ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

ಮುನ್ನಡೆದ ಅಂಶ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು

3D ಘನ ಅಂಶಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ನಲ್ಲಿ ನೀಡಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸ್ಥಳಾಂತರ-ಆಧಾರಿತ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಸುಮಾರು ಅಸಂಕುಚಿತ ವಸ್ತುಗಳು ಅಥವಾ ಬಾಗುವಿಕೆ-ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದ ತೆಳು-ಗೋಡೆಯ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಲಾಕಿಂಗ್ (ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ಲಾಕಿಂಗ್ ಅಥವಾ ಕತ್ತರಣೆ ಲಾಕಿಂಗ್) ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಅತಿಯಾದ ಕೃತಕ ಕಠಿಣತೆ ಉಂಟಾಗಬಹುದು. ಇದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು FrontISTR, B-bar ಮತ್ತು F-bar ವಿಧಾನಗಳಿಂದ B ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ವಿರೂಪಣ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್‌ನ ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬದಲಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು, ಆಂತರಿಕ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಸಂಗತ ಅಂಶಗಳು, ಒತ್ತಡವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಜ್ಞಾತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವ u-p ಮಿಶ್ರ ಅಂಶಗಳು ಹಾಗೂ ಪ್ಲೇಟ್ ಮತ್ತು ಕಿರಣ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷವಾದ MITC ಶೆಲ್ ಮತ್ತು ಕಿರಣ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಈ ಮುನ್ನಡೆದ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ರಚನಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಂಶ-ಅಂಶವಾಗಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

B-bar ವಿಧಾನ

ಸುಮಾರು ಅಸಂಕುಚಿತ ವಸ್ತುವಿಗೆ 8-ನೋಡ್ ರೇಖೀಯ ಷಟ್ಮುಖ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ, ಒಂದು ಅಂಶದೊಳಗಿನ ವಿಕೃತಿ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸ್ಥಿರ-ಘನಪರಿಮಾಣ ನಿರ್ಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ಅಸಂಗತವಾಗಬಹುದು; ಇದರಿಂದ ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ಲಾಕಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಅತಿಯಾದ ಕಠಿಣತೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. B-bar ವಿಧಾನವು ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುವ B ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅಂಶದ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಬದಲಿಸಿ ಈ ಅತಿನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ತಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ [Hughes1980].

ಅಂಶದ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕಿಸಿದ B ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು \(\bar{\boldsymbol{B}}\) ಎಂದು ಮತ್ತು ಸಮಾಕಲನ ಬಿಂದು \(\boldsymbol{r}\) ನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ B ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ನೋಡ್ \(\alpha\) ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶ \(i\) ಗಾಗಿ ಸ್ಥಳಾಂತರ-ವಿಕೃತಿ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ವಿಕೃತಿ ಘಟಕಗಳು \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) ಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

ಕತ್ತರಣೆ ಘಟಕಗಳು \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ \(\boldsymbol{B}\) ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ದೊರಕುವ B-bar ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಳಸಿ ಅಂಶ ಕಠಿಣತೆ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ-ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

FrontISTR ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ 8-ನೋಡ್ ರೇಖೀಯ ಷಟ್ಮುಖ ಅಂಶಕ್ಕೆ (ಅಂಶ ID 361; ಅಂಶ ಸಂಖ್ಯೀಕರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ನೋಡಿ) ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ; ಇದು ಸಣ್ಣ-ವಿರೂಪಣ, ಒಟ್ಟು ಲಾಗ್ರಾಂಜ್ ಮತ್ತು ನವೀಕರಿಸಿದ ಲಾಗ್ರಾಂಜ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

F-bar ವಿಧಾನ

ಸೀಮಿತ ವಿರೂಪಣದಲ್ಲಿ ಘನಪರಿಮಾಣ ಬದಲಾವಣೆ ವಿರೂಪಣ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ \(\boldsymbol{F}\) ಮೂಲಕ ಅರೇಖೀಯವಾಗಿ ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ. F-bar ವಿಧಾನ [deSouzaNeto1996] ವಿರೂಪಣ-ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ B-bar ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ-ಲಾಕಿಂಗ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂಶ ಕೇಂದ್ರ \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿದ ವಿರೂಪಣ ಪ್ರವಣತೆಯ ಘನಪರಿಮಾಣ ಅನುಪಾತವನ್ನು \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) ಎಂದು ಮತ್ತು ಸಮಾಕಲನ ಬಿಂದುವಿನ ಅನುಪಾತವನ್ನು \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಸಮಾಕಲನ ಬಿಂದುವಿನ ವಿರೂಪಣ ಪ್ರವಣತೆಯನ್ನು ಹೀಗಾಗಿ ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

ಇದರಿಂದ \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) ಆಗುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ ಅಂಶದಾದ್ಯಂತ ಘನಪರಿಮಾಣ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಅಂಶದ ಕೇಂದ್ರದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬದಲಿಸಿದ \(\bar{\boldsymbol{F}}\) ಅನ್ನು ಒತ್ತಡ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮತ್ತು ವಿಕೃತಿ-ಸ್ಥಳಾಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅಂಶದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳೂ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ.

FrontISTR ನಲ್ಲಿ F-bar ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ 8-ನೋಡ್ ರೇಖೀಯ ಷಟ್ಮುಖ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ; ಇದನ್ನು ಸಣ್ಣ-ವಿರೂಪಣ ಹಾಗೂ Total Lagrange / Updated Lagrange ಅರೇಖೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.

ಅಸಂಗತ ಅಂಶಗಳು

8-ನೋಡ್ ರೇಖೀಯ ಷಟ್ಮುಖ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಬಾಗುವಿಕೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ವಿಕೃತಿ ಮೋಡ್‌ಗಳು ಕೊರತೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಬಾಗುವಿಕೆ-ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಾಗುವಿಕೆ ಲಾಕಿಂಗ್ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ಅಸಂಗತ ಅಂಶಗಳು [Taylor1976] ಈ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಅಂಶದ ಒಳಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಮೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತವೆ.

ಅಂಶದ ನೋಡಲ್ ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳು \(\boldsymbol{u}^e\) ಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅಂಶದೊಳಗೆ ಮಾತ್ರ ಇರುವ ಅಸಂಗತ-ಮೋಡ್ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳು \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) ಅನ್ನು ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ 3 ದಿಕ್ಕುಗಳು × 3 ಮೋಡ್‌ಗಳಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಸ್ಥಳಾಂತರ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) ಗಾಗಿ ಅಸಂಗತ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), ಮತ್ತು \(M_3 = 1 - \zeta^2\) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವು ಅಂಶ ಗಡಿಗಳಾದ್ಯಂತ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಆದರೆ ಬಾಗುವಿಕೆ ಮೋಡ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಲು ಸಾಮರ್ಥ್ಯವಿರುವ ಆಂತರಿಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ.

ಅಂಶ ಕಠಿಣತೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಬಾಹ್ಯ-DOF/ಆಂತರಿಕ-DOF ಬ್ಲಾಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಿದ ನಂತರ, ಸ್ಥಿರ ಸಂಕ್ಷೇಪಣವು \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) ಬಳಸಿ ಆಂತರಿಕ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ, ಬಾಹ್ಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶ ಕಠಿಣತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

ಇದನ್ನು ಜಾಗತಿಕ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಕಳುಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

FrontISTR ನಲ್ಲಿ ಅಸಂಗತ ಅಂಶವನ್ನು 8-ನೋಡ್ ರೇಖೀಯ ಷಟ್ಮುಖ (C3D8IC) ಅಂಶಕ್ಕಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ; ಇದನ್ನು ಸಣ್ಣ ವಿರೂಪಣ, Total Lagrange ಮತ್ತು Updated Lagrange ಎಲ್ಲದಲ್ಲೂ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.

U-P ಮಿಶ್ರ ಅಂಶಗಳು

B-bar ಮತ್ತು F-bar ವಿಧಾನಗಳು ಸ್ಥಳಾಂತರ-ಆಧಾರಿತ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ಘಟಕವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿದರೆ, u-p ಮಿಶ್ರ (U-P) ಅಂಶವು [Bathe1996] ಮಿಶ್ರ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿ ಒತ್ತಡ \(\lambda\) ಅನ್ನು ಸ್ಥಳಾಂತರದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಅಜ್ಞಾತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಯ್ಸನ್ ಅನುಪಾತವು 0.5 ಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ರಬ್ಬರ್-ಸದೃಶ ವಸ್ತುಗಳು ಅಥವಾ ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಿರೂಪಣದ ನಂತರದ ಲೋಹಗಳಂತಹ ಸುಮಾರು ಅಸಂಕುಚಿತ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳಾಂತರ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಸ್ಥಿರ-ಘನಪರಿಮಾಣ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ವಿಧಿಸಿದರೆ ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ಲಾಕಿಂಗ್ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ; ಒತ್ತಡವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದರಿಂದ ಈ ನಿರ್ಬಂಧ ಸಡಿಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಒತ್ತಡ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ವಿಚಲನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡ ಘಟಕಗಳಾಗಿ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿಭಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

ಇಲ್ಲಿ \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) ಎಂಬುದು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಘನಪರಿಮಾಣ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ \(K\) ಗೆ ಅನುಪಾತವಾದ ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ ಪಡೆದ ವಿಚಲನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಒತ್ತಡ \(\lambda\) ಮತ್ತು ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ವಿಕೃತಿ \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) ಅನ್ನು ಸಂಕುಚಿತತೆ \(\alpha^{-1} = 1/K\) ಮೂಲಕ ನಿರ್ಬಂಧ ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

ಸ್ಥಳಾಂತರ \(\boldsymbol{u}\) ಮತ್ತು ಒತ್ತಡ \(\lambda\) ಅನ್ನು ಅಜ್ಞಾತಗಳಾಗಿ ವಿಚ್ಛೇದೀಕರಿಸಿದಾಗ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶ ಜೋಡಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ದೊರಕುತ್ತದೆ

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

ಇಲ್ಲಿ \(\mathbf{K}_{uu}\) ವಿಚಲನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ವಿರೂಪಣದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಠಿಣತೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ; \(\mathbf{K}_{up}\) ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ವಿಕೃತಿ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡವನ್ನು ಜೋಡಿಸುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) ಒತ್ತಡ ಸ್ಥಿರೀಕರಣ ಪದವಾಗಿದೆ (\(\boldsymbol{N}_p\) ಒತ್ತಡ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯ). ಒತ್ತಡದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳು ಅಂಶದ ಆಂತರಿಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಸಂಕ್ಷೇಪಣೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಬಾಹ್ಯ (ಸ್ಥಳಾಂತರ) ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕಠಿಣತೆಯನ್ನು ಜಾಗತಿಕ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಕಳುಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

FrontISTR ನಲ್ಲಿ U-P ಅಂಶವನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ 8-ನೋಡ್ ರೇಖೀಯ ಷಟ್ಮುಖ ಅಂಶಕ್ಕೆ, ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಒಂದು ಒತ್ತಡ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ (ಅಂಶದೊಳಗೆ ಸ್ಥಿರ) ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಣ್ಣ-ವಿರೂಪಣ, Total Lagrange ಮತ್ತು Updated Lagrange ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. Updated Lagrange ನಲ್ಲಿ ವಿಚಲನಾತ್ಮಕ ಒತ್ತಡವನ್ನು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಒತ್ತಡ ದರದಿಂದ (Jaumann/Hughes-Winget ಪ್ರಕಾರ) ನವೀಕರಿಸಿ, ನಂತರ ಸ್ಥಿರ ಸಂಕ್ಷೇಪಣದಿಂದ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯ ಬಳಸಿ ಒತ್ತಡ \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) ಅನ್ನು ವಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಶೆಲ್ ಅಂಶಗಳು

Reissner-Mindlin ಪ್ಲೇಟ್/ಶೆಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಆಧಾರಿತ ಶೆಲ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಳು-ಗೋಡೆಯ ಪ್ಲೇಟ್ ಮತ್ತು ಶೆಲ್ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದಪ್ಪ ಕಡಿಮೆಯಾದಂತೆ ಕಡಿಮೆ-ಕ್ರಮದ ಸ್ಥಳಾಂತರ-ಆಧಾರಿತ ಪ್ಲೇಟ್/ಶೆಲ್ ಅಂಶಗಳು ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ಲಾಕಿಂಗ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಯಾಂತ್ರಿಕತೆಯಿಂದ ಅಡ್ಡ ಕತ್ತರಣೆ ವಿಕೃತಿಯನ್ನು ಅತಿಯಾಗಿ ಅಂದಾಜಿಸುತ್ತವೆ (ಕತ್ತರಣೆ ಲಾಕಿಂಗ್); ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬಾಗುವಿಕೆ ಮೋಡ್‌ಗಳ ಕಠಿಣತೆ ಅತಿಯಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ. MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) ವಿಧಾನ [Dvorkin1984] [Bathe1986] ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಬಂಧನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಣೆ-ವಿಕೃತಿ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಮರುಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಮಾಡಿ, ಆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಂಶದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತೆ ಅಂತರಕ್ಷೇಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ.

MITC ಶೆಲ್ ಅಂಶದ ನೋಡ್‌ಗಳು ಮಧ್ಯಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ; ಪ್ರತಿ ನೋಡ್‌ಗೆ ಆರು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳಿವೆ: ಮೂರು ಸ್ಥಳಾಂತರಾತ್ಮಕ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಲಂಬವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕುರಿತು ಮೂರು ಭ್ರಮಣಾತ್ಮಕ ಘಟಕಗಳು. ಮಧ್ಯಮೇಲ್ಮೈ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ದಪ್ಪದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಗೌಸಿಯನ್ ಸಮಾಕಲನದಿಂದ ಅಂಶ ಕಠಿಣತೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ದಪ್ಪ \(h\) ಅನ್ನು ಸಂರಚನಾ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಂಶ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

FrontISTR ಒಂದು ಮಧ್ಯಮೇಲ್ಮೈ ಪದರದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾದ MITC3 (ಅಂಶ ID 731), MITC4 (741), MITC9 (743), ಹಾಗೆಯೇ ಪದರಿತ ಶೆಲ್ ಅಂಶಗಳಾದ MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 ನೋಡ್‌ಗಳು, ಪ್ರತಿ ನೋಡ್‌ಗೆ 3 DOFs) ಮತ್ತು MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 ನೋಡ್‌ಗಳು, ಪ್ರತಿ ನೋಡ್‌ಗೆ 3 DOFs) ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ; ಇವುಗಳ ನೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ದಪ್ಪದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪದರಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪದರಿತ ಶೆಲ್ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ನೋಡಲ್ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳು ಮೂರು ಸ್ಥಳಾಂತರಾತ್ಮಕ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದು, ಭ್ರಮಣ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಾಗುವಿಕೆ ಮೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ಎರಡು-ಪದರ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಕಿರಣ ಅಂಶಗಳು

ಗರ್ಡರ್ ಮತ್ತು ಚೌಕಟ್ಟು ರಚನೆಗಳಂತಹ ರೇಖೀಯ ಸದಸ್ಯಗಳನ್ನು ಕಿರಣ ಅಂಶಗಳಿಂದ ವಿಚ್ಛೇದೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. FrontISTR ಕತ್ತರಣೆ ವಿರೂಪಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ Timoshenko ಕಿರಣ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ; ಇದು ಬಾಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಕತ್ತರಣೆಯನ್ನು ಸ್ಥಳಾಂತರಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಭ್ರಮಣಾತ್ಮಕ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿ ಕಿರಣ ನೋಡ್‌ಗೆ ಆರು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳಿವೆ: ಮೂರು ಸ್ಥಳಾಂತರಾತ್ಮಕ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಕಿರಣ ಅಕ್ಷ ಹಾಗೂ ಅಡ್ಡ ಅಕ್ಷಗಳ ಕುರಿತು ಮೂರು ಭ್ರಮಣಾತ್ಮಕ ಘಟಕಗಳು. ಕಿರಣ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾಕಲನದಿಂದ ಅಂಶ ಕಠಿಣತೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಡ್ಡವಿಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ \(A\) ಮತ್ತು ಬಾಗುವಿಕೆ ಹಾಗೂ ಮರುಳು ದಿಕ್ಕಿನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ದ್ವಿತೀಯ ಕ್ಷಣಗಳು \(I\) ಅನ್ನು ಕಿರಣ ವಿಭಾಗ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ವಸ್ತುವಿನ ಯಂಗ್ ಮಾಪಕ \(E\) ಮತ್ತು ಕತ್ತರಣೆ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ \(G\) ಜೊತೆಗೆ ಇವು ಅಕ್ಷೀಯ, ಬಾಗುವಿಕೆ, ಮರುಳು ಮತ್ತು ಕತ್ತರಣೆ ಕಠಿಣತೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ.

FrontISTR 2-ನೋಡ್ ನೇರ ಕಿರಣ ಅಂಶ (ಅಂಶ ID 611) ಮತ್ತು 4-ನೋಡ್ ಚತುರ್ಮುಖ ಘನ-ಕಿರಣ ಹೈಬ್ರಿಡ್ ಅಂಶವನ್ನು 3 ನೋಡ್‌ಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ (641, ಮಿಶ್ರ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳಿಗೆ) ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ