ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

ಚಲನೆ, ವಿರೂಪಣ ಮತ್ತು ವಿಕೃತಿ

ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸ

ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಯಾವ ಆಕಾರವನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ವರ್ಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ಈ ಕೈಪಿಡಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಧದ ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

  • ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸ (reference configuration): ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಆರಂಭವಾಗುವ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ (ಕಾಲ \(0\)) ವಿರೂಪಣಕ್ಕೆ ಮುಂಚಿನ ಆಕಾರ; ಇದನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ವಿನ್ಯಾಸ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ಬಿಂದುವನ್ನು ವಸ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ \(\boldsymbol{X}\) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ, ಪರಿಮಾಣವನ್ನು \(V\) ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು \(S\) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
  • ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸ (current configuration): ಕಾಲ \(t\) ನಲ್ಲಿ ವಿರೂಪಗೊಂಡ ನಂತರದ ಆಕಾರ. ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ \(\boldsymbol{x}\) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ, ಪರಿಮಾಣವನ್ನು \(v\) ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು \(s\) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಲನೆಯನ್ನು ಈ ಎರಡು ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ನಡುವಿನ ನಕ್ಷೆ \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) ಆಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿನ್ಯಾಸಾಧಾರಿತ ಸಂಕೇತ ಪದ್ಧತಿ (ದೊಡ್ಡ/ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರ)

ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣ ಯಾವ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಂಕೇತದ ದೊಡ್ಡ ಅಥವಾ ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

  • ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾ. \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
  • ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾ. \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
  • ಮೊದಲ Piola-Kirchhoff ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{P}\) ನಂತಹ ಎರಡೂ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಸಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಾದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
  • ಸಣ್ಣ ವಿರೂಪಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಾಶವಾಗುವುದರಿಂದ ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರದ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್‌ಗಳು

ಸ್ಥಾನಿಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಯಾವ ವಿನ್ಯಾಸದ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಸಂಕೇತ ಮತ್ತು ಅರ್ಥ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

  • ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): ವಸ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್. ಉದಾ. \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
  • ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್. ಉದಾ. \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

ಇವೆರಡಕ್ಕೂ \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವಿದೆ. ಕಾಲ ಅವಕಲನದ ಪದ್ಧತಿಗಾಗಿ (ವಸ್ತು ಕಾಲ ಅವಕಲನ \(\dot{(\cdot)}\)) ಟೆನ್ಸರ್ ಸಂಕೇತ ಮತ್ತು ಗಣಿತೀಯ ಮೂಲಭೂತಗಳು ನೋಡಿ.

ಚಲನೆಯ ವಿವರಣೆ

ಚಲನ ನಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವಸ್ತು/ಸ್ಥಾನಿಕ ವಿವರಣೆ

ನಿರಂತರ ಮಾಧ್ಯಮವನ್ನು ಕಾಲ \(0\) ರಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಾನ \(\boldsymbol{X}\) ಅನ್ನು ಗುರುತಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ವಸ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಚಲನೆಯನ್ನು ವಸ್ತು ಬಿಂದು \(\boldsymbol{X}\) ಗೆ ಕಾಲ \(t\) ರಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಾನ \(\boldsymbol{x}\) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ನಕ್ಷೆ \(\phi\) ಮೂಲಕ

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪದ್ಧತಿಯಲ್ಲಿ \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\) ಆಗಿದೆ.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರದ ಆಯ್ಕೆಯ ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಧದ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

  • ವಸ್ತು ವಿವರಣೆ (Lagrange ವಿವರಣೆ): ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು \((\boldsymbol{X}, t)\) ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಘನ ಯಾಂತ್ರಿಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರ ಆಕಾರವಾಗಿ ನೀಡಲ್ಪಡುವುದರಿಂದ ಇದು ಸಹಜ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ.
  • ಸ್ಥಾನಿಕ ವಿವರಣೆ (Euler ವಿವರಣೆ): ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು \((\boldsymbol{x}, t)\) ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ದ್ರವ ಯಾಂತ್ರಿಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

FrontISTR ರಚನಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮೂಲತಃ ವಸ್ತು ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸುತ್ತದೆ; ಆದರೆ Updated Lagrange ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಸ ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿ ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಸ್ಥಾನಿಕ ವಿವರಣೆಯ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸ್ಥಳಾಂತರ, ವೇಗ ಮತ್ತು ತ್ವರಣೆ

ಸ್ಥಳಾಂತರ \(\boldsymbol{u}\) ಅನ್ನು ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಂತೆ \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸಣ್ಣತನದ ಊಹೆ ಮಾಡದೆ ಸೀಮಿತ ವಿರೂಪಣದವರೆಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೇಗ ಮತ್ತು ತ್ವರಣಾ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ವಸ್ತು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು \(\boldsymbol{u}\) ನ ವಸ್ತು ಕಾಲ ಅವಕಲನಗಳಾಗಿ

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿರೂಪಣ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಮತ್ತು ವಿರೂಪಣ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳು

ವಿರೂಪಣ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಟೆನ್ಸರ್

ಸೀಮಿತ ವಿರೂಪಣ ನಿರಂತರ ಮಾಧ್ಯಮ ಯಾಂತ್ರಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲ ಪ್ರಮಾಣವು ವಿರೂಪಣ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಟೆನ್ಸರ್ \(\boldsymbol{F}\) ಆಗಿದೆ. ಇದು ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ರೇಖಾಖಂಡ \(d\boldsymbol{X}\) ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ರೇಖಾಖಂಡ \(d\boldsymbol{x}\) ಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ಚಲನ ನಕ್ಷೆಯ ವಸ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಆಗಿ

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)). ವಿರೂಪಣ ಇಲ್ಲದ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) ಅನ್ನು ವಿಕೃತಿ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲೂ, ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ನಡುವಿನ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಪರಿವರ್ತನೆಯಲ್ಲೂ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಮಾಣ ಬದಲಾವಣೆಯ ಅನುಪಾತ

ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಪರಿಮಾಣ \(dV\) ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಪರಿಮಾಣ \(dv\) ಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪರಿಮಾಣ ಬದಲಾವಣೆಯ ಅನುಪಾತ \(J\) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

ಎಂದು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ಮಾಧ್ಯಮದ ಪ್ರತಿವರ್ತನೀಯತೆಯಿಂದ \(J > 0\) ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು \(\rho_0 = J\rho\) ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ Cauchy-Green ವಿರೂಪಣ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳು

ವಿರೂಪಣ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ \(\boldsymbol{F}\) ಕಠಿಣ-ದೇಹ ಭ್ರಮಣವನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ವಿರೂಪಣವನ್ನೇ ಅಳೆಯಲು ಕಠಿಣ-ದೇಹ ಭ್ರಮಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲ Cauchy-Green ವಿರೂಪಣ ಟೆನ್ಸರ್ \(\boldsymbol{C}\) (ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸ) ಮತ್ತು ಎಡ Cauchy-Green ವಿರೂಪಣ ಟೆನ್ಸರ್ \(\boldsymbol{b}\) (ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸ) ಅನ್ನು

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಸಮಮಿತ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳಾಗಿದ್ದು ಒಂದೇ ಸ್ವಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು (ಮುಖ್ಯ ವಿಸ್ತರಣಾ ಅನುಪಾತಗಳ ವರ್ಗ) ಹೊಂದಿವೆ. ಹೈಪರ್‌ಎಲಾಸ್ಟಿಕ್ ವಿಕೃತಿ-ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯದ ಮುಖ್ಯ ಅವಿಕಾರಗಳು ಅನ್ನು ಇವುಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಕೃತಿ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳು

Green-Lagrange ವಿಕೃತಿ ಟೆನ್ಸರ್

ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸಾಧಾರಿತ ವಿಕೃತಿ ಮಾಪಕವಾಗಿ Green-Lagrange ವಿಕೃತಿ ಟೆನ್ಸರ್ \(\boldsymbol{E}\) ಅನ್ನು

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿನ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಆಂತರಿಕ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಮಮಿತ ಟೆನ್ಸರ್; ಕಠಿಣ-ದೇಹ ಭ್ರಮಣಕ್ಕೆ ಅಚಲವಾಗಿದ್ದು ವಿರೂಪಣ ಇಲ್ಲದಾಗ \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

ಎಂದು ಸ್ಥಳಾಂತರ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್‌ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು; ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಪದವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರೇಖೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. Total Lagrange ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಒತ್ತಡ-ವಿಕೃತಿ ಸಂಯುಗ್ಮ ಜೋಡಿ \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) ಆಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

Almansi ವಿಕೃತಿ ಟೆನ್ಸರ್

ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸಾಧಾರಿತ ವಿಕೃತಿ ಮಾಪಕವಾಗಿ Almansi ವಿಕೃತಿ ಟೆನ್ಸರ್ \(\boldsymbol{e}\) ಅನ್ನು

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು Green-Lagrange ವಿಕೃತಿಗೆ \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (ಹಿಂತೆಗೆತ) ಮೂಲಕ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಅತಿಸಣ್ಣ ವಿಕೃತಿ ಟೆನ್ಸರ್

ಸ್ಥಳಾಂತರ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಸಣ್ಣವಾಗಿರುವಾಗ (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green-Lagrange ವಿಕೃತಿಯ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಪದವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಜೊತೆಗೆ ಎರಡು ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಾಶವಾಗುವುದರಿಂದ, ಭೌತಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಅತಿಸಣ್ಣ ವಿಕೃತಿ ಟೆನ್ಸರ್ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ಗೆ ಇದು ಇಳಿಯುತ್ತದೆ:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR ನ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಮೋಡಲ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಆವೃತ್ತಿ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಗತಿಶೀಲ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಈ ವಿಕೃತಿ ಮಾಪಕವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ವಿರೂಪಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣದಲ್ಲಿ Total Lagrange ವಿಧಾನವು \(\boldsymbol{E}\) ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ; Updated Lagrange ವಿಧಾನವು ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸಾಧಾರಿತ ವಿರೂಪಣ ವೇಗ ಟೆನ್ಸರ್ \(\boldsymbol{D}\) ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.

ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯಗಳು