) ಅಂಶದೊಳಗೆ ಏಕೈಕವಾಗುವಂತೆ ಅಂಶದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

ಇಲ್ಲಿ \(\boldsymbol{r}_\alpha\) ನೋಡ್ \(\alpha\) ಗೆ ಸೇರಿದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಬಿಂದು ಮತ್ತು \(\delta_{\alpha\beta}\) Kronecker ಡೆಲ್ಟಾ. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು ದೃಢ-ದೇಹ ಸ್ಥಾನಾಂತರವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುವುದನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ; ಎರಡನೆಯದು ಅಂತರ್ನಿರ್ದೇಶಿತ ಮೌಲ್ಯವು ನೋಡ್‌ನಲ್ಲಿ ನೋಡಲ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಅಂಶ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ ಬೇಕಾದ \(n_e\) ಮತ್ತು \(N_\alpha^e\) ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪಗಳನ್ನು ಅಂಶ ಸಂಖ್ಯೀಕರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯ ಲೈಬ್ರರಿ ಹಾಗೂ ಅದರ ನಂತರದ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಸಂಕೇತನವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿಡಲು ಅಂಶ ಪ್ರಕಾರದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಅಂಶವಾರು ಮೇಲ್ಸೂಚಕ \(e\) ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಈ ಅಂತರ್ನಿರ್ದೇಶನ ನಿಯಮಗಳ ಮೂಲಕ ದುರ್ಬಲ ರೂಪದ ಸಮಾಕಲ್ಯದ ಒಳಗಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಅಂಶ ನೋಡಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) ಮತ್ತು \(N_\alpha^e\) ಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ವಿಕೃತಿ ಅಂತರ್ನಿರ್ದೇಶಿತ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಮತ್ತು ವಿಕೃತಿ-ಸ್ಥಳಾಂತರ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ; ಒತ್ತಡವು ಆ ವಿಕೃತಿ ಮತ್ತು ವಸ್ತು ಸಂರಚನಾ ನಿಯಮದಿಂದ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇವುಗಳನ್ನು ನೋಡಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅಂತರ್ನಿರ್ದೇಶಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಅಂಶದ ಸಮಾಕಲನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾಕಲನ).

ಜಾಗತಿಕ ನೋಡಲ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಕ್ರಮವಿನ್ಯಾಸ ನಿಯಮ

ನೋಡ್‌ಗಳಿಗೆ ನಿಯೋಜಿಸಲಾದ ಭೌತಿಕ ರಾಶಿಗಳನ್ನು ಜಾಗತಿಕ ನೋಡಲ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ನೋಡ್ ಸಂಖ್ಯೆ → ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಏರಿಕೆಯಾಗುವಂತೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೋಡ್ \(\alpha\) ಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶ \(i\) ರ ಘಟಕವನ್ನು \(u_{i\alpha}\) ಎಂದು ಬರೆಯುವುದಾದರೆ, ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ (\(i=1,2,3\)) ಮತ್ತು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ (\(i=1,2\)) ಕ್ರಮವಾಗಿ

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

ಎಂಬ ಕ್ರಮ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವೆಕ್ಟರ್ \(\boldsymbol{X}^n\) ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯ \(\delta\boldsymbol{u}^n\) ಕೂಡ ಇದೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಮುಂದಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ