ಮೋಡಲ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ¶

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸ್ವಮೌಲ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆ¶

ನಿರಂತರ ಮಾಧ್ಯಮದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕಂಪನವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ ಸ್ಥಳೀಯ ವಿಚ್ಛೇದನ ಮಾಡಿ, ಚಿತ್ರ 2.3.1ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳಿರುವ ಬಹು-ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ-ಅಂಶ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಮಾದರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಮಂದನವಿಲ್ಲದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕಂಪನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ನಿಯಂತ್ರಕ ಸಮೀಕರಣವು (ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು) ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

ಇಲ್ಲಿ $u$ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸ್ಥಳಾಂತರ ವೆಕ್ಟರ್, $M$ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು $K$ ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿವೆ. ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಕೋಣೀಯ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು $\omega$, ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯವಾಗದ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು $a$, $b$, ಮತ್ತು $x$ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ.

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

ಈ ಕಾರ್ಯದ ಎರಡನೇ ಅವಕಲನವು

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

ಸಮೀಕರಣಗಳು $\eqref{eq:2.3.2}$ ಮತ್ತು $\eqref{eq:2.3.3}$ ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣ $\eqref{eq:2.3.1}$ ಗೆ ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

ಎಂದು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

ಅಲ್ಪವಲ್ಲದ ಕಂಪನಕ್ಕೆ $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ ಸರ್ವಸಮವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ; ಆದ್ದರಿಂದ

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ $\lambda=\omega^2$ ಎಂದು ಇಟ್ಟರೆ

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

ಗುಣಾಂಕ $\lambda$ ಅನ್ನು ಸ್ವಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ $x$ ಅನ್ನು ಸ್ವವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಸಮೀಕರಣ $\eqref{eq:2.3.5}$ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸ್ವಮೌಲ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸ್ವಮೌಲ್ಯ $\lambda=\omega^2$ ದಿಂದ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಕೋಣೀಯ ಆವೃತ್ತಿ $\omega$ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ; ಅದಕ್ಕೆ ಹೊಂದುವ ಸ್ವವೆಕ್ಟರ್ $x$ ಕಂಪನ ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಅವಮಂದನವಿಲ್ಲದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕಂಪನದ ಬಹು-ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ-ಅಂಶ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉದಾಹರಣೆ

ಚಿತ್ರ 2.3.1　ಅವಮಂದನವಿಲ್ಲದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕಂಪನದ ಬಹು-ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ-ಅಂಶ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉದಾಹರಣೆ

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಊಹೆಗಳು¶

ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸ್ವಮೌಲ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆ $Kx=\lambda Mx$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳು ಸಮಮಿತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಈ ಕೈಪಿಡಿಯಲ್ಲಿ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಮಮಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $K$ ಯ $ij$ ಘಟಕವನ್ನು $k_{ij}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಗುಣವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

ಇಲ್ಲಿ $\bar{k}_{ji}$, $k_{ji}$ ಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯುಗ್ಮವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ಸಂಬಂಧವು $k_{ij}=k_{ji}$ ಆಗುತ್ತದೆ.

ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ $x$ ಗೂ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವು ನೆರವೇರಿದ್ದರೆ ವಾಸ್ತವ ಸಮಮಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $H$ ಅನ್ನು ಧನ-ನಿಶ್ಚಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ $H$ ಯ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವಮೌಲ್ಯಗಳು ಧನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ರಚನಾ ಸ್ವಮೌಲ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $M$ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಧನ-ನಿಶ್ಚಿತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನಿರ್ಬಂಧ ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $K$ ಧನ-ಅರೆನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ದೃಢಕಾಯ ಕಂಪನ ಮೋಡ್‌ಗಳಿಗೆ ಹೊಂದುವ ಶೂನ್ಯ ಸ್ವಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು.

ಸ್ಥಾನಾಂತರಿತ ವಿಲೋಮ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ವಿಧಾನ¶

ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನದಿಂದ ಮಾಡುವ ರಚನಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಲವೇ ಕಡಿಮೆ ಕ್ರಮದ ಸ್ವಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಾಕಾಗುತ್ತವೆ. HEC-MW ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದು ಅತ್ಯಂತ ವಿರಳವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಘಟಕಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಇರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಗುಣಗಳನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಕಡಿಮೆ ಕ್ರಮದ ಕಂಪನ ಮೋಡ್‌ಗಳ ಸ್ವಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು $\sigma$ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, $-\sigma$ ಯಾವುದೇ ಸ್ವಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು $K+\sigma M$ ಅವಿಲಕ್ಷಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣ $\eqref{eq:2.3.5}$ ಅನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

ಈ ಪರಿವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ವವೆಕ್ಟರ್ $x$ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಸ್ವಮೌಲ್ಯ $\lambda$, $1/(\lambda+\sigma)$ ಗೆ ಪ್ರತಿಚಿತ್ರಿತವಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ $\lambda$, $-\sigma$ ಗೆ ಎಷ್ಟು ಹತ್ತಿರವಿರುತ್ತದೆಯೋ, ಪರಿವರ್ತಿತ ಸ್ವಮೌಲ್ಯದ ಪರಮಮೌಲ್ಯ ಅಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತದೆ. ರಚನಾ ಸ್ವಮೌಲ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ $\lambda \geq 0$ ಮತ್ತು $\sigma \geq 0$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಕ್ರಮದ ಸ್ವಮೌಲ್ಯವು ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಪರಮಮೌಲ್ಯವಿರುವ ಸ್ವಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಚಿತ್ರಿತವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ದೊಡ್ಡ ಪರಮಮೌಲ್ಯವಿರುವ ಸ್ವಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮೊದಲು ಅಭಿಸರಿಸುವ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಮೀಕರಣ $\eqref{eq:2.3.8}$ ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ ಕಡಿಮೆ ಕ್ರಮದ ಸ್ವಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸ್ಥಾನಾಂತರಿತ ವಿಲೋಮ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

FrontISTR ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿರುವ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ $\sigma = 0$ ಎಂದು ಇಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ಆಗ ಸಮೀಕರಣ $\eqref{eq:2.3.8}$, $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, ಅಂದರೆ ಸ್ಥಾನಾಂತರವಿಲ್ಲದ ವಿಲೋಮ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಲ್ಲದ ಸ್ವತಂತ್ರ-ಸ್ವತಂತ್ರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ದೃಢಕಾಯ ಕಂಪನ ಮೋಡ್‌ಗಳಿಗೆ ಹೊಂದುವ ಶೂನ್ಯ ಸ್ವಮೌಲ್ಯಗಳ ಕಾರಣದಿಂದ $K$ ವಿಲಕ್ಷಣವಾಗುತ್ತದೆ; $\sigma$ ಗೆ ಧನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿ $K+\sigma M$ ಅನ್ನು ಅವಿಲಕ್ಷಣಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ $\sigma$ ಅನ್ನು !EIGEN ನಲ್ಲಿನ SIGMA ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

Lanczos ವಿಧಾನ¶

ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಕಾರಣ (Jacobi ವಿಧಾನದ ಹೋಲಿಕೆ)¶

ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ Jacobi ವಿಧಾನ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗಾತ್ರವು ಸಣ್ಣದಾಗಿದ್ದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುವಾಗ ಈ ವಿಧಾನ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಆದರೆ HEC-MW ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದು ವಿರಳವಾಗಿರುವುದರಿಂದ Jacobi ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸದೆ Lanczos ಪುನರಾವರ್ತನೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಮವಿಧಿ ಮತ್ತು ಲಕ್ಷಣಗಳು¶

1950ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ C. Lanczos ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಈ ವಿಧಾನವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ತ್ರಿಕರ್ಣ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಕ್ರಮವಿಧಿಯಾಗಿದ್ದು, ಕೆಳಗಿನ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಇದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಭಿಸರಣ ವಿಧಾನವಾಗಿದ್ದು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವಿರಳ ರೂಪದಲ್ಲೇ ಇಟ್ಟು ಗಣನೆ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು.
ಕ್ರಮವಿಧಿಯ ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಾಕಾರಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಸಮಾಂತರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.
ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ಮೆಶ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಡೊಮೇನ್ ವಿಭಜನೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.
ಬೇಕಾದ ಸ್ವಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಕಂಪನ ಮೋಡ್‌ಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗಣನೆ ಮಾಡಬಹುದು.

Lanczos ವಿಧಾನವು ಆರಂಭಿಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಲಂಬ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ Krylov ಉಪಾವಕಾಶದ ಆಧಾರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ.

ಸೀಮಿತ ನಿಖರತೆಯ ಗಣನೆಯಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುಗೊಳಿಸುವ ದೋಷಗಳಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಲಂಬತ್ವ ಕಳೆದುಹೋಗಬಹುದು. ಈ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು FrontISTR ನ ಅನುಷ್ಠಾನವು ಈಗಾಗಲೇ ಪಡೆದ Lanczos ಆಧಾರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ ಮರುಲಂಬೀಕರಣ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ (Krylov ಉಪಾವಕಾಶ)¶

ಸಮೀಕರಣ $\eqref{eq:2.3.8}$ ನಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಚರ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮರುಬರೆದಾಗ

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ $q_0$ ಗಾಗಿ

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

ಮೇಲಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ವ್ಯಾಪಿಸುವ ಅವಕಾಶ, ಅಂದರೆ

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

Krylov ಉಪಾವಕಾಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

Lanczos ವಿಧಾನವು ಈ Krylov ಉಪಾವಕಾಶದ ಆಧಾರವನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ.

FrontISTR ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $M$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಳಗಿನ ಆಂತರಿಕ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

ಬಳಸಿ ಆಧಾರವನ್ನು ಲಂಬ-ಏಕಮಾನಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಆಂತರಿಕ ಗುಣಲಬ್ಧ $\langle x,y\rangle$ ಮತ್ತು ನಾರ್ಮ್ $\|x\|$ ಅನ್ನು FrontISTR ನ ಗಣನೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಇದೇ $M$-ಆಂತರಿಕ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಹೊಂದುವ $M$-ನಾರ್ಮ್, ಅಂದರೆ

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ $q_0$ ಮೇಲೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $A$ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ರೇಖೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2.3.2).

$ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $A$ ಮೂಲಕ $q_0$ ಯ ರೇಖೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆ$

ಚಿತ್ರ 2.3.2　ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $A$ ಮೂಲಕ $q_0$ ಯ ರೇಖೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಪರಿವರ್ತಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮೂಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಜೊತೆ ನಿರ್ಮಿಸುವ ಅವಕಾಶದೊಳಗೆ ಲಂಬೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ಚಿತ್ರ 2.3.3ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ Gram-Schmidt ಲಂಬೀಕರಣವನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಪಡೆದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು $r_1$ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಅದನ್ನು ಏಕಮಾನಗೊಳಿಸಿ $q_1$ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

$q_0\) ಗೆ ಲಂಬವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ \(q_1$

ಚಿತ್ರ 2.3.3　$q_0$ ಗೆ ಲಂಬವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ $q_1$

ಅದೇ ವಿಧಾನದಿಂದ $q_1$ ಇಂದ $q_2$ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವೇಳೆ $q_2$, $q_1$ ಮತ್ತು $q_0$ ಎರಡಕ್ಕೂ ಲಂಬವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 2.3.4).

$q_1\) ಮತ್ತು $q_0$ ಗೆ ಲಂಬವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ \(q_2$

ಚಿತ್ರ 2.3.4　$q_1$ ಮತ್ತು $q_0$ ಗೆ ಲಂಬವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ $q_2$

ಈ ರೀತಿ Lanczos ವಿಧಾನವು Krylov ಉಪಾವಕಾಶದ ಲಂಬ-ಏಕಮಾನ ಆಧಾರವನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ವಮೌಲ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಮಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಇತ್ತೀಚಿನ ಆಧಾರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂರು-ಪದಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನಾ ಸಂಬಂಧವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.

ಆದರೆ ಸೀಮಿತ ನಿಖರತೆಯ ಗಣನೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಲಂಬತ್ವದ ನಷ್ಟವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು FrontISTR ನ ಅನುಷ್ಠಾನವು ಈಗಾಗಲೇ ಪಡೆದ Lanczos ಆಧಾರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ $M$-ಆಂತರಿಕ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮೂಲಕ ಮರುಲಂಬೀಕರಣ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕರ್ಣೀಕರಣ¶

FrontISTR ನ Lanczos ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ, ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ $M$-ಆಂತರಿಕ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ ಆಧಾರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಲಂಬ-ಏಕಮಾನಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದರಿಂದ

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವು ನೆರವೇರುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣ $\eqref{eq:2.3.10}$ ನಲ್ಲಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $A$ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ Lanczos ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

ಮೇಲಿನ ಮೂರು-ಪದಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನಾ ಸಂಬಂಧವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.

ಮೊದಲು $\alpha_i$ ಅನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

ನಂತರ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಅವಶೇಷವನ್ನು

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

ಎಂದು ಇಡೋಣ.

ಸೀಮಿತ ನಿಖರತೆಯ ಗಣನೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಲಂಬತ್ವದ ನಷ್ಟವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು FrontISTR ನ ಅನುಷ್ಠಾನವು $\tilde{r}_{i+1}$ ಅನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಪಡೆದ Lanczos ಆಧಾರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ $M$-ಆಂತರಿಕ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮೂಲಕ ಮರುಲಂಬೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಮರುಲಂಬೀಕರಣದ ನಂತರದ ಅವಶೇಷವನ್ನು $r_{i+1}$ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

ಎಂಬ ಸಂಬಂಧಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ.

Lanczos ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಿಂದ ಪಡೆದ $m$ ಆಧಾರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

ಎಂದು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿದರೆ, ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ Lanczos ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ನಂತರ

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವು ನೆರವೇರುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ $e_m$, $m$-ಆಯಾಮದ ಏಕಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ $m$-ನೇ ಘಟಕ ಮಾತ್ರ 1 ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಎಲ್ಲ ಘಟಕಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿವೆ; ಹಾಗೆಯೇ

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

ಒಂದು ಸಮಮಿತ ತ್ರಿಕರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ ತ್ರಿಕರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $T_m$ ನ ಸ್ವಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೂಲ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಸ್ವಮೌಲ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ವಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸನ್ನಿಕಟಗೊಳಿಸಬಹುದು.

ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯಗಳು¶

ಆವೃತ್ತಿ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ — ಮೋಡಲ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಆವೃತ್ತಿ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ
ವಿಶ್ಲೇಷಣಾ ಪ್ರಕಾರ — ಮೋಡಲ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕಾರ್ಯಸಾರಾಂಶ