ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

ಆಂತರಿಕ ಬಲದ ವರ್ಚುವಲ್ ವರ್ಕ್‌ನ ವಿಚ್ಛಿನ್ನೀಕರಣ

ಹೆಚ್ಚಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಚೌಕಟ್ಟುನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಸಮಯ \(t + \Delta t\)ನ ವರ್ಚುವಲ್ ವರ್ಕ್ ಸಮೀಕರಣವು, ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ಆಯ್ಕೆಯ ಪ್ರಕಾರ Updated Lagrange ವಿಧಾನ ಮತ್ತು Total Lagrange ವಿಧಾನ ಎಂಬ ಎರಡು ರೂಪಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ-ಅಂಶ ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳುಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸಿ, ಎರಡೂ ರೂಪೀಕರಣಗಳ ಆಂತರಿಕ ಬಲದ ವರ್ಚುವಲ್ ವರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಾನಿಕವಾಗಿ ವಿಚ್ಛಿನ್ನಗೊಳಿಸಿ, ಅಂಶದ ಆಂತರಿಕ ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾದ \(\boldsymbol{q}^e\) (UL ವಿಧಾನ) ಮತ್ತು \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL ವಿಧಾನ)ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂಶ \(e\)ನ ಸಂಯೋಜಕ ನೋಡ್‌ಗಳಾದ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) ಗಳ ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿ, ಅಂಶದ ನೋಡಲ್ ಸ್ಥಳಾಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) ಎಂದು ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ವರ್ಚುವಲ್ ಸ್ಥಳಾಂತರ \(\delta \boldsymbol{u}^e\) ಅನ್ನೂ ಅದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಶದೊಳಗಿನ ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) ಎಂದು ಅಂತರಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

Updated Lagrange ವಿಧಾನದ ಆಂತರಿಕ ಬಲದ ವರ್ಚುವಲ್ ವರ್ಕ್

Updated Lagrange ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಸಮಯ \(t\)ನ ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸ \({}^{t}\Omega\) ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. Cauchy ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{\sigma}\) ಮತ್ತು Almansi ವಿಕೃತಿಯ ರೇಖೀಯ ಭಾಗ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) ಅನ್ನು ಬಳಸಿ ಆಂತರಿಕ ಬಲದ ವರ್ಚುವಲ್ ವರ್ಕ್ ಅನ್ನು

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು, ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾದ \(\boldsymbol{x}\)ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ಮತ್ತು ನೋಡಲ್ ವರ್ಚುವಲ್ ಸ್ಥಳಾಂತರ \(\delta u^e_{i\alpha}\) ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. Voigt ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

ಎಂದು ಒಗ್ಗೂಡಿಸಬಹುದು. ನೋಡ್ ಬ್ಲಾಕ್ \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) ಎಂಬುದು \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ಅನ್ನು Voigt ನಿಯಮದಂತೆ ಅಳವಡಿಸಿದ \(6 \times 3\) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, \(\boldsymbol{B}_L\) UL ವಿಧಾನದ ವಿಕೃತಿ-ಸ್ಥಳಾಂತರ ಸಂಬಂಧ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಬಲದ ವರ್ಚುವಲ್ ವರ್ಕ್‌ಗೆ ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪಿಸಿ \(\delta \boldsymbol{u}^e\) ಅನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದರೆ

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

ಸಿಗುತ್ತದೆ. \(\boldsymbol{q}^e\)ನ ನೋಡ್ ಬ್ಲಾಕ್ \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) ಅಂಶ \(\Omega^e\)ನ ಸಂಯೋಜಕ ನೋಡ್ \(\alpha\) ಮೇಲೆ ಕ್ರಿಯಿಸುವ ಆಂತರಿಕ ಬಲವಾಗಿದೆ.

Total Lagrange ವಿಧಾನದ ಆಂತರಿಕ ಬಲದ ವರ್ಚುವಲ್ ವರ್ಕ್

Total Lagrange ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ವಿನ್ಯಾಸ \(\Omega_0\) ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. 2ನೇ Piola-Kirchhoff ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{S}\) ಮತ್ತು Green-Lagrange ವಿಕೃತಿ \(\boldsymbol{E}\) ಅನ್ನು ಬಳಸಿ ಆಂತರಿಕ ಬಲದ ವರ್ಚುವಲ್ ವರ್ಕ್ ಅನ್ನು

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. \(\delta \boldsymbol{E}\) ಅನ್ನು ವರ್ಚುವಲ್ ಸ್ಥಳಾಂತರದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವ ಪದ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಪ್ರವಣತೆ \(\partial u_k/\partial X_j\) ಯೊಂದಿಗಿನ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಅರೇಖೀಯ ಪದವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

ರೇಖೀಯ ಪದಕ್ಕಾಗಿ, UL ವಿಧಾನದಲ್ಲಿರುವ ಅದೇ ಅಳವಡಿಕೆ ನಿಯಮವನ್ನು \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ ನೋಡ್ ಬ್ಲಾಕ್ \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) ಅನ್ನು ರಚಿಸಿದರೆ

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ಬದಲಿಗೆ \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ಆಗುವುದಷ್ಟೇ; ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು UL ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಅರೇಖೀಯ ಪದಕ್ಕಾಗಿ, ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಪ್ರವಣತೆ \(\partial u_k/\partial X_j\) ಮತ್ತು \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳನ್ನು Voigt ನಿಯಮದಂತೆ ಅಳವಡಿಸಿ ನೋಡ್ ಬ್ಲಾಕ್ \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) ಅನ್ನು ರಚಿಸಿದರೆ

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) TL ವಿಧಾನದ ವಿಕೃತಿ-ಸ್ಥಳಾಂತರ ಸಂಬಂಧ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಬಲದ ವರ್ಚುವಲ್ ವರ್ಕ್‌ಗೆ ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

ಸಿಗುತ್ತದೆ. ನೋಡ್ ಬ್ಲಾಕ್ \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) ಅಂಶ \(\Omega^e_0\)ನ ಸಂಯೋಜಕ ನೋಡ್ \(\alpha\) ಮೇಲೆ ಕ್ರಿಯಿಸುವ ಆಂತರಿಕ ಬಲವಾಗಿದೆ.

UL/TL ನಡುವಿನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮತ್ತು ಗಣನಾ ಪ್ರವಾಹ

Updated Lagrange ಮತ್ತು Total Lagrange ವಿಧಾನಗಳ ಅಂಶ ಆಂತರಿಕ ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ.

ಅಂಶ Updated Lagrange ವಿಧಾನ Total Lagrange ವಿಧಾನ
ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸ ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸ \({}^{t}\Omega^e\) ಮೂಲ ವಿನ್ಯಾಸ \(\Omega^e_0\)
ಒತ್ತಡ ಟೆನ್ಸರ್ Cauchy ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{\sigma}\) 2ನೇ PK ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{S}\)
ವಿಕೃತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
ಅಂಶ ಆಂತರಿಕ ಬಲ \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು: ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ \(\boldsymbol{B}_L\) ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು; TL ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಪ್ರವಣತೆಯಿಂದ \(\boldsymbol{B}_{NL}\) ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಸೇರಿಸುವುದು; ರಚನಾ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಒತ್ತಡವನ್ನು (\(\boldsymbol{\sigma}\) ಅಥವಾ \(\boldsymbol{S}\)) ನವೀಕರಿಸುವುದು; ಮತ್ತು ಸಮಾಕಲನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) ಅಥವಾ \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) ಅನ್ನು ಅಂಶ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾಕಲಿಸುವುದು (ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾಕಲನ). ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ಬದಲಾವಣೆ (ನೋಡಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು \(\boldsymbol{B}\) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಿರ್ಮಾಣ) ಮತ್ತು ಒತ್ತಡ ಟೆನ್ಸರ್‌ನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಉಳಿದ ಕ್ರಮ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, FrontISTR ನಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳ ಆಂತರಿಕ ಬಲದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಕ್ರಮಗಳ ಮೂಲಕ ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಅಂಶದ ಆಂತರಿಕ ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾದ \(\boldsymbol{q}^e\), \(\boldsymbol{Q}^e\) ಗಳನ್ನು ಜಾಗತಿಕ ಆಂತರಿಕ ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಾಹ್ಯ-ಬಲ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಜಾಗತಿಕ ಸಮೀಕರಣ ಸಂಯೋಜನೆನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯಗಳು