ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

ಬಾಹ್ಯ ಬಲಗಳ ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸ ಮತ್ತು ಜಾಗತಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ

ಆಂತರಿಕ ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸದ ವಿಚ್ಛೇದೀಕರಣದಲ್ಲಿ ದುರ್ಬಲ ರೂಪದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಅಂಶ ಆಂತರಿಕ-ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ \(\boldsymbol{q}^e\) (UL ವಿಧಾನ) ಅಥವಾ \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL ವಿಧಾನ)ಕ್ಕೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ಬಲಗಳ ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸದಿಂದ ಅಂಶ ನೋಡಲ್ ಬಾಹ್ಯ-ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ \(\boldsymbol{F}^e\) ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿ, ಅಂಶ ನೋಡಲ್ ರಾಶಿಗಳನ್ನು ಜಾಗತಿಕ ನೋಡ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮರುಕ್ರಮಗೊಳಿಸಿ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಸಂಯೋಜನೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ FrontISTR‌ನ ಅರೇಖೀಯ ರಚನಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಪರಿಹರಿಸುವ ನೋಡಲ್ ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಾಹ್ಯ ಬಲಗಳ ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸದ ಅಂಶ ವಿಭಜನೆ

ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸದ ತತ್ವದ ಬಲಭಾಗವು ದೇಹ ಬಲ ಮತ್ತು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮೇಲ್ಮೈ ಬಲಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಬಾಹ್ಯ ಬಲಗಳ ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸವಾಗಿದೆ; ಇದನ್ನು ಅಂಶವಾರು ವಿಭಜಿಸಬಹುದು. ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ಸನ್ನಿಕಟನೆದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಅಂತರ್ನಿರ್ದೇಶನವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು, ನೋಡ್ \(\alpha\) ಯ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯ \(N_\alpha^e\) ಅನ್ನು ಕರ್ಣದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರುವ \(d \times d\) ಬ್ಲಾಕ್ \(\boldsymbol{N}_\alpha\) ಮತ್ತು ಅವನ್ನು ಅಡ್ಡವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿದ \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ಆಗ \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). ಇದನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಬರೆದ ಬಾಹ್ಯ ಬಲಗಳ ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

ಎಂಬ ಸಂಬಂಧ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಅಂಶ ನೋಡಲ್ ಬಾಹ್ಯ-ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) ಎಂದು ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಬಾಹ್ಯ ಬಲಗಳ ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸವನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಬಲದ ಭಾಗದಂತೆಯೇ “ಅಂಶ ನೋಡಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ × ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯ” ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವಾಗ \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), ಮತ್ತು \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) ಎಂದು ಬದಲಿಸಿದರೆ ಇದೇ ರೂಪ ಸಿಗುತ್ತದೆ.

ಅಂಶ ನೋಡಲ್ ರಾಶಿಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ

ಪ್ರತಿ ಅಂಶದಿಂದ ದೊರೆಯುವ ನೋಡಲ್ ರಾಶಿಗಳಾದ \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) ಗಳನ್ನು ಜಾಗತಿಕ ನೋಡ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರುವ ಜಾಗತಿಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಶ \(\Omega^e\) ನ ಸ್ಥಳೀಯ ನೋಡ್ ಸಂಖ್ಯೆ \(\alpha\) ಗೆ ಸೇರಿದ ಜಾಗತಿಕ ನೋಡ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ. ಆಗ ಅಂಶ ನೋಡಲ್ ರಾಶಿಯು ಜಾಗತಿಕ ನೋಡಲ್ ರಾಶಿಯ ಅನುಗುಣ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೋಡ್ \(i_g\) ಅನ್ನು ಅನೇಕ ಅಂಶಗಳು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಜಾಗತಿಕ ನೋಡ್ ಸಂಖ್ಯೆ \(i_g\) ಆಗುವ \((e, \alpha)\) ಜೋಡಿಗಳ ಸಮೂಹವನ್ನು

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) ಎಂದು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮರುಬರೆದರೆ, ಎಲ್ಲಾ \(n_g\) ನೋಡ್‌ಗಳ ಮೇಲಿನ ನೋಡಲ್ ಆಂತರಿಕ ಬಲ ಮತ್ತು ಜಾಗತಿಕ ಆಂತರಿಕ-ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಹೀಗಿವೆ:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

\(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) ಎಂಬುದು ನೋಡ್ \(i_g\) ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಂಶ ನೋಡಲ್ ಆಂತರಿಕ ಬಲಗಳ ಫಲಿತ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗುತ್ತದೆ; ಬಾಹ್ಯ ಬಲವಿಲ್ಲದೆ ಸಮತೋಲನ ಸಾಧಿಸಿದಾಗ ಅದು \(\boldsymbol{0}\) ಆಗುತ್ತದೆ. UL ವಿಧಾನದಲ್ಲಿಯೂ ಇದೇ ಕ್ರಮದಿಂದ \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಮುಂದಿನಿಂದ \(\boldsymbol{Q}\) ಸಂಕೇತನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾಗತಿಕ ಬಾಹ್ಯ-ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ \(\boldsymbol{F}\) ನ್ನೂ ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅನುಷ್ಠಾನದಲ್ಲಿ \(\mathcal{E}(i_g)\) ಸಮೂಹವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಬದಲಾಗಿ ಅಂಶ ಲೂಪ್‌ನಲ್ಲೇ ಅನುಗುಣ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಜಾಗತಿಕ ಆಂತರಿಕ-ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ Q ಅನ್ನು 0 ಗೆ ಆರಂಭಿಸಿ: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
e = 1 ರಿಂದ (ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ವರೆಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ
    α = 1 ರಿಂದ n_e ವರೆಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    α ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಅಂತ್ಯ
e ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಅಂತ್ಯ

ಜಾಗತಿಕ ಬಾಹ್ಯ-ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ \(\boldsymbol{F}\) ನ್ನೂ ಇದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾಗತಿಕ ನೋಡ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗೊಳಿಸಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಅಂಶ ನೋಡಲ್ ರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ನೋಡ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳಿಗೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಿಗೆ, \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) ಸಮೂಹವನ್ನು ಬಳಸಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಯೋಜನೆ ಮಾಡಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನೋಡಿ.

ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ಅರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಸಂಯೋಜಿಸಿದ ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಬಲಗಳನ್ನು ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸದ ತತ್ವಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪಿಸಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಯಾವುದೇ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯ \(\delta\boldsymbol{u}^n\) ಗಾಗಿ ಅದು ಸತ್ಯವಾಗಿರಬೇಕೆಂಬುದನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ವರ್ಧಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ವರ್ಧಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಚೌಕಟ್ಟು), ಸಮಯದ ಕೆಳ್ಸೂಚಕ \(_{n+1}\) ಅನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸಿ ಜಾಗತಿಕ ನೋಡಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸೂಚಿಸುವ ಮೇಲ್ಸೂಚಕ \(^n\) ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟರೆ, ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ಸಮೀಕರಣವು

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

ಆಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ಸಮಯ \(t_{n+1}\) ರ ನೋಡಲ್ ಸ್ಥಳಾಂತರ \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಚ್ಛೇದಿತ ಗಡಿ-ಮೌಲ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಅರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ರೇಖೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ನ್ಯೂಟನ್–ರಾಫ್ಸನ್ ವಿಧಾನ ನೋಡಿ.

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ