ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

ಕಲ್ಪಿತ ಕಾರ್ಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತ

ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ಸಂರಕ್ಷಣಾ ನಿಯಮಗಳು ನಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳ ಆಧಾರದಿಂದ, ನಿರಂತರ ಮಾಧ್ಯಮ ಯಾಂತ್ರಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಗಡಿ-ಮೌಲ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ದುರ್ಬಲ ರೂಪವಾದ ಕಲ್ಪಿತ ಕಾರ್ಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನದ ವಿಚ್ಛೇದನವು ಈ ದುರ್ಬಲ ರೂಪದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯವು ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದ ರೂಪವನ್ನು (Cauchy ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು Almansi ವಿಕೃತಿಯ ರೇಖೀಯ ಭಾಗ) ಹಾಗೂ ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ರೂಪವನ್ನು (ಎರಡನೇ Piola-Kirchhoff ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು Green-Lagrange ವಿಕೃತಿ) ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅವು ಸಮಾನವೆಂದು ತೋರಿಸಿ ನಂತರ ಸಣ್ಣ ವಿರೂಪಣ ಮಿತಿಗೆ ಇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳು

ನಿರಂತರ ಮಾಧ್ಯಮದ ಮೇಲೆ ಘಟಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗೆ ಕ್ರಿಯಿಸುವ ವಸ್ತು ಬಲವನ್ನು \(\boldsymbol{g}\) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ \(\Omega\) ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುವ ದೇಹವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಗಡಿ \(\Gamma\) ಅನ್ನು ಸ್ಥಳಾಂತರ \(\bar{\boldsymbol{u}}\) ನಿಗದಿಯಾಗಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗಡಿ \(\Gamma_B\) ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ಬಲ \(\bar{\boldsymbol{t}}\) ನಿಗದಿಯಾಗಿರುವ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಗಡಿ \(\Gamma_t\) ಎಂದು ವಿಭಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) ಮತ್ತು \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). ಸ್ಥಿರ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ಸಂರಕ್ಷಣಾ ನಿಯಮಗಳು ನಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಸಂವೇಗ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ನಿಯಮದಿಂದ ಜಡತ್ವ ಪದವನ್ನು ತೆಗೆದು

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

ಅನ್ನು ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳು

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

ಇವುಗಳಿಂದ ನೀಡಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಮುಂದಾಗಿ ಕಲ್ಪಿತ ಕಾರ್ಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಗಡಿ ಷರತ್ತು \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) ಗಳ ದುರ್ಬಲ ರೂಪವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗಡಿ ಷರತ್ತು \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) ಅನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯದ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲಕ ಒಳಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿನ ದುರ್ಬಲ ರೂಪ

ದುರ್ಬಲ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಅಜ್ಞಾತ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಅನುಮತಿತ ಅವಕಾಶ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯದ ಅವಕಾಶವನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ \(d\) ಸ್ಥಳೀಯ ಆಯಾಮ, \(H^1(\Omega)\) ಮೊದಲ ದುರ್ಬಲ ಅವಕಲನವರೆಗೆ ವರ್ಗ-ಸಮಾಕಲನೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ Sobolev ಅವಕಾಶ, ಮತ್ತು \(\delta\) ವ್ಯತ್ಯಯದ ಸಂಕೇತ. ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದ ರೂಪದಲ್ಲಿ \(\Omega\) ವಿರೂಪಗೊಂಡ ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ; ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ತಿಳಿದ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತೂಕ \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಿ, Gauss ವಿಭಜನಾ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಗಡಿ ಷರತ್ತನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿನ ಕಲ್ಪಿತ ಕಾರ್ಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕೆಳಗಿನಂತಾಗುತ್ತದೆ.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

ಇಲ್ಲಿ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) ಎಂಬುದು Almansi ವಿಕೃತಿ ಟೆನ್ಸರ್‌ನ ರೇಖೀಯ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದು,

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ವ್ಯತ್ಯಯ \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\) ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು, ಯಾವುದೇ \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) ಗಾಗಿ ಕಲ್ಪಿತ ಕಾರ್ಯದ ಸಮೀಕರಣ ತೃಪ್ತಿಯಾಗಬೇಕು. ಎಡಭಾಗವು ಆಂತರಿಕ ಬಲದ ಕಲ್ಪಿತ ಕಾರ್ಯ, ಬಲಭಾಗವು ನಿಗದಿತ ಮೇಲ್ಮೈ ಬಲ ಮತ್ತು ವಸ್ತು ಬಲಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಬಾಹ್ಯ ಬಲದ ಕಲ್ಪಿತ ಕಾರ್ಯ.

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ವಿರೂಪಗೊಂಡ (ಪ್ರಸ್ತುತ) ವಿನ್ಯಾಸದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದರಿಂದ, ವಾಸ್ತವ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಕ ವಿನ್ಯಾಸ \(\Omega_0\) (ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸ) ಅಥವಾ ತಿಳಿದ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿ ಆಯ್ದು, ಹೆಚ್ಚಳ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ಆಯ್ಕೆ (Total Lagrange / Updated Lagrange) ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಳ ವಿಭಜನೆಗಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಚೌಕಟ್ಟು ನೋಡಿ.

ಆರಂಭಿಕ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿನ ದುರ್ಬಲ ರೂಪ

ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ \(\Omega_0\) ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುವ ದೇಹವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅದರ ಗಡಿ \(\Gamma_0\) ಅನ್ನು \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) ಎಂದು ವಿಭಜಿಸೋಣ. ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದ ರೂಪವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಿದಾಗ ಒತ್ತಡ-ವಿಕೃತಿ ಸಂಯುಗ್ಮ ಜೋಡಿ ಎರಡನೇ Piola-Kirchhoff ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{S}\) ಮತ್ತು Green-Lagrange ವಿಕೃತಿ \(\boldsymbol{E}\) ಆಗುತ್ತದೆ. ಆಗ ಆರಂಭಿಕ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿನ ಕಲ್ಪಿತ ಕಾರ್ಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ \(\rho_0\) ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಸಾಂದ್ರತೆ; ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ನಿಯಮ \(\rho_0 = J\rho\) ಮೂಲಕ ಇದು ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದ ವಸ್ತು-ಬಲ ರೂಪಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಸ್ತುತ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ವಿನ್ಯಾಸ ರೂಪಗಳ ಸಮಾನತೆ

ಎರಡೂ ರೂಪಗಳ ಆಂತರಿಕ ಬಲದ ಕಲ್ಪಿತ ಕಾರ್ಯವು ವಿರೂಪಣ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ \(\boldsymbol{F}\) ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣ ಅನುಪಾತ \(J = \det \boldsymbol{F}\) ಗಳ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮೂಲಕ ಒಂದೇ ಆಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

ಆಗುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಬಲದ ಪದಗಳೂ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಸಂರಕ್ಷಣೆ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ಬಲ ಪರಿವರ್ತನೆಯಿಂದ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿನ ಕಲ್ಪಿತ ಕಾರ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದೇ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿಟ್ಟ ವಿಧಾನ Total Lagrange ವಿಧಾನಕ್ಕೆ, ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು (ಹಿಂದಿನ ಸಂಯೋಜಿತ ವಿನ್ಯಾಸ) ಆಧಾರವಾಗಿಟ್ಟ ವಿಧಾನ Updated Lagrange ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಣ್ಣ ವಿರೂಪಣ ಮಿತಿಗೆ ಇಳಿಕೆ

ಸಣ್ಣ ವಿರೂಪಣ ಊಹೆಗಳಾದ \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) ಮತ್ತು \(J \approx 1\) ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಾಶವಾಗುತ್ತದೆ; ಎರಡನೇ PK ಒತ್ತಡ Cauchy ಒತ್ತಡಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತದೆ (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), ಮತ್ತು Green-Lagrange ವಿಕೃತಿ ಹಾಗೂ Almansi ವಿಕೃತಿಯ ರೇಖೀಯ ಭಾಗ ಎರಡೂ ಅತಿಸಣ್ಣ ವಿಕೃತಿ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ಗೆ ಇಳಿಯುತ್ತವೆ.

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಲ್ಪಿತ ಕಾರ್ಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು Cauchy ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{\sigma}\) ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ವಿಕೃತಿ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ಹೊಂದಿರುವ ದುರ್ಬಲ ರೂಪ

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

ಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಣ್ಣ ವಿರೂಪಣ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಸ್ಥಿರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಚ್ಛೇದನಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಬಳಸುವ ದುರ್ಬಲ ರೂಪವಾಗಿದೆ (ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಸ್ಥಿರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (ಪರಿಚಯ ಮತ್ತು ಪರಿಶಿಷ್ಟ) ಈ ರೂಪದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಅಂಶ ಕಠಿಣತೆ \(\boldsymbol{K}^e\) ನಿರ್ಮಾಣ ಮತ್ತು ಸಮಗ್ರ ಸಮೀಕರಣ \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) ಜೋಡಣೆಯವರೆಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ).

ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಸಂವಿಧಾನಾತ್ಮಕ ನಿಯಮ \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, Voigt ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ಎಂದು ಬರೆದರೆ, ದುರ್ಬಲ ರೂಪವು

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

ಎಂಬ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.

ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯಗಳು