ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

Newton-Raphson ವಿಧಾನ

ರೇಖೀಕರಣ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನಾ ಪುನರಾವೃತ್ತಿ ಸೂತ್ರ

ಬಾಹ್ಯ ಬಲದ ಆಭಾಸಿ ಕೆಲಸ ಮತ್ತು ಸಮಗ್ರ ಸಮೀಕರಣದ ಜೋಡಣೆ ಯಿಂದ ಪಡೆದ, ಸಮಯ \(t_{n+1}\) ರ ನೋಡ್ ಸ್ಥಳಾಂತರ \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) ಕುರಿತ ಅರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು Newton-Raphson ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಯ \(t_n\) ವರೆಗೆ ಇರುವ ನೋಡ್ ಸ್ಥಳಾಂತರ \(\boldsymbol{u}_n\) ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಸ್ಥಳಾಂತರ ವೃದ್ಧಿ \(\Delta\boldsymbol{u}\) ಅನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಚರವಾಗಿ

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದುವರಿದು, ಬಾಹ್ಯ ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನೋಡ್ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ, \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಸ್ತುತ ಪರಿಹಾರ \(\Delta\boldsymbol{u}\) ನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತೆ

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

ಅನ್ನು ಬಳಸಿ ಅರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಕರಿಸಿದರೆ

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

ಎಂಬ ರೂಪ ಸಿಗುತ್ತದೆ. \(i\) ನೇ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು \(d\boldsymbol{u}_i\) ಎಂದು ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಆರಂಭದ ಅವಶೇಷ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

ಎಂದು ಬರೆದರೆ, ಪುನರಾವರ್ತನಾ ಪುನರಾವೃತ್ತಿ ಸೂತ್ರವು

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

ಎಂಬ ರೂಪ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಅವಶೇಷ \(\boldsymbol{R}_i\) ಸಮತೋಲನದಿಂದ ಉಳಿಯುವ ಬಲದ ಅಸಮತೋಲನಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ.

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ರಚನೆ

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತೆ \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\) ಅನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಬಲದ ಆಭಾಸಿ ಕೆಲಸದ ವಿಚ್ಛೇದನ ಯಿಂದ ದೊರೆತ ಅಂಶ ಆಂತರಿಕ ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನೋಡ್ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಕುರಿತು ಆಂಶಿಕ ಅವಕಲನ ಮಾಡಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶದ ಸಮಾಕಲ್ಯ ಪದವನ್ನು ಅಂಶ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ಸಮಾಕಲಿಸಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಶ ಮಟ್ಟದ ಸಮಾಕಲ್ಯ ಪದವನ್ನು \(\boldsymbol{K}^e_X\) (ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸ ನಿರೂಪಣೆ, TL ವಿಧಾನ) ಅಥವಾ \(\boldsymbol{K}^e_x\) (ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸ ನಿರೂಪಣೆ, UL ವಿಧಾನ) ಎಂದು ಬರೆದರೆ, ಅಂಶ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತೆ

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

ಇದರಿಂದ ನೀಡಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗೆ TL/UL ಸಮಾಕಲ್ಯ ಪದಗಳ ಅಂತಿಮ ರೂಪಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡನ್ನೂ ವಸ್ತು ಕಠಿಣತಾ ಪದ (ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಪದ) ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಠಿಣತಾ ಪದ (ಆರಂಭಿಕ ಒತ್ತಡ ಪದ) ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು.

Total Lagrange ವಿಧಾನ

Total Lagrange ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ Piola-Kirchhoff ಒತ್ತಡ ದರ \(\dot{\boldsymbol{S}}\) ಮತ್ತು Green-Lagrange ವಿಕೃತಿ ದರ \(\dot{\boldsymbol{E}}\) ಗಳ ನಡುವೆ \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\) ಎಂಬ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಊಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ವಸ್ತು (St.Venant-Kirchhoff ವಸ್ತು) ಮತ್ತು ಅತಿಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂರಚನಾ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಹೊಂದುತ್ತದೆ; FrontISTR ನಲ್ಲಿ Total Lagrange ವಿಧಾನವನ್ನು ಇಂತಹ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಗ ಅಂಶ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತೆಯ ಸಮಾಕಲ್ಯ ಪದವು ಟೆನ್ಸರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲಭಾಗದ ಮೊದಲ ಪದವು ವಸ್ತು ಕಠಿಣತಾ ಪದ (ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಪದ), ಎರಡನೆಯದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಠಿಣತಾ ಪದ (ಆರಂಭಿಕ ಒತ್ತಡ ಪದ) ಆಗಿದೆ.

FrontISTR ಅನುಷ್ಠಾನದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಾಕಲ್ಯ ಪದವನ್ನು Voigt ನಿರೂಪಣೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಹೀಗಿದೆ. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) ಗಳು ಆಂತರಿಕ ಬಲದ ಆಭಾಸಿ ಕೆಲಸದ ವಿಚ್ಛೇದನ ನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದ B ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳು; \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) ಎಂಬುದು ಸಂರಚನಾ ನಿಯಮ \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) ನ Voigt ನಿರೂಪಣೆಯ \(6\times 6\) ವಸ್ತು ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಟೆನ್ಸರ್ ಸಂಕೇತ ಮತ್ತು ಗಣಿತೀಯ ಮೂಲಭೂತಗಳು). \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) ಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಠಿಣತಾ ಪದವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಬಳಸುವ ಮರುಕ್ರಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳು. ಮೊದಲು \(3\times 3\) ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ಟೆನ್ಸರ್ \(\boldsymbol{A}\) ಅನ್ನು 9-ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ಮರುಕ್ರಮಿಸುವ ಸಂಕೇತ \([\,\cdot\,]\) ಅನ್ನು

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, \(\boldsymbol{F}_9\) ಎಂಬುದು ವಿರೂಪಣ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್‌ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುವ \(9\times d n_e\) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅಂಶ ನೋಡ್ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) ಗೆ ಹೊಂದುವ \(9\times d\) ಬ್ಲಾಕ್

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ ಎಂಬುದು } 3\times 3 \text{ ಏಕಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್}) \]

ಅಂಶ ನೋಡ್ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿದ \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\) ಆಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. \(\boldsymbol{S}_9\) ಇದರೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಿದಾಗ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಠಿಣತಾ ಪದವನ್ನು \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\) ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾಗುವಂತೆ ಆಯ್ದ \(9\times 9\) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

ಆಗಿದೆ.

Updated Lagrange ವಿಧಾನ

Updated Lagrange ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಸಾಪೇಕ್ಷ Kirchhoff ಒತ್ತಡ ಟೆನ್ಸರ್‌ನ Jaumann ದರ \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) ಮತ್ತು ವಿರೂಪಣ-ದರ ಟೆನ್ಸರ್ \(\boldsymbol{D}\) ನಡುವೆ \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) ಎಂಬ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಊಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ರೇಖೀಯ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ, ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಮತ್ತು ಕ್ರೀಪ್ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಹೈಪೋಎಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಸಂರಚನಾ ನಿಯಮದ ರೂಪವಾಗಿದೆ; FrontISTR ನಲ್ಲಿ Updated Lagrange ವಿಧಾನವನ್ನು ಇಂತಹ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಗ ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಅಂಶ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತೆಯ ಸಮಾಕಲ್ಯ ಪದವು ಟೆನ್ಸರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (\(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) Truesdell ದರ, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi ವಿಕೃತಿಯ ರೇಖೀಯ ಭಾಗ, \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್, ಮತ್ತು \(\boldsymbol{L}\) ವೇಗ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಟೆನ್ಸರ್). ಬಲಭಾಗದ ಮೊದಲ ಪದವು ವಸ್ತು ಕಠಿಣತಾ ಪದ, ಎರಡನೆಯದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಠಿಣತಾ ಪದ ಆಗಿದೆ.

FrontISTR ಅನುಷ್ಠಾನದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಾಕಲ್ಯ ಪದವನ್ನು Voigt ನಿರೂಪಣೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. \(\boldsymbol{b}\) ಎಂಬುದು ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ರಚಿಸಿದ B ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಆಂತರಿಕ ಬಲದ ಆಭಾಸಿ ಕೆಲಸದ ವಿಚ್ಛೇದನ). \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) ಗಳು TL ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) ಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ PK ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{S}\) ಅನ್ನು Cauchy ಒತ್ತಡ \(\boldsymbol{\sigma}\) ದಿಂದ ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿನ್ಯಾಸ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ದಿಂದ ಬದಲಿಸಿದ ರೂಪಗಳಾಗಿವೆ.

\(\boldsymbol{G}\) ಎಂಬುದು ಹೈಪೋಎಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಸಂರಚನಾ ನಿಯಮ \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) ಅನ್ನು Truesdell ದರ-ಆಧಾರಿತ ಸಂರಚನಾ ನಿಯಮವಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತಾ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ Cauchy ಒತ್ತಡ-ಅವಲಂಬಿತ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ನಾಲ್ಕನೇ-ಕ್ರಮದ ಟೆನ್ಸರ್ ಘಟಕ \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\) ಅನ್ನು \(6\times 6\) Voigt ನಿರೂಪಣೆಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಿದ

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

ಆಗಿದೆ.

ಸಮಗ್ರ ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಜೋಡಣೆ

ಸಮಗ್ರ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತೆ \(\boldsymbol{K}\) ಅನ್ನು ಅಂಶ ಕಠಿಣತೆ \(\boldsymbol{K}^e\) ಯನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೋಡ್‌ಗೆ \(d\times d\) ಬ್ಲಾಕ್‌ಗಳಾದ \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) ಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ, ಅಂಶ-ನೋಡ್ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಜೋಡಣೆ ಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ಟೆನ್ಸರ್ ಜೋಡಣಾ ಸಮೂಹ \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) ಬಳಸಿ

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

ಇದನ್ನು \(i_g\) ಸಾಲು ಮತ್ತು \(i_h\) ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಷ್ಠಾನದಲ್ಲಿ \(\mathcal{E}^2\) ಸಮೂಹವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ರಚಿಸದೆ, ಅಂಶ ಲೂಪ್‌ನಲ್ಲಿಯೇ ಸಂಬಂಧಿತ ಬ್ಲಾಕ್‌ಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರತಿ ನೋಡ್‌ನ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ \(\times\) ಒಟ್ಟು ನೋಡ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ \(n_g\) ಗಾತ್ರದ ಚೌಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗುತ್ತದೆ; ಆದರೆ ಅಂಶದ ಮೂಲಕ ಸಂಪರ್ಕಿತ ನೋಡ್‌ಗಳ ಹೊರತಾದ ಘಟಕಗಳು \(0\) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಸ್ಪಾರ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

TL ಮತ್ತು UL ವಿಧಾನಗಳ ಅಂಶ ಕಠಿಣತೆಗಳು ಉಲ್ಲೇಖ ವಿನ್ಯಾಸದ ಬದಲಾವಣೆ (ನೋಡ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು B ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲ) ಮತ್ತು \(\boldsymbol{G}\) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇರುವಿಕೆ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಒಂದೇ ರೂಪ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, FrontISTR ಎರಡನ್ನೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಬ್‌ರೂಟೀನ್‌ನಲ್ಲಿ ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಪುನರಾವರ್ತನಾ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಮೇಲಿನುದನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿದರೆ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) ಎಂದು ಇಟ್ಟು ಆರಂಭಿಕ ಅವಶೇಷ \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು, \(i\) ನೇ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

  1. ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಥಳಾಂತರ \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) ನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತೆ \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) ಅನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ರಚನೆ ವಿಧಾನದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
  2. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಲು, ಸ್ಥಳಾಂತರ ನಿರ್ಬಂಧ ಹೇರಿರುವ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅವಶೇಷ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿ \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ).
  3. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪ್ರಮಾಣ \(d\boldsymbol{u}_i\) ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ರಮವು ಪುನರಾವರ್ತನಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಗಣನಾ ವೆಚ್ಚದ ಬಹುಪಾಲನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ.
  4. ಸ್ಥಳಾಂತರ ವೃದ್ಧಿಯನ್ನು \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\) ಎಂದು ನವೀಕರಿಸಿ, ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಆಂತರಿಕ ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) ಮತ್ತು ಅವಶೇಷ \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
  5. ಅಭಿಸರಣ ಪರಿಶೀಲನೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ಷರತ್ತು ಪೂರ್ತಿಯಾದರೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಮುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಶೇಷ \(\boldsymbol{R}_i\) ಯಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗಡಿ ಷರತ್ತು ಹೇರಿರುವ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಾ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಘಟಕಗಳು ಕಾಣಿಸುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿದ \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) ಘಟಕಗಳಿಂದ ಪರಿಶೀಲನಾ ಸೂಚ್ಯಂಕ ರಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮತ್ತು ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿಸರಣ ಪರಿಶೀಲನೆ ಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಭಿಸರಣವಾಗದೆ ಪುನರಾವರ್ತನಾ ಮಿತಿಯನ್ನು ತಲುಪಿದರೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ವಿಫಲವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಅಭಿಸರಿಸಿದಾಗಿನ \(\Delta\boldsymbol{u}\) ಅನ್ನು \(\boldsymbol{u}_n\) ಗೆ ಸೇರಿಸಿ, ಸಮಯ \(t_{n+1}\) ರ ಸಂಚಿತ ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಮುಂದಿನ ಕಾಲ ಹಂತಕ್ಕೆ ಸಾಗಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯಗಳು