ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

ವರ್ಧಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಚೌಕಟ್ಟು

ವರ್ಧಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅಗತ್ಯ

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಸಣ್ಣ-ವಿರೂಪಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳಂತಹ ಮೂಲಭೂತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸದ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೀಮಿತ ಅಂಶಗಳಿಂದ ವಿಚ್ಛೇದೀಕರಿಸಿ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ನಡೆಸಬಹುದು. ರಚನೆಯ ದೊಡ್ಡ ವಿರೂಪಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಸೀಮಿತ-ವಿರೂಪಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಇದೇ ಮೂಲಭೂತ ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸದ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ ಸೀಮಿತ-ವಿರೂಪಣ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವನ್ನು ರೇಖೀಯವೆಂದು ಊಹಿಸಿದರೂ, ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸದ ತತ್ವದ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ ಅರೇಖೀಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಅರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಲೋಡ್ ಅನ್ನು ಸಣ್ಣ ವರ್ಧನೆಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ಪ್ರತಿ ವರ್ಧನೆಗೆ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ, ಅಂತಿಮ ವಿರೂಪಿತ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ತಲುಪುವವರೆಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಚಯಿಸುವ ವರ್ಧಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ-ವಿರೂಪಣ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿದಾಗ, ವಿಕೃತಿ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಾಗ ವಿರೂಪಣಕ್ಕೆ ಮುಂಚಿನ ಮತ್ತು ನಂತರದ ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ನಡುವೆ ವಿಶೇಷ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ ಸಣ್ಣ-ವಿರೂಪಣ ಊಹೆಯಡಿ ಮೂಲಭೂತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ವಿರೂಪಣಕ್ಕೆ ಮುಂಚಿನ ಅಥವಾ ನಂತರದ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಳಸಿದರೂ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ.

ಸೀಮಿತ-ವಿರೂಪಣ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ವರ್ಧಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ನಡೆಸುವಾಗ ಆರಂಭಿಕ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಥವಾ ವರ್ಧನೆಯ ಆರಂಭದ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರ ಮೇಲೆ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು Total Lagrange ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು Updated Lagrange ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವರಗಳಿಗೆ ಅಧ್ಯಾಯದ ಕೊನೆಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.

ಆರಂಭಿಕ ಸಮೀಕರಣ: ಕಾಲ \(t'\) ನಲ್ಲಿ ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸದ ತತ್ವ

ವರ್ಧಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣದಲ್ಲಿ ಸಮಯ \(t\) ವರೆಗಿನ ಸ್ಥಿತಿ ತಿಳಿದಿದ್ದು, ಸಮಯ \(t' = t + \Delta t\) ನ ಸ್ಥಿತಿ ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 2.2.1 ನೋಡಿ). ಸಮಯ \(t'\) ನಲ್ಲಿ ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕಾರ್ಯದ ತತ್ವವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದ Cauchy ಒತ್ತಡ \(^{t'}\sigma\) ಮತ್ತು Almansi ವಿಕೃತಿಯ ರೇಖೀಯ ಭಾಗ \(^{t'} A_{(L)}\) ಬಳಸಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕಾರ್ಯದ ತತ್ವ ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ವರ್ಧಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಚಿತ್ರ 2.2.1 ವರ್ಧಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಆದರೆ ಈ ಆರಂಭಿಕ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮಯ \(t'\) ನ (ಅಜ್ಞಾತ) ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದರಿಂದ, ವಾಸ್ತವ ಪರಿಹಾರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಕ ವಿನ್ಯಾಸ \(V\) (ಸಮಯ \(0\)) ಅಥವಾ ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸ \(^{t'} v\) (ಸಮಯ \(t\)) ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವರ್ಧಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಮರುಬರೆದು ನಂತರ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

  • ಒಟ್ಟು ಲಾಗ್ರಾಂಜ್ ವಿಧಾನ — ಆರಂಭಿಕ ವಿನ್ಯಾಸ \(V\) ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ PK ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{S}\) ಮತ್ತು Green-Lagrange ವಿಕೃತಿ \(\boldsymbol{E}\) ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
  • ನವೀಕರಿಸಿದ ಲಾಗ್ರಾಂಜ್ ವಿಧಾನ — ವರ್ಧನೆಯ ಆರಂಭದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸ \(^{t}v\) ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ. Cauchy ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{\sigma}\) ಮತ್ತು Almansi ವಿಕೃತಿಯ ರೇಖೀಯ ಭಾಗ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ವಿಚ್ಛೇದೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ (B ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ-ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್) ಆಂತರಿಕ ಕಲ್ಪಿತ ಕೆಲಸದ ವಿಚ್ಛೇದೀಕರಣ ನೋಡಿ; ರೇಖೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತೆಯ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನೋಡಿ.

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ