ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

ಟೆನ್ಸರ್ ಸಂಕೇತ ಮತ್ತು ಗಣಿತೀಯ ಮೂಲಭೂತಗಳು

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ FrontISTR ಸಿದ್ಧಾಂತ ಕೈಪಿಡಿಯ ಮುಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಟೆನ್ಸರ್ ಸಂಕೇತ, ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಕೇತ ಮತ್ತು Voigt ಸಂಕೇತ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿಸದ ಶುದ್ಧ ಸಂಕೇತ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರಂತರ ಮಾಧ್ಯಮದ ಚಲನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿನ್ಯಾಸ (ಉಲ್ಲೇಖ/ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸ) ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿಸುವ ದೊಡ್ಡಕ್ಷರ/ಸಣ್ಣಕ್ಷರಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಹಾಗೂ ವಸ್ತು/ಸ್ಥಾನಿಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಮುಂತಾದ ಸಂಕೇತ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಚಲನ, ವಿರೂಪಣ ಮತ್ತು ವಿಕೃತಿ ನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಟೆನ್ಸರ್ ಸಂಕೇತ

ದಪ್ಪ ಅಕ್ಷರದ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ ಸಂಕೇತ

ಟೈಪೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ನಿಯಮವಾಗಿ, ಅದಿಶ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್/ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಕ್ಷರದಲ್ಲಿ (ಉದಾ. \(\rho\), \(x_i\)) ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನೇ ದಪ್ಪ ಅಕ್ಷರದಲ್ಲಿ (ಉದಾ. \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\)) ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

Einstein ಸಂಕಲನ ನಿಯಮ

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳದಿದ್ದರೆ Einstein ಸಂಕಲನ ನಿಯಮ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಒಂದೇ ಪದದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ಬಾರಿ ಬಂದರೆ ಆ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮೇಲೆ ಸಂಕಲನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

ಮತ್ತು \(\boldsymbol{A}\) ಹಾಗೂ \(\boldsymbol{B}\) ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) ನ \(i,j\) ಘಟಕವು

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

ಆಗುತ್ತದೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕ ನಿಯಮವಾಗಿ, \(i, j, k, l, \ldots\) ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆ ಇಲ್ಲದೆ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಾಗಿ ಬಳಸಿದಾಗ ಅವು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು (3 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ \(1, 2, 3\)) ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ; ಸಣ್ಣ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳಾದ \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) ಅನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಾಗಿ ಬಳಸಿದಾಗ ಅವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅಂಶವನ್ನು ರಚಿಸುವ ನೋಡ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ.

ಒಳಗುಣಲಬ್ಧ, ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೋಸ್ ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ ಗುಣಲಬ್ಧ

ಟೆನ್ಸರ್ \(\boldsymbol{A}\) ನ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಪೋಸ್ ಅನ್ನು \(\boldsymbol{A}^T\) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2ನೇ ಕ್ರಮದ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳಾದ \(\boldsymbol{A}\) ಮತ್ತು \(\boldsymbol{B}\) ಗಳ ಒಳಗುಣಲಬ್ಧ (ದ್ವಿ ಸಂಕೋಚನ) ಅನ್ನು

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾದ \(\boldsymbol{a}\) ಮತ್ತು \(\boldsymbol{b}\) ಗಳ ಒಳಗುಣಲಬ್ಧ \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\) ಆಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಗುಣಲಬ್ಧ \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\) ಆಗಿದೆ.

Voigt ಸಂಕೇತ

ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ವಿಕೃತಿಗಳು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಮಿತ 2ನೇ ಕ್ರಮದ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳು; ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಗುಣಾಂಕಗಳು 4ನೇ ಕ್ರಮದ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿವೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಗಣನಾ ವೆಚ್ಚ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಕ್ರಮ ರಚನೆ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ (ಬಹುಆಯಾಮ ಅರೆಗಳು ಮತ್ತು ಆಳವಾದ ಗೂಡಿಸಲಾದ ಲೂಪ್‌ಗಳು) ಅನುಕೂಲಕರವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳು ಸಮಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ವಿಕೃತಿಯನ್ನು ಸ್ತಂಭ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾಗಿ ಹಾಗೂ 4ನೇ ಕ್ರಮದ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು 2 ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ ಆಗಿ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು Voigt ಸಂಕೇತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ, ಟೆನ್ಸರ್ ಪ್ರಮಾಣ \(\boldsymbol{A}\) ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು ಮೂಲ ಟೆನ್ಸರ್‌ನಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲು \(\hat{A}\) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ವಿಕೃತಿಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿ

ಸಮಮಿತ ಒತ್ತಡ ಟೆನ್ಸರ್ \(\boldsymbol{\sigma}\) ಮತ್ತು ವಿಕೃತಿ ಟೆನ್ಸರ್ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ಗೆ, 2 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

3 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

ಎಂದು ಸ್ತಂಭ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಅವಕಲ ಮುಂತಾದ ಉತ್ಪನ್ನ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೂ ಇದೇ ನಿಯಮ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಕೃತಿ ಭಾಗದ ಕತ್ತರಿಕೆ ಘಟಕಗಳಿಗೆ 2 ರ ಗುಣಕವಿದೆ (ಒತ್ತಡ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಇಲ್ಲ) ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಈ ಅಸಮಮಿತಿಯಿಂದ ಟೆನ್ಸರ್ ಒಳಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಒಳಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಅನುಷ್ಠಾನದಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಕೆ ವಿಕೃತಿ ಘಟಕಗಳ 2 ರ ಗುಣಕವನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಇರುವುದರಿಂದ, ಸದಾ “ಒತ್ತಡಕ್ಕೆ ಇಲ್ಲ / ವಿಕೃತಿಗೆ ಇದೆ” ಎಂಬ ನಿಯಮವನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಡಬೇಕು. ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ಪ್ರಮಾಣಗಳಾದ 2ನೇ Piola-Kirchhoff ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{S}\) ಮತ್ತು Green-Lagrange ವಿಕೃತಿ \(\boldsymbol{E}\) ಗೂ ಇದೇ Voigt ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

4ನೇ ಕ್ರಮದ ಟೆನ್ಸರ್‌ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿ

ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ವಿಕೃತಿ ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧ \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (ಘಟಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) ಗೆ, \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ನ ಸಮಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

ಎಂದು ಮರುಬರೆಯಬಹುದು. 3 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ \(\tilde{C}\) ಅನ್ನು 6×6 ವಸ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \(\hat{\tilde{C}}\) ಆಗಿ ಜೋಡಿಸಿದರೆ ಮೂಲ ಟೆನ್ಸರ್ ಸಂಬಂಧವನ್ನು

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಮುಂದಿನ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳದಿದ್ದರೆ, ವಸ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು \(D\) (ಅಥವಾ \(\hat{C}\)) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮದಿಶ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತೆ ನೋಡಿ.

ಅವಕಲ ಸಂಚಾಲಕ ನಿಯಮಗಳು

ಸಮಮಿತ ಪ್ರವಣತಾ ಸಂಚಾಲಕ

ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ \(\boldsymbol{u}\) ಗೆ ಸಮಮಿತ ಪ್ರವಣತಾ ಸಂಚಾಲಕ \(\nabla_S\) ಅನ್ನು

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘಟಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\) ಆಗಿದೆ. ಅಲ್ಪ ವಿರೂಪಣದ ವಿಕೃತಿ \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) ಅನ್ನು ಈ ಸಂಚಾಲಕ ಮೂಲಕ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಸೀಮಿತ ವಿರೂಪಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರವಣತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ವಿನ್ಯಾಸ (ಉಲ್ಲೇಖ/ಪ್ರಸ್ತುತ) ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಚಲನ, ವಿರೂಪಣ ಮತ್ತು ವಿಕೃತಿ ನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಸ್ತು ಕಾಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣ \(A\) ಯ ವಸ್ತು ಕಾಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ (ಅದೇ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಕಾಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ) ಅನ್ನು ಮೇಲಿನ ಬಿಂದು ಮೂಲಕ \(\dot{A}\) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

ವೇಗ ಮತ್ತು ತ್ವರಣೆ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ.

ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯಗಳು