ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾಕಲನ

ಆಂತರಿಕ ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸದ ವಿಚ್ಛೇದೀಕರಣ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸ ಹಾಗೂ ಜಾಗತಿಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಯೋಜನೆ ಯಲ್ಲಿ ದೊರಕುವ ಅಂಶದ ಆಂತರಿಕ-ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) ಮತ್ತು ಅಂಶ ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \(\boldsymbol{K}^e\) ಅಂಶ ಡೊಮೇನ್ \(\Omega^e\) ಅಥವಾ \(\Omega^e_0\) ಮೇಲಿನ ಸಮಾಕಲ್ಯಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. FrontISTR ಇವುಗಳನ್ನು Gauss ಸಮಾಕಲನದಿಂದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

Gauss ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಮತ್ತು ಚರ ಪರಿವರ್ತನೆ

Gauss ಸಮಾಕಲನವು ಉಲ್ಲೇಖ ಡೊಮೇನ್ \(\Xi\) ಮೇಲಿನ ಸಮಾಕಲ್ಯವನ್ನು ಸಮಾಕಲನ ಬಿಂದುಗಳು \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) ಯಲ್ಲಿನ ಸಮಾಕಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ತೂಕಗಳು \(w_i\) ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಅಂದಾಜಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಅಂಶ ಡೊಮೇನ್ \(\Omega^e\) ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲು \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ಚರ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡಿ

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

ಇಲ್ಲಿ \(n_q\) ಸಮಾಕಲನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು \(J_{\xi_i}\) ಪರಿವರ್ತನಾ Jacobian ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ. ಉಲ್ಲೇಖ ಡೊಮೇನ್ \(\Xi\) ಅನ್ನು ಪ್ರತಿ ಅಂಶ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಷಟ್ಮುಖಕ್ಕೆ \([-1,1]^3\); ತ್ರಿಭುಜ, ಚತುರ್ಮುಖ ಮತ್ತು ವೆಡ್ಜ್‌ಗಳಿಗೆ ತಕ್ಕ ಉಲ್ಲೇಖ ಆಕಾರಗಳು), ಮತ್ತು ಸಮಾಕಲನ ಬಿಂದುಗಳು \(\boldsymbol{\xi}_i\) ಹಾಗೂ ತೂಕಗಳು \(w_i\) ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತವೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ಸಮಾಕಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಂಶದ ಮುಖವನ್ನು ಎರಡು-ಆಯಾಮದ ಉಲ್ಲೇಖ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಿ ಇದೇ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

FrontISTR ಬಳಸುವ ಪ್ರತಿನಿಧಿ ಸಮಾಕಲನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಅಂಶ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗೆ ಅಂಶ ಸಂಖ್ಯೀಕರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯ ಲೈಬ್ರರಿ ನೋಡಿ).

ಅಂಶ ಪ್ರಕಾರ ಸಮಾಕಲನ ನಿಯಮ ಸಮಾಕಲನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ
4-ನೋಡ್ ಚತುರ್ಮುಖ (tet4n) 1-ಬಿಂದು ನಿಯಮ 1
10-ನೋಡ್ ಚತುರ್ಮುಖ (tet10n) 4-ಬಿಂದು ನಿಯಮ 4
6-ನೋಡ್ ತ್ರಿಭುಜಾಕಾರ ಪ್ರಿಸಮ್ (prism6n) 2-ಬಿಂದು ನಿಯಮ 2
15-ನೋಡ್ ತ್ರಿಭುಜಾಕಾರ ಪ್ರಿಸಮ್ (prism15n) 9-ಬಿಂದು ನಿಯಮ 9
8-ನೋಡ್ ಷಟ್ಮುಖ (hex8n) 2×2×2 Gauss-Legendre 8
20-ನೋಡ್ ಷಟ್ಮುಖ (hex20n) 3×3×3 Gauss-Legendre 27
4-ನೋಡ್ ಚತುರ್ಭುಜಾಕಾರ (quad4n) 2×2 Gauss-Legendre 4
8-ನೋಡ್ ಚತುರ್ಭುಜಾಕಾರ (quad8n) 3×3 Gauss-Legendre 9
3-ನೋಡ್ ತ್ರಿಭುಜ (tri3n) 1-ಬಿಂದು ನಿಯಮ 1
6-ನೋಡ್ ತ್ರಿಭುಜ (tri6n) 3-ಬಿಂದು ನಿಯಮ 3

ಷಟ್ಮುಖ, ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ರೇಖಾ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ದಿಕ್ಕಿನ Gauss-Legendre ನಿಯಮದ ಟೆನ್ಸರ್ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಭುಜ, ಚತುರ್ಮುಖ ಮತ್ತು ತ್ರಿಭುಜ ಪ್ರಿಸಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್-ಪ್ರಕಾರದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಹೊಂದುವ ವಿಶೇಷ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ತ್ರಿಭುಜದ ಮೇಲಿನ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮಾಕಲಿಸುವ ಬಿಂದು ವಿನ್ಯಾಸಗಳು).

ಅಂಶ ಸಮಾಕಲನಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯ

ಅಂಶ ಸಮಾಕಲನದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು \(\boldsymbol{r}\) ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖ ಡೊಮೇನ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿ (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ನೋಡಲ್-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಂತರಕ್ಷೇಪಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ (ವರ್ಧಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಚೌಕಟ್ಟು) ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಟ್ಟು ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ವಿಧಾನ (ಸಮಾಕಲನ ಮೇಲೆ ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸ \(\Omega^e_0\)): ನಕ್ಷೆಕರಣ ಮತ್ತು Jacobian ಆಗಿವೆ

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಆಂತರಿಕ ಬಲ ಹಾಗೂ ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೀಗಾಗಿ ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

ಇಲ್ಲಿ \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) ಗಳನ್ನು ಸಮಾಕಲನ ಬಿಂದು \(\boldsymbol{r}_i\) ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

Updated Lagrangian ವಿಧಾನ (ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸ \(\Omega^e\) ಮೇಲಿನ ಸಮಾಕಲನ): ನಕ್ಷೆ ಮತ್ತು Jacobian ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

ಮತ್ತು

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

ಇವುಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜುಗಳಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳ ನಡುವಿನ ಏಕೈಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ನಕ್ಷೆಗೆ ನೀಡುವ ನೋಡಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ಅಥವಾ \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) ಯಾವುದು ಎಂಬುದು; ಸಮಾಕಲನ ಬಿಂದುಗಳು, ತೂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾಕಲನ-ಬಿಂದು ಲೂಪ್‌ನ ರಚನೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆ.

ಪೂರ್ಣ ಸಮಾಕಲನ ಮತ್ತು ಕಡಿತ ಸಮಾಕಲನ

ಸಮಾಕಲ್ಯದ ಬಹುಪದಿ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮಾಕಲಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಾಕಲನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಮಾಕಲನ ಎಂದು, ಅದಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಹಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಮಾಕಲನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಕಡಿತ ಸಮಾಕಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕತ್ತರಣೆ ಮತ್ತು ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ಲಾಕಿಂಗ್ ತಗ್ಗಿಸಲು ಕಡಿತ ಸಮಾಕಲನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಆದರೆ ಅವರ್‌ಗ್ಲಾಸ್ ಮೋಡ್‌ಗಳಂತಹ ಕೃತಕ ವಿರೂಪಣ ಮೋಡ್‌ಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರ ಅಗತ್ಯ. ಪ್ರತಿ ಅಂಶ ಪ್ರಕಾರದ ಸಮಾಕಲನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣ/ಕಡಿತ ಸಮಾಕಲನದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅಂಶ ಸಂಖ್ಯೀಕರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯ ಲೈಬ್ರರಿ, ನಂತರದ ವಿಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ಮುನ್ನಡೆಯ ಅಂಶ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ.

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ