ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ

ಅಸ್ಥಿರ ಉಷ್ಣ ವಹನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನ (Finite Element Method) ಮೂಲಕ ಘನದ ಉಷ್ಣ ವಹನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಯ ವಿವೇಚನೆ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರಂತರ ಮಾಧ್ಯಮದಲ್ಲಿನ ಆಡಳಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ಉಷ್ಣ ವಹನ ಸಮೀಕರಣ ನೋಡಿ.

ವಿವೇಚಿತ ಸಮೀಕರಣ（ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದು）

ಉಷ್ಣ ವಹನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (ಉಷ್ಣ ವಹನ ಸಮೀಕರಣದ ಸಮೀಕರಣ (gov_he_main)) Galerkin ವಿಧಾನದಿಂದ ವಿವೇಚಿಸಿದರೆ,

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

ಇಲ್ಲಿ,

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

ಇಲ್ಲಿ \(K\), \(M\), \(F\), \(N\) ಕ್ರಮವಾಗಿ ಉಷ್ಣ ವಹನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಗಡಿ ಕೊಡುಗೆಗಳ ಸಂವಹನ ಮತ್ತು ವಿಕಿರಣ ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ), ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಉಷ್ಣ ಭಾರ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿವೆ. ವಸ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಚಿಹ್ನೆಗಳಾದ \(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಉಷ್ಣ ವಹನ ಸಮೀಕರಣ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮಯ ವಿವೇಚನೆ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪರಿಹಾರ

ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.4.8}\) ಅರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈಗ ಸಮಯದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಹಿಂದುಳಿದ Euler ವಿಧಾನದಿಂದ ವಿವೇಚಿಸಿ, \(t=t_0\) ಸಮಯದಲ್ಲಿನ ತಾಪಮಾನ ತಿಳಿದಿರುವಾಗ \(t=t_0+\Delta t\) ಸಮಯದ ತಾಪಮಾನವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

ಇಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.4.13}\) ಅನ್ನು ಅಂದಾಜಾಗಿ ಪೂರೈಸುವ ತಾಪಮಾನ ವೆಕ್ಟರ್ \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) ಅನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯ ಪರಿಹಾರ \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) ಅನ್ನು ಹುಡುಕುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಮೊದಲು ತಾಪಮಾನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

ಉಷ್ಣ ವಹನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ತಾಪಮಾನ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಗುಣಲಬ್ಧ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮುಂತಾದವುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅಂದಾಜಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.4.14}\), ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.4.15}\), ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.4.16}\) ಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣ \(\eqref{eq:2.4.13}\) ಗೆ ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪಿಸಿ ದ್ವಿತೀಯ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದ ಪದಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟರೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

ಇನ್ನೂ, ಎಡಭಾಗದ ಗುಣಾಂಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಂದಾಜಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

ಇಲ್ಲಿ \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಗಣನೆ ನಡೆಸುವುದರಿಂದ \(t=t_0+\Delta t\) ಸಮಯದಲ್ಲಿನ ತಾಪಮಾನವನ್ನು ಗಣಿಸಬಹುದು.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಗಣನೆ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

ಅಸ್ಥಿರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಯ ಹೆಚ್ಚಳ \(\Delta t\) ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವಾಗ, ಸಮಯ ವಿವೇಚನೆಗೆ ಇಂಪ್ಲಿಸಿಟ್ ವಿಧಾನ ಬಳಸಿರುವುದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಸ್ಥಿರತಾ ಮಿತಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಸಮಯ ಹೆಚ್ಚಳ \(\Delta t\) ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾದರೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಗಣನೆಯ ಅಭಿಸರಣಕ್ಕೆ ಬೇಕಾದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಯ ಹೆಚ್ಚಳ \(\Delta t\) ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾದರೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ. ಅನುಷ್ಠಾನದಲ್ಲಿ ರೆಸಿಡ್ಯುಯಲ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅಭಿಸರಣ ನಿಧಾನವಾದರೆ \(\Delta t\) ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಡಿಮೆ ಇದ್ದರೆ \(\Delta t\) ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಹೆಚ್ಚಳ ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (→ ವಿವರಗಳಿಗೆ ಹಂತ ನಿಯಂತ್ರಣ ನೋಡಿ).

ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯಗಳು