ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

ಆವೃತ್ತಿ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

ಸಮಸ್ಯೆ ಸೂತ್ರೀಕರಣ

ಬಾಹ್ಯ ಬಲವು ಕಾಲದೊಂದಿಗೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವಾಗ, ಆವೃತ್ತಿ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿರಾವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಾ ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ ಮತ್ತು ಹಂತವನ್ನು ಆವೃತ್ತಿ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅವಮಂದನವಿಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಅವಮಂದನ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಚಲನ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಅವಮಂದನವಿಲ್ಲದ ಮುಕ್ತ ಕಂಪನದಿಂದ ಸ್ವಮೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಮೋಡಲ್ ಆಧಾರವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವಮಂದನ ಹೊಂದಿದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅವಮಂದನವಿಲ್ಲದ ಮುಕ್ತ ಕಂಪನ ಮತ್ತು ಸ್ವಮೋಡ್‌ಗಳು

ಅವಮಂದನವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದಾಗ ಚಲನ ಸಮೀಕರಣವು

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಸ್ವಮೋಡ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

ಇದನ್ನು ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.6.1}\) ಗೆ ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸ್ವಮೌಲ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆ. ಶಿಫ್ಟ್ ಮಾಡಿದ ವಿಲೋಮ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಮತ್ತು Lanczos ವಿಧಾನ ಸೇರಿದಂತೆ ಇದರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮೋಡ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಆವೃತ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ವಮೋಡ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಆವೃತ್ತಿಗಳ ವಾಸ್ತವಿಕತೆ

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಆವೃತ್ತಿ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ತೋರಿಸಬಹುದು. \(\omega_j^2 = \lambda_j\) ಎಂದು ಇಟ್ಟು, ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.6.3}\) ರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯುಗ್ಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.6.4}\) ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

ಇದನ್ನು \(\overline{U}_J^T\) ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.6.5}\) ರಿಂದ,

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮಮಿತ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ವವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

ಆದ್ದರಿಂದ,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

ಹೀಗಾಗಿ \(\omega_j^2 = \lambda_j\) ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಸ್ವಮೋಡ್‌ಗಳ ಲಂಬತ್ವ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ

ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಮೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

ಇವುಗಳಿಂದ

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

ಸ್ವಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

ಅಂದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ವಮೋಡ್‌ಗಳು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ ಲಂಬಕೋನೀಯವಾಗಿವೆ. ಅದೇ ಮೋಡ್‌ಗೆ, ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.6.12}\) ನಂತೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರೆ ಮುಂದಿನ ನಿರ್ವಹಣೆ ಸರಳವಾಗುತ್ತದೆ.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

ಅವಮಂದನದೊಂದಿಗೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ

ಮುಂದೆ, ಅವಮಂದನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಆವೃತ್ತಿ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುರಿಯಾದ ಚಲನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.6.13}\) ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

ಇಲ್ಲಿ ಅವಮಂದನ ಪದವು Rayleigh ಪ್ರಕಾರದ್ದೆಂದು ಊಹಿಸಿ, ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.6.14}\) ನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

ಮೋಡ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ಸ್ವವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಸಮಯ t ರಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಳಾಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.6.15}\) ನಂತೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

ಬಾಹ್ಯ ಬಲದ ಪದವು ಕೆಳಗಿನ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ:

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ \(b_{j}(t)\) ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.6.13}\) ಬಲಪ್ರೇರಿತ ಕಂಪನದ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. \(b_{j}(t)\) ಯ ವಿಸ್ತರಣಾ ಗುಣಾಂಕದ ವಾಸ್ತವ ಮತ್ತು ಕಲ್ಪಿತ ಭಾಗಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು \(\eqref{eq:2.6.18}i\) ಮತ್ತು \(\eqref{eq:2.6.19}\) ರ ರೂಪದಲ್ಲಿ ದೊರೆಯುತ್ತವೆ.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

ಇವು ಬೇಕಾದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ.

ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿ