ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

Translation update pending

The Kannada translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

ಮುನ್ನಡೆದ ಅಂಶ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು

3D ಘನ ಅಂಶಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ನಲ್ಲಿ ನೀಡಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸ್ಥಳಾಂತರ-ಆಧಾರಿತ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಸುಮಾರು ಅಸಂಕುಚಿತ ವಸ್ತುಗಳು ಅಥವಾ ಬಾಗುವಿಕೆ-ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದ ತೆಳು-ಗೋಡೆಯ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಲಾಕಿಂಗ್ (ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ಲಾಕಿಂಗ್ ಅಥವಾ ಕತ್ತರಣೆ ಲಾಕಿಂಗ್) ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಅತಿಯಾದ ಕೃತಕ ಕಠಿಣತೆ ಉಂಟಾಗಬಹುದು. ಇದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು FrontISTR, B-bar ಮತ್ತು F-bar ವಿಧಾನಗಳಿಂದ B ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ವಿರೂಪಣ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್‌ನ ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬದಲಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು, ಆಂತರಿಕ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಸಂಗತ ಅಂಶಗಳು, ಒತ್ತಡವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಜ್ಞಾತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವ u-p ಮಿಶ್ರ ಅಂಶಗಳು ಹಾಗೂ ಪ್ಲೇಟ್ ಮತ್ತು ಬೀಮ್ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷವಾದ MITC ಶೆಲ್ ಮತ್ತು ಬೀಮ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಈ ಮುನ್ನಡೆದ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ರಚನಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಂಶ-ಅಂಶವಾಗಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

B-bar ವಿಧಾನ

ಸುಮಾರು ಅಸಂಕುಚಿತ ವಸ್ತುವಿಗೆ 8-ನೋಡ್ ರೇಖೀಯ ಷಟ್ಮುಖ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ, ಒಂದು ಅಂಶದೊಳಗಿನ ವಿಕೃತಿ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸ್ಥಿರ-ಘನಪರಿಮಾಣ ನಿರ್ಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ಅಸಂಗತವಾಗಬಹುದು; ಇದರಿಂದ ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ಲಾಕಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಅತಿಯಾದ ಕಠಿಣತೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. B-bar ವಿಧಾನವು ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುವ B ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅಂಶದ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಬದಲಿಸಿ ಈ ಅತಿನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ತಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ [Hughes1980].

ಅಂಶದ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕಿಸಿದ B ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು \(\bar{\boldsymbol{B}}\) ಎಂದು ಮತ್ತು ಸಮಾಕಲನ ಬಿಂದು \(\boldsymbol{r}\) ನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ B ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ನೋಡ್ \(\alpha\) ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶ \(i\) ಗಾಗಿ ಸ್ಥಳಾಂತರ-ವಿಕೃತಿ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ವಿಕೃತಿ ಘಟಕಗಳು \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) ಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

ಕತ್ತರಣೆ ಘಟಕಗಳು \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ \(\boldsymbol{B}\) ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ದೊರಕುವ B-bar ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಳಸಿ ಅಂಶ ಕಠಿಣತೆ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ-ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

FrontISTR ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ 8-ನೋಡ್ ರೇಖೀಯ ಷಟ್ಮುಖ ಅಂಶಕ್ಕೆ (ಅಂಶ ID 361; ಅಂಶ ಸಂಖ್ಯೀಕರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ನೋಡಿ) ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ; ಇದು ಸಣ್ಣ-ವಿರೂಪಣ, ಒಟ್ಟು ಲಾಗ್ರಾಂಜ್ ಮತ್ತು ನವೀಕರಿಸಿದ ಲಾಗ್ರಾಂಜ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

F-bar ವಿಧಾನ

ಸೀಮಿತ ವಿರೂಪಣದಲ್ಲಿ ಘನಪರಿಮಾಣ ಬದಲಾವಣೆ ವಿರೂಪಣ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ \(\boldsymbol{F}\) ಮೂಲಕ ಅರೇಖೀಯವಾಗಿ ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ. F-bar ವಿಧಾನ [deSouzaNeto1996] ವಿರೂಪಣ-ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ B-bar ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ-ಲಾಕಿಂಗ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂಶ ಕೇಂದ್ರ \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿದ ವಿರೂಪಣ ಪ್ರವಣತೆಯ ಘನಪರಿಮಾಣ ಅನುಪಾತವನ್ನು \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) ಎಂದು ಮತ್ತು ಸಮಾಕಲನ ಬಿಂದುವಿನ ಅನುಪಾತವನ್ನು \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಸಮಾಕಲನ ಬಿಂದುವಿನ ವಿರೂಪಣ ಪ್ರವಣತೆಯನ್ನು ಹೀಗಾಗಿ ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

ಇದರಿಂದ \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) ಆಗುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ ಅಂಶದಾದ್ಯಂತ ಘನಪರಿಮಾಣ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಅಂಶದ ಕೇಂದ್ರದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬದಲಿಸಿದ \(\bar{\boldsymbol{F}}\) ಅನ್ನು ಒತ್ತಡ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮತ್ತು ವಿಕೃತಿ-ಸ್ಥಳಾಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅಂಶದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳೂ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ.

FrontISTR ನಲ್ಲಿ F-bar ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ 8-ನೋಡ್ ರೇಖೀಯ ಷಟ್ಮುಖ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ; ಇದನ್ನು ಸಣ್ಣ-ವಿರೂಪಣ ಹಾಗೂ Total Lagrange / Updated Lagrange ಅರೇಖೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.

ಅಸಂಗತ ಅಂಶಗಳು

8-ನೋಡ್ ರೇಖೀಯ ಷಟ್ಮುಖ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಬಾಗುವಿಕೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ವಿಕೃತಿ ಮೋಡ್‌ಗಳು ಕೊರತೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಬಾಗುವಿಕೆ-ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಾಗುವಿಕೆ ಲಾಕಿಂಗ್ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ಅಸಂಗತ ಅಂಶಗಳು [Taylor1976] ಈ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಅಂಶದ ಒಳಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಮೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತವೆ.

ಅಂಶದ ನೋಡಲ್ ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳು \(\boldsymbol{u}^e\) ಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅಂಶದೊಳಗೆ ಮಾತ್ರ ಇರುವ ಅಸಂಗತ-ಮೋಡ್ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳು \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) ಅನ್ನು ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ 3 ದಿಕ್ಕುಗಳು × 3 ಮೋಡ್‌ಗಳಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಸ್ಥಳಾಂತರ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) ಗಾಗಿ ಅಸಂಗತ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), ಮತ್ತು \(M_3 = 1 - \zeta^2\) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವು ಅಂಶ ಗಡಿಗಳಾದ್ಯಂತ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಆದರೆ ಬಾಗುವಿಕೆ ಮೋಡ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಲು ಸಾಮರ್ಥ್ಯವಿರುವ ಆಂತರಿಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ.

ಅಂಶ ಕಠಿಣತೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಬಾಹ್ಯ-DOF/ಆಂತರಿಕ-DOF ಬ್ಲಾಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಿದ ನಂತರ, ಸ್ಥಿರ ಸಂಕ್ಷೇಪಣವು \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) ಬಳಸಿ ಆಂತರಿಕ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ, ಬಾಹ್ಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶ ಕಠಿಣತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

ಇದನ್ನು ಜಾಗತಿಕ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಕಳುಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

FrontISTR ನಲ್ಲಿ ಅಸಂಗತ ಅಂಶವನ್ನು 8-ನೋಡ್ ರೇಖೀಯ ಷಟ್ಮುಖ (C3D8IC) ಅಂಶಕ್ಕಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ; ಇದನ್ನು ಸಣ್ಣ ವಿರೂಪಣ, Total Lagrange ಮತ್ತು Updated Lagrange ಎಲ್ಲದಲ್ಲೂ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.

U-P ಮಿಶ್ರ ಅಂಶಗಳು

B-bar ಮತ್ತು F-bar ವಿಧಾನಗಳು ಸ್ಥಳಾಂತರ-ಆಧಾರಿತ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ಘಟಕವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿದರೆ, u-p ಮಿಶ್ರ (U-P) ಅಂಶವು [Bathe1996] ಮಿಶ್ರ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿ ಒತ್ತಡ \(\lambda\) ಅನ್ನು ಸ್ಥಳಾಂತರದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಅಜ್ಞಾತ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಯ್ಸನ್ ಅನುಪಾತವು 0.5 ಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ರಬ್ಬರ್-ಸದೃಶ ವಸ್ತುಗಳು ಅಥವಾ ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಿರೂಪಣದ ನಂತರದ ಲೋಹಗಳಂತಹ ಸುಮಾರು ಅಸಂಕುಚಿತ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳಾಂತರ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಸ್ಥಿರ-ಘನಪರಿಮಾಣ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ವಿಧಿಸಿದರೆ ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ಲಾಕಿಂಗ್ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ; ಒತ್ತಡವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದರಿಂದ ಈ ನಿರ್ಬಂಧ ಸಡಿಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಒತ್ತಡ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ವಿಚಲನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡ ಘಟಕಗಳಾಗಿ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿಭಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

ಇಲ್ಲಿ \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) ಎಂಬುದು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಘನಪರಿಮಾಣ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ \(K\) ಗೆ ಅನುಪಾತವಾದ ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ ಪಡೆದ ವಿಚಲನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಒತ್ತಡ \(\lambda\) ಮತ್ತು ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ವಿಕೃತಿ \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) ಅನ್ನು ಸಂಕುಚಿತತೆ \(\alpha^{-1} = 1/K\) ಮೂಲಕ ನಿರ್ಬಂಧ ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

ಸ್ಥಳಾಂತರ \(\boldsymbol{u}\) ಮತ್ತು ಒತ್ತಡ \(\lambda\) ಅನ್ನು ಅಜ್ಞಾತಗಳಾಗಿ ವಿಚ್ಛೇದೀಕರಿಸಿದಾಗ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶ ಜೋಡಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ದೊರಕುತ್ತದೆ

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

ಇಲ್ಲಿ \(\mathbf{K}_{uu}\) ವಿಚಲನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ವಿರೂಪಣದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಠಿಣತೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ; \(\mathbf{K}_{up}\) ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ವಿಕೃತಿ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡವನ್ನು ಜೋಡಿಸುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) ಒತ್ತಡ ಸ್ಥಿರೀಕರಣ ಪದವಾಗಿದೆ (\(\boldsymbol{N}_p\) ಒತ್ತಡ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯ). ಒತ್ತಡದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳು ಅಂಶದ ಆಂತರಿಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಸಂಕ್ಷೇಪಣೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಬಾಹ್ಯ (ಸ್ಥಳಾಂತರ) ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕಠಿಣತೆಯನ್ನು ಜಾಗತಿಕ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಕಳುಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

FrontISTR ನಲ್ಲಿ U-P ಅಂಶವನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ 8-ನೋಡ್ ರೇಖೀಯ ಷಟ್ಮುಖ ಅಂಶಕ್ಕೆ, ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಒಂದು ಒತ್ತಡ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ (ಅಂಶದೊಳಗೆ ಸ್ಥಿರ) ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಣ್ಣ-ವಿರೂಪಣ, Total Lagrange ಮತ್ತು Updated Lagrange ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. Updated Lagrange ನಲ್ಲಿ ವಿಚಲನಾತ್ಮಕ ಒತ್ತಡವನ್ನು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಒತ್ತಡ ದರದಿಂದ (Jaumann/Hughes-Winget ಪ್ರಕಾರ) ನವೀಕರಿಸಿ, ನಂತರ ಸ್ಥಿರ ಸಂಕ್ಷೇಪಣದಿಂದ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯ ಬಳಸಿ ಒತ್ತಡ \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) ಅನ್ನು ವಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಶೆಲ್ ಅಂಶಗಳು

Reissner-Mindlin ಪ್ಲೇಟ್/ಶೆಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಆಧಾರಿತ ಶೆಲ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಳು-ಗೋಡೆಯ ಪ್ಲೇಟ್ ಮತ್ತು ಶೆಲ್ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದಪ್ಪ ಕಡಿಮೆಯಾದಂತೆ ಕಡಿಮೆ-ಕ್ರಮದ ಸ್ಥಳಾಂತರ-ಆಧಾರಿತ ಪ್ಲೇಟ್/ಶೆಲ್ ಅಂಶಗಳು ಘನಪರಿಮಾಣೀಯ ಲಾಕಿಂಗ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಯಾಂತ್ರಿಕತೆಯಿಂದ ಅಡ್ಡ ಕತ್ತರಣೆ ವಿಕೃತಿಯನ್ನು ಅತಿಯಾಗಿ ಅಂದಾಜಿಸುತ್ತವೆ (ಕತ್ತರಣೆ ಲಾಕಿಂಗ್); ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬಾಗುವಿಕೆ ಮೋಡ್‌ಗಳ ಕಠಿಣತೆ ಅತಿಯಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ. MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) ವಿಧಾನ [Dvorkin1984] [Bathe1986] ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಬಂಧನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಣೆ-ವಿಕೃತಿ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಮರುಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಮಾಡಿ, ಆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಂಶದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತೆ ಅಂತರಕ್ಷೇಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ.

MITC ಶೆಲ್ ಅಂಶದ ನೋಡ್‌ಗಳು ಮಧ್ಯಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ; ಪ್ರತಿ ನೋಡ್‌ಗೆ ಆರು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳಿವೆ: ಮೂರು ಸ್ಥಳಾಂತರಾತ್ಮಕ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಲಂಬವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕುರಿತು ಮೂರು ಭ್ರಮಣಾತ್ಮಕ ಘಟಕಗಳು. ಮಧ್ಯಮೇಲ್ಮೈ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ದಪ್ಪದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಗೌಸಿಯನ್ ಸಮಾಕಲನದಿಂದ ಅಂಶ ಕಠಿಣತೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ದಪ್ಪ \(h\) ಅನ್ನು ಸಂರಚನಾ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಂಶ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

FrontISTR ಒಂದು ಮಧ್ಯಮೇಲ್ಮೈ ಪದರದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾದ MITC3 (ಅಂಶ ID 731), MITC4 (741), MITC9 (743), ಹಾಗೆಯೇ ಪದರಿತ ಶೆಲ್ ಅಂಶಗಳಾದ MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 ನೋಡ್‌ಗಳು, ಪ್ರತಿ ನೋಡ್‌ಗೆ 3 DOFs) ಮತ್ತು MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 ನೋಡ್‌ಗಳು, ಪ್ರತಿ ನೋಡ್‌ಗೆ 3 DOFs) ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ; ಇವುಗಳ ನೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ದಪ್ಪದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪದರಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪದರಿತ ಶೆಲ್ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ನೋಡಲ್ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳು ಮೂರು ಸ್ಥಳಾಂತರಾತ್ಮಕ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದು, ಭ್ರಮಣ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಾಗುವಿಕೆ ಮೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ಎರಡು-ಪದರ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಬೀಮ್ ಅಂಶಗಳು

ಗರ್ಡರ್ ಮತ್ತು ಚೌಕಟ್ಟು ರಚನೆಗಳಂತಹ ರೇಖೀಯ ಸದಸ್ಯಗಳನ್ನು ಬೀಮ್ ಅಂಶಗಳಿಂದ ವಿಚ್ಛೇದೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೀಮ್ ಅಂಶಗಳು ಅಡ್ಡವಿಭಾಗದೊಳಗಿನ ವಿರೂಪಣವನ್ನು ಅಡ್ಡವಿಭಾಗ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ, ಬೀಮ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿರುವ ನೋಡ್‌ಗಳ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಮತ್ತು ಭ್ರಮಣಗಳಿಂದ ಮಾತ್ರ ಉದ್ದವೃದ್ಧಿ, ಬಾಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಮರುಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ.

ಪ್ರತಿ ಬೀಮ್ ನೋಡ್‌ಗೆ ಆರು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳಿವೆ: ಮೂರು ಸ್ಥಳಾಂತರಾತ್ಮಕ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ಭ್ರಮಣಾತ್ಮಕ ಘಟಕಗಳು. ಅಂಶ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ ನೀಡಿರುವ ಉಲ್ಲೇಖ ಅಕ್ಷದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಉದ್ದವೃದ್ಧಿ, ಎರಡು ದಿಕ್ಕಿನ ಬಾಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಮರುಳಿಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ, ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಜಾಗತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಂಶ ಕಠಿಣತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಡ್ಡವಿಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ \(A\), ಸ್ಥಳೀಯ \(y\) ಮತ್ತು \(z\) ಅಕ್ಷಗಳ ಕುರಿತ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ದ್ವಿತೀಯ ಕ್ಷಣಗಳು \(I_y\) ಮತ್ತು \(I_z\), ಹಾಗೂ ಮರುಳು ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ವಿಭಾಗ ದತ್ತಾಂಶವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ವಸ್ತುವಿನ ಯಂಗ್ ಮಾಪಕ \(E\) ಮತ್ತು ಯಂಗ್ ಮಾಪಕ ಹಾಗೂ ಪ್ವಾಸ್ಸಾನ್ ಅನುಪಾತದಿಂದ ಲಭಿಸುವ ಕತ್ತರಣೆ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ \(G\) ಜೊತೆಗೆ ಇವು ಸಂಬಂಧಿತ ಕಠಿಣತಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ.

ಬಾಗುವಿಕೆಗೆ ಎರಡು ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಲಭ್ಯ: ವಿರೂಪಣೆಯ ನಂತರವೂ ಅಡ್ಡವಿಭಾಗವು ಬೀಮ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ ಕತ್ತರಣೆ ವಿರೂಪಣವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುವ Bernoulli-Euler ಬೀಮ್, ಮತ್ತು ಕತ್ತರಣೆ ವಿರೂಪಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ Timoshenko ಬೀಮ್. ಎರಡು-ನೋಡ್ ಬೀಮ್ ಅಂಶ 611 ಗಾಗಿ ಎರಡನ್ನೂ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು; ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತವು Bernoulli-Euler ಬೀಮ್. Timoshenko ಬೀಮ್‌ಗೆ, ಅಂಶದ ಉದ್ದ \(L\) ಆಗಿರುವಾಗ, ಕತ್ತರಣೆ ವಿರೂಪಣದ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಗುಣಾಂಕಗಳು

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

ಸಂಬಂಧಿತ ಬಾಗುವಿಕೆ ಸಮತಲಗಳ ಕಠಿಣತಾ ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಥಳೀಯ \(y\) ದಿಕ್ಕಿನ ವಕ್ರತೆಗೆ ಕಠಿಣತಾ ಗುಣಾಂಕ \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\) ಆಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ \(A_s\) ಕತ್ತರಣೆ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ. FrontISTR ವಿಭಾಗ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ \(A_s\) ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ \(A_s = A\) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಕತ್ತರಣೆ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು 1 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನ. \(\Phi_y = \Phi_z = 0\) ಮಾಡಿದರೆ Bernoulli-Euler ಬೀಮ್‌ನ ಕಠಿಣತೆ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

641 ಮಿಶ್ರ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶ; ಇದು ಸ್ಥಳಾಂತರಾತ್ಮಕ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳಿರುವ ಎರಡು ನೋಡ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಭ್ರಮಣಾತ್ಮಕ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶಗಳಿರುವ ಎರಡು ನೋಡ್‌ಗಳಿಂದ ಬೀಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು Bernoulli-Euler ಬೀಮ್ ಆಗಿ ಸೂತ್ರೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ