ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ಸಂರಕ್ಷಣಾ ನಿಯಮಗಳು

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಒತ್ತಡ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ರೇಖೀಯ ಸಂವೇಗ ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ಸಂವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ದೊರೆಯುವ ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಒತ್ತಡದ ಸಮಮಿತಿಯನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. 3 ವಿಧದ ಒತ್ತಡ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳು—Cauchy ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{\sigma}\), 1ನೇ Piola-Kirchhoff ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{P}\) ಮತ್ತು 2ನೇ Piola-Kirchhoff ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{S}\)—ಉಲ್ಲೇಖ ಮೇಲ್ಮೈ ಮತ್ತು ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಯಾವ ವಿನ್ಯಾಸ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತವೆ. ವಿನ್ಯಾಸ, ಚಲನ ಮತ್ತು ವಿರೂಪಣ ಪ್ರವಣತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಚಲನ, ವಿರೂಪಣ ಮತ್ತು ವಿಕೃತಿ, ಹಾಗೂ ಸಂಕೇತಗಳ ಪಟ್ಟಿಗೆ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಸಂಕೇತ ಪಟ್ಟಿ ನೋಡಿ.

Cauchy ಒತ್ತಡ ಟೆನ್ಸರ್

ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದ ಬಿಂದು \(\boldsymbol{x}\) ನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅತಿಸಣ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ (ವಿಸ್ತೀರ್ಣ \(d\Gamma\), ಹೊರಮುಖ ಏಕಕ ಸಾಮಾನ್ಯ \(\boldsymbol{n}\)) ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಲವನ್ನು \(d\boldsymbol{f}\) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಮೇಲ್ಮೈ ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ \(\boldsymbol{t}\) ಅನ್ನು ಏಕಕ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಬಲವಾಗಿ \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. \(\boldsymbol{t}\) ಸ್ಥಾನ \(\boldsymbol{x}\) ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ \(\boldsymbol{n}\) ಎರಡರ ಮೇಲೂ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ಅತಿಸಣ್ಣ ಚತುರ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಸಂವೇಗ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ \(\boldsymbol{t}\), \(\boldsymbol{n}\) ಗೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವುದು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ; ಹೀಗಾಗಿ 2ನೇ ಕ್ರಮದ ಟೆನ್ಸರ್ \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದು

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

ಯಾವುದೇ \(\boldsymbol{n}\) ಗೆ ಇದು ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ (Cauchy ಒತ್ತಡ ಪ್ರಮೇಯ). ಈ \(\boldsymbol{\sigma}\) ಅನ್ನು Cauchy ಒತ್ತಡ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಏಕಕ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಬಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದರಿಂದ ನಿಜ ಒತ್ತಡ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. \(\sigma_{ij}\) ಘಟಕವು ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ \(x_j\) ನಿರ್ದಿಷ್ಟಾಂಕ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಅತಿಸಣ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಏಕಕ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಬಲದ \(x_i\) ಘಟಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ ಕೋನೀಯ ಸಂವೇಗ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯಿಂದ ತೋರಿಸುವಂತೆ, Cauchy ಒತ್ತಡವು ಸಮಮಿತ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆ:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ಆದ್ದರಿಂದ 3 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಇದಕ್ಕೆ 6 ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟಕಗಳಿವೆ (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Voigt ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಒತ್ತಡವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು ಈ ಸಮಮಿತಿಯನ್ನೇ ಆಧಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಟೆನ್ಸರ್ ಸಂಕೇತ ಮತ್ತು ಗಣಿತೀಯ ಮೂಲಭೂತಗಳು ನೋಡಿ). FrontISTR ನ Updated Lagrange ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರೇಖೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಒತ್ತಡ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಮತ್ತು ಅಲ್ಪ ವಿರೂಪಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ Cauchy ಒತ್ತಡವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

1ನೇ ಮತ್ತು 2ನೇ Piola-Kirchhoff ಒತ್ತಡಗಳು

ಸೀಮಿತ ವಿರೂಪಣದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ಮೇಲ್ಮೈ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ ಒತ್ತಡವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, 2 Piola-Kirchhoff ಒತ್ತಡ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ಅತಿಸಣ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು \(d\Gamma_0\) ಮತ್ತು ಅದರ ಹೊರಮುಖ ಏಕಕ ಸಾಮಾನ್ಯವನ್ನು \(\boldsymbol{N}\) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

1ನೇ Piola-Kirchhoff ಒತ್ತಡ (1ನೇ PK ಒತ್ತಡ, ನಾಮಮಾತ್ರ ಒತ್ತಡ) \(\boldsymbol{P}\) ಅನ್ನು, ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದ ಬಲ \(d\boldsymbol{f}\) ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ಅತಿಸಣ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಒತ್ತಡ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Nanson ಸೂತ್ರ \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) ಮತ್ತು Cauchy ಒತ್ತಡ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ Cauchy ಒತ್ತಡದೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

ಆಗುತ್ತದೆ. 1ನೇ PK ಒತ್ತಡ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಸಮಮಿತವಾಗಿದೆ.

2ನೇ Piola-Kirchhoff ಒತ್ತಡ (2ನೇ PK ಒತ್ತಡ) \(\boldsymbol{S}\) ಅನ್ನು, ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದ ಬಲ \(d\boldsymbol{f}\) ಅನ್ನು \(\boldsymbol{F}^{-1}\) ಮೂಲಕ ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ, ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ಅತಿಸಣ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಒತ್ತಡ ಟೆನ್ಸರ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಅದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೇಲ್ಮೈ ಎರಡನ್ನೂ ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ಪ್ರಮಾಣಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದರಿಂದ, ಇದು ದೃಢ-ದೇಹ ಭ್ರಮಣಕ್ಕೆ ಅಚಲಮಾನ ಆಗಿ ಸಮಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 1ನೇ PK ಒತ್ತಡದೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು Cauchy ಒತ್ತಡದಿಂದ ಪರಿವರ್ತನೆ ಹೀಗಿದೆ:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

2ನೇ PK ಒತ್ತಡವನ್ನು ಅತಿಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ವಿಕೃತಿ-ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯ \(W(\boldsymbol{C})\) ನಿಂದ \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) ಆಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. Total Lagrange ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಇದು Green-Lagrange ವಿಕೃತಿ \(\boldsymbol{E}\) ಜೊತೆ ಕಾರ್ಯ-ಸಂಯುಗ್ಮ ಜೋಡಿ \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) ಆಗಿ ಬಳಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಸಮಮಿತಿ ಗುಣಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಪ ವಿರೂಪಣ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)), ಈ 3 ಒತ್ತಡಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮನಾಗುತ್ತವೆ.

ಒತ್ತಡ ಟೆನ್ಸರ್ ಉಲ್ಲೇಖ ಮೇಲ್ಮೈ ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮಮಿತಿ ಅನ್ವಯ
Cauchy ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{\sigma}\) ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸ \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸ \(d\boldsymbol{f}\) ಸಮಮಿತ Updated Lagrange ವಿಧಾನ / ಅಲ್ಪ ವಿರೂಪಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ
1ನೇ PK ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{P}\) ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸ \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸ \(d\boldsymbol{f}\) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಸಮಮಿತ ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳು
2ನೇ PK ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{S}\) ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸ \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸ \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) ಸಮಮಿತ Total Lagrange ವಿಧಾನ / ಅತಿಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತೆ

ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ಸಂವೇಗ ಸಂರಕ್ಷಣೆ ಹಾಗೂ ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು \(\rho\) ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು \(\rho_0\) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ನಿಯಮ \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) ಮತ್ತು ಘನಪರಿಮಾಣ ಘಟಕದ ಪರಿವರ್ತನೆ \(dv = J\, dV\) ಗಳಿಂದ ಸ್ಥಳೀಯ ರೂಪ

\[ \rho_0 = J \rho \]

ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಇದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ.

ಏಕಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗೆ ದೇಹ ಬಲ ಅನ್ನು \(\boldsymbol{g}\) ಮತ್ತು ತ್ವರಣೆಯನ್ನು \(\boldsymbol{a}\) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ರೇಖೀಯ ಸಂವೇಗ ಸಂರಕ್ಷಣೆಗೆ (Euler ನ 1ನೇ ಚಲನ ನಿಯಮ) Cauchy ಒತ್ತಡ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು Gauss ಅಪಸರಣ ಪ್ರಮೇಯ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣ (ಚಲನ ಸಮೀಕರಣ) ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Nanson ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) ಬಳಸಿ ಸಮಾಕಲನವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಮರುಬರೆದರೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ರೂಪ

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

ಆಗುತ್ತದೆ. ಒತ್ತಡ ಪರಿವರ್ತನಾ ನಿಯಮ ಮತ್ತು \(\rho_0 = J\rho\) ಮೂಲಕ ಈ ಎರಡು ರೂಪಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಜಡತ್ವ ಪದವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೆ

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

ಎಂಬ ಸ್ಥಿರ ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ; ಇದು FrontISTR ನ ಸ್ಥಿರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ (ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಅರೇಖೀಯ) ಆರಂಭಿಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಕೋನೀಯ ಸಂವೇಗ ಸಂರಕ್ಷಣೆ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡ ಸಮಮಿತಿ

ಕೋನೀಯ ಸಂವೇಗ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯನ್ನು (Euler ನ 2ನೇ ಚಲನ ನಿಯಮ) ರೇಖೀಯ ಸಂವೇಗ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ Cauchy ಒತ್ತಡ ಟೆನ್ಸರ್‌ನ ಸಮಮಿತಿ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ಹೀಗಾಗಿ 3 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಇದಕ್ಕೆ 6 ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟಕಗಳಿವೆ. \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೋಸ್ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು \(\boldsymbol{F}\) ಏಕವಿಶಿಷ್ಟ ಅಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, 2ನೇ PK ಒತ್ತಡವೂ ಸಮಮಿತವಾಗಿದೆ:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

ಆದ್ದರಿಂದ ಇದಕ್ಕೂ 6 ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟಕಗಳಿವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ 1ನೇ PK ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಮಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ; \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) ಎಂಬ ಸಂಬಂಧ ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) ಸಮಮಿತವಾಗಿದೆ), ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ 9 ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟಕಗಳಿವೆ.

ಈ ಸಮಮಿತಿಗಳೇ Voigt ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಒತ್ತಡವನ್ನು 6 ಘಟಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಆಧಾರ. Voigt ಸಂಕೇತ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ವಸ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರಚನೆಗೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಸಂಕೇತ ಮತ್ತು ಗಣಿತೀಯ ಮೂಲಭೂತಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತೆ ನೋಡಿ.

ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯಗಳು