ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು

ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ಅಂದಾಜುನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅಂಶದ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾದ \(\boldsymbol{r}\) ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ನೀಡಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ವಿಕೃತಿ-ಸ್ಥಳಾಂತರ ಸಂಬಂಧದ ಮೂಲಕ ದುರ್ಬಲ ರೂಪದ ಸಮಾಕಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ (ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸ \(\boldsymbol{X}\) ಅಥವಾ ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸ \(\boldsymbol{x}\)) ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಾದ \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) ಅಥವಾ \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಈ ವಿಭಾಗವು ಅಂಶದ ನೋಡಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಶೃಂಖಲಾ ನಿಯಮದಿಂದ ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ವ್ಯಕ್ತೀಕರಣ

\(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ಎಂಬ ಅಂತರಕ್ಷೇಪಣ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ (ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗ) ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಆಗುವ ನಕ್ಷೆಯ Jacobian ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

ಇಲ್ಲಿ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ಮತ್ತು \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ \(\alpha\)ನೇ ಸಾಲು, \(\alpha\)ನೇ ನೋಡ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ \(n_e \times 3\) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ.

Jacobian ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರಚನೆ

ಅಂತರಕ್ಷೇಪಣ ಸೂತ್ರವನ್ನು \(\boldsymbol{r}\) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮಾಡಿದರೆ

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಶದ ನೋಡಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾದ \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಾದ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ಅನ್ನು ಬಳಸಿ Jacobian ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ನೈಸರ್ಗಿಕ-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕಾರ್ಯರೂಪದಿಂದ ನಿರ್ಧಾರವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೂ ಅವುಗಳನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿಯೇ ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

Jacobian ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾಕಲನದಲ್ಲಿ ಘನಪರಿಮಾಣ ಅಂಶವನ್ನು \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) ರಂತೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕವು \(0\) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂಶವು ಅಪಕರ್ಷಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣನಾತ್ಮಕ ಪ್ರವಾಹ

ಮೇಲಿನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಿಂದ, ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಾದ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ನಾಲ್ಕು ಹಂತಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು.

  1. ನೈಸರ್ಗಿಕ-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಿ: ಅಂಶದ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಬಿಂದುವಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾದ \(\boldsymbol{r}\) ಅನ್ನು ಇನ್‌ಪುಟ್ ಆಗಿ ಬಳಸಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕಾರ್ಯರೂಪವು ಅಂಶದ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದರಿಂದ, ಅಂಶದ ಪ್ರಕಾರದ ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯನ್ನು ಶಾಖೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
  2. Jacobian ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಿ: ಅಂಶದ ನೋಡಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾದ \(\boldsymbol{X}^e\) ಮತ್ತು \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ Jacobian ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ.
  3. ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಿ: Jacobian ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ವಿಲೋಮ \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಿ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾಕಲನದ ತೂಕದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
  4. ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಿ: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ಮತ್ತು \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಾದ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ಅನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ.

ಈ ನಾಲ್ಕು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಶದ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನಿಕ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ (ಎರಡು ಅಥವಾ ಮೂರು ಆಯಾಮ) ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಶಾಖೆಗಳು ಉಂಟಾದರೂ, ಒಟ್ಟಾರೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹರಿವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉಲ್ಲೇಖ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ವಹಣೆ

ಮೇಲಿನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ \(\boldsymbol{X}^e\) ಬದಲಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತ ನೋಡಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾದ \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದ ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಾದ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇನ್‌ಪುಟ್ ನೋಡಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ Total Lagrangian ಮತ್ತು Updated Lagrangian ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ