ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

3-ಆಯಾಮದ ಘನ ಅಂಶಗಳ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ಸನ್ನಿಕಟನೆ ಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದ \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ, FrontISTR ನಿರಂತರ ಮಾಧ್ಯಮ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ 3-ಆಯಾಮದ ಘನ ಅಂಶಗಳ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟ ರೂಪಗಳನ್ನು ಈ ಅಧ್ಯಾಯವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರಥಮ/ದ್ವಿತೀಯ-ಕ್ರಮ (341/342), ತ್ರಿಭುಜ ಪ್ರಿಸಮ್ ಪ್ರಥಮ/ದ್ವಿತೀಯ-ಕ್ರಮ (351/352), ಮತ್ತು ಹೆಕ್ಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರಥಮ/ದ್ವಿತೀಯ-ಕ್ರಮ (361/362) ಎಂಬ 6 ವಿಧಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. HEC-MW ಮೆಶ್ ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿನ ನೋಡ್ ಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಮುಖ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯ ರೆಫರೆನ್ಸ್‌ನ ಅಂಶ ಗ್ರಂಥಾಲಯ ನೋಡಿ.

ಈ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ನಿರ್ಣಾಯಕದಿಂದ ಅಂಶ ಸಮಾಕಲನವನ್ನು ರಚಿಸುವ ವಿಧಾನವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾಕಲನ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. 361 ರ B-bar / F-bar / ಅಸಂಗತ ರೂಪೀಕರಣ ಹಾಗೂ ಬೀಮ್ / ಶೆಲ್ ಅಂಶಗಳ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಉನ್ನತ-ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮ ಅಂಶ ರೂಪೀಕರಣ ನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ನೋಡ್ ಕ್ರಮ

ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶದ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಾಂಕ \(\boldsymbol{r}\) ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 3-ಆಯಾಮದ ಘನ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಶದ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ವಿಧದ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

  • ಹೆಕ್ಸಾಹೆಡ್ರಲ್ (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ (341/342): ಆಯತನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಾಂಕಗಳು \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\), \(L_i \ge 0\). ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರಗಳಾಗಿ \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\) ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
  • ತ್ರಿಭುಜ ಪ್ರಿಸಮ್ (351/352): ತಳ ತ್ರಿಭುಜದ ಆಯತನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಾಂಕಗಳು \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) ಮತ್ತು ಅಕ್ಷೀಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಾಂಕ \(\zeta \in [-1, 1]\) ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಹಾಯಕ ಪ್ರಮಾಣ \(a = 1 - \xi - \eta\) ಅನ್ನು ತಳದ ಮೂರನೇ ಆಯತನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಾಂಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಥಮ-ಕ್ರಮದ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಶ ನೋಡ್ ಸಂಖ್ಯಾಕ್ರಮವು HEC-MW ಇನ್‌ಪುಟ್ ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ದ್ವಿತೀಯ-ಕ್ರಮದ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಚಿನ ಮಧ್ಯ ನೋಡ್ ಕ್ರಮದ ನಿಯಮವು ಈ ಎರಡು ಸ್ವರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. FrontISTR ಇನ್‌ಪುಟ್‌ನಲ್ಲಿ HEC-MW ಸ್ವರೂಪವನ್ನು (ಮೂಲೆ ನೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ಸುತ್ತಿ ಕ್ರಮಿಸಿದ ನಂತರ ಅಂಚು 1-2, 2-3, … ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯ ನೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ಇಡುವುದು) ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅಂಶ ಗ್ರಂಥಾಲಯದ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಬೇರೆ ನೋಡ್ ಕ್ರಮವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಂಡಿವೆ.

ಈ ಎರಡು ಸ್ವರೂಪಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮೆಶ್ ಓದಿದ ತಕ್ಷಣ ಕರೆಯಲಾಗುವ hecmw2fstr_mesh_conv ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. 3-ಆಯಾಮದ ಘನ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ವಿಧಗಳು ಪರಿವರ್ತನೆಗೆ ಒಳಪಡುತ್ತವೆ.

ಅಂಶ ವಿಧ ಪರಿವರ್ತನಾ ಕೋಷ್ಟಕ ವಿಷಯ
342 (ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ದ್ವಿತೀಯ-ಕ್ರಮ) Table342 10 ನೋಡ್‌ಗಳನ್ನು \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಮರುಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ
352 (ತ್ರಿಭುಜ ಪ್ರಿಸಮ್ ದ್ವಿತೀಯ-ಕ್ರಮ) Table352 15 ನೋಡ್‌ಗಳನ್ನು \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಮರುಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ

ಮರುಕ್ರಮಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಅಂಶ ಸಂಪರ್ಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ಅರೆ ಮೇಲೆಯೇ ನೇರವಾಗಿ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ನಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶ ಗ್ರಂಥಾಲಯ ಕರೆಗಳು FrontISTR ನ ಆಂತರಿಕ ನೋಡ್ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಹೆಕ್ಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ದ್ವಿತೀಯ-ಕ್ರಮದ ಅಂಶ 362 ರಲ್ಲಿ HEC-MW ಇನ್‌ಪುಟ್ ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು FrontISTR ಆಂತರಿಕ ಸ್ವರೂಪದ ಮಧ್ಯ ನೋಡ್ ಕ್ರಮ ಒಂದೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಪರಿವರ್ತನಾ ಕೋಷ್ಟಕವಿಲ್ಲ. ಫಲಿತಾಂಶ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಮಾಡುವಾಗ ಪ್ರತಿಲೋಮ ಪರಿವರ್ತನೆ fstr2hecmw_mesh_conv ಅನ್ನು ಕರೆದು HEC-MW ನೋಡ್ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಬಳಕೆದಾರರು ಇನ್‌ಪುಟ್ ಮತ್ತು ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಎರಡರಲ್ಲೂ HEC-MW ಸ್ವರೂಪವನ್ನಷ್ಟೇ ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಕೆಳಗೆ ನೀಡಿರುವ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ನೋಡ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಂತರದ FrontISTR ಆಂತರಿಕ ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿವೆ.

ಪ್ರಥಮ-ಕ್ರಮದ ಅಂಶಗಳ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರಥಮ-ಕ್ರಮದ ಅಂಶ (341) ರ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಆಯತನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಾಂಕಗಳೇ ಆಗಿವೆ:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

ತ್ರಿಭುಜ ಪ್ರಿಸಮ್ ಪ್ರಥಮ-ಕ್ರಮದ ಅಂಶ (351) ರ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು ತಳ ತ್ರಿಭುಜದ ರೇಖೀಯ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು (\(a, \xi, \eta\)) ಮತ್ತು ಅಕ್ಷೀಯ ರೇಖೀಯ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿವೆ:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

ಹೆಕ್ಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರಥಮ-ಕ್ರಮದ ಅಂಶ (361) ರ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮೂರು ಅಕ್ಷ ದಿಕ್ಕಿನ ರೇಖೀಯ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿವೆ:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

ಇಲ್ಲಿ \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) ಎಂಬುದು ನೋಡ್ \(\alpha\) ಯ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಾಂಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಪ್ರತಿ ಘಟಕವೂ \(\pm 1\)).

ದ್ವಿತೀಯ-ಕ್ರಮದ ಅಂಶಗಳ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ದ್ವಿತೀಯ-ಕ್ರಮದ ಅಂಶ (342) ರ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು 4 ಮೂಲೆ ನೋಡ್‌ಗಳು ಮತ್ತು 6 ಅಂಚಿನ ಮಧ್ಯ ನೋಡ್‌ಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

ಮಧ್ಯ ನೋಡ್‌ಗಳು 5–10 ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಂಚುಗಳು 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4, 3-4 ರ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

ತ್ರಿಭುಜ ಪ್ರಿಸಮ್ ದ್ವಿತೀಯ-ಕ್ರಮದ ಅಂಶ (352) ರ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು 6 ಮೂಲೆ ನೋಡ್‌ಗಳು, ತ್ರಿಭುಜ ಮುಖಗಳ ಮೇಲಿನ 6 ಅಂಚಿನ ಮಧ್ಯ ನೋಡ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅಕ್ಷೀಯ ಅಂಚುಗಳ 3 ಮಧ್ಯ ನೋಡ್‌ಗಳಿಂದ ರಚಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

ಮಧ್ಯ ನೋಡ್‌ಗಳು 7–9 ತಳ ತ್ರಿಭುಜದ (\(\zeta = -1\)) ಅಂಚುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, 10–12 ಮೇಲ್ಮೈ ತ್ರಿಭುಜದ (\(\zeta = +1\)) ಅಂಚುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು 13–15 ಅಕ್ಷೀಯ ಅಂಚುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

ಹೆಕ್ಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ದ್ವಿತೀಯ-ಕ್ರಮದ ಅಂಶ (362) ಸೆರಂಡಿಪಿಟಿ ಕುಟುಂಬದ 20-ನೋಡ್ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ನೋಡ್ \(\alpha\) ಯ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಾಂಕಗಳನ್ನು \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) ಎಂದು ಇರಿಸೋಣ. ಮೂಲೆ ನೋಡ್‌ಗಳಿಗೆ (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟಕವೂ \(\pm 1\))

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

ಅಂಚಿನ ಮಧ್ಯ ನೋಡ್‌ಗಳಿಗೆ (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), ಮೂರು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು \(0\) ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಎರಡು \(\pm 1\)), \(\xi_\alpha = 0\) ಆಗಿರುವ ನೋಡ್‌ಗಳಿಗೆ (ಅಂಚಿನ ದಿಕ್ಕು \(\xi\) ಅಕ್ಷ)

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

ಅಂಚಿನ ದಿಕ್ಕು \(\eta\) ಅಕ್ಷ ಅಥವಾ \(\zeta\) ಅಕ್ಷವಾಗಿರುವ ಮಧ್ಯ ನೋಡ್‌ಗಳನ್ನೂ ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಾಂಕವನ್ನು ವರ್ಗ ಪದದಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯಗಳು