ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

ಗತಿಶೀಲ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ವಿಧಾನಗಳು

ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೇರ ಸಮಯ ಸಮಾಕಲನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಗತಿಶೀಲ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಂಪ್ಲಿಸಿಟ್ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್‌ಪ್ಲಿಸಿಟ್ ವಿಧಾನಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಚ್ಛೇದೀಕರಣ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಚೌಕಟ್ಟು)

TBD (ಮುಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದು).

ಇಂಪ್ಲಿಸಿಟ್ ವಿಧಾನ (Newmark-β ವಿಧಾನ)

ಗತಿಶೀಲ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿದ ಚಲನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೇರ ಸಮಯ ಸಮಾಕಲನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

ಇಲ್ಲಿ \(M\) ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, \(C\) ಅವಮಂದನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, \(Q\) ಆಂತರಿಕ-ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು \(F\) ಬಾಹ್ಯ-ಬಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿವೆ. ಅರೇಖೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿಯೂ ವಿರೂಪಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಯ ವರ್ಧನೆ \(\Delta t\) ಯೊಳಗಿನ ಸ್ಥಳಾಂತರ, ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು Newmark-\(\beta\) ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳು \(\eqref{eq:2.5.2}\) ಮತ್ತು \(\eqref{eq:2.5.3}\) ರಂತೆ ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

ಇಲ್ಲಿ \(\gamma\) ಮತ್ತು \(\beta\) ಗಳು Newmark-\(\beta\) ವಿಧಾನದ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಕೆಳಗಿನ \(\gamma\) ಮತ್ತು \(\beta\) ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ವೇಗವರ್ಧನೆ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಟ್ರಾಪೆಜಾಯ್ಡಲ್ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಹೊಂದುತ್ತವೆ.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (ರೇಖೀಯ ವೇಗವರ್ಧನೆ ವಿಧಾನ)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (ಟ್ರಾಪೆಜಾಯ್ಡಲ್ ನಿಯಮ)

ಸಮೀಕರಣಗಳು \(\eqref{eq:2.5.2}\) ಮತ್ತು \(\eqref{eq:2.5.3}\) ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.5.1}\) ಗೆ ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

ವಿಶೇಷವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ \(K_L\) ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗಡಿ ಷರತ್ತಾಗಿ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಿರುವ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ಸಮೀ. \(\eqref{eq:2.5.2}\) ಇಂದ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ವೇಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿರುವ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ಸಮೀ. \(\eqref{eq:2.5.6}\) ಇಂದ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

ಇಲ್ಲಿ, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) ಸಮಯ \(t+\Delta{t}\) ರಲ್ಲಿನ ನೋಡಲ್ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಮತ್ತು \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) ಸಮಯ \(t+\Delta{t}\) ರಲ್ಲಿನ ನೋಡಲ್ ವೇಗ; \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) ಸಮಯ \(t+\Delta{t}\) ರಲ್ಲಿನ ನೋಡಲ್ ವೇಗವರ್ಧನೆ, \(i\) ನೋಡಲ್ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಅಂಶ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು \(s\) ನೋಡ್ ಸಂಖ್ಯೆ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ಅವಮಂದನ ಪದಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಪದದ ನಿರ್ವಹಣೆ

ತತ್ತ್ವತಃ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅವಮಂದನ ಪದದ ನಿರ್ವಹಣೆ

ಅವಮಂದನ ಪದವನ್ನು ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.5.8}\) ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ Rayleigh ಅವಮಂದನವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

ಇಲ್ಲಿ \(R_m\) ಮತ್ತು \(R_k\) ಗಳು Rayleigh ಅವಮಂದನದ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳು.

!DYNAMIC ಕಾರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದ \(R_m\) ಮತ್ತು \(R_k\) ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾದರಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ \(R_m\) ಮತ್ತು \(R_k\) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲು, !DAMPING ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಆ ವಸ್ತುವಿನ !MATERIAL ಬ್ಲಾಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿ. !DAMPING ಸೂಚಿಸಿದ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಸೇರಿದ ಅಂಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಅಂಶ ಡ್ಯಾಂಪಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) ಅನ್ನು ಅಂಶ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \(M_i\) ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \(K_i\)ಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಜಾಗತಿಕ ಡ್ಯಾಂಪಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ ಇಂಪ್ಲಿಸಿಟ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ.

ಎಕ್ಸ್‌ಪ್ಲಿಸಿಟ್ ವಿಧಾನ (ಕೇಂದ್ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ವಿಧಾನ)

ಎಕ್ಸ್‌ಪ್ಲಿಸಿಟ್ ವಿಧಾನವು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿದ ಸಮಯ t ರಲ್ಲಿನ ಚಲನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಆಧರಿಸುತ್ತದೆ.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

ಸಮಯ \(t + \Delta t\) ಮತ್ತು \(t - \Delta t\) ಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳನ್ನು ಸಮಯ \(t\) ಸುತ್ತ Taylor ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ, \(\Delta t\) ಯ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಿದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ದೊರಕುತ್ತವೆ.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

ಸಮೀ. \(\eqref{eq:2.5.3}\) ಮತ್ತು ಸಮೀ. \(\eqref{eq:2.5.4}\) ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ದೊರಕುತ್ತವೆ.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

ಸಮೀಕರಣಗಳು \(\eqref{eq:2.5.12}\) ಮತ್ತು \(\eqref{eq:2.5.13}\) ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.5.9}\) ಗೆ ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

ವಿಶೇಷವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ \(Q(t) = K_L U(t)\) ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಕೆಳಗಿನಂತಾಗುತ್ತದೆ:

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \(M\) ಅನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಮತ್ತು ಡ್ಯಾಂಪಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅನುಪಾತೀಯ ಡ್ಯಾಂಪಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \(C = R_m M\) ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಸಮೀ. \(\eqref{eq:2.5.15}\) ಗೆ ಸಮಕಾಲಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಹೀಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.5.15}\) ರಿಂದ \(U(t+\Delta t)\) ಅನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ