ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳ ನಿರ್ವಹಣೆ¶

Newton-Raphson ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) ನಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳು (ಸ್ಥಳಾಂತರ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು) ಸೇರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳಾಂತರ ನಿರ್ಬಂಧ \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) ನೀಡಲಾದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಅಂಶಗಳಿಗೆ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ನಂತರದ ಸ್ಥಳಾಂತರವು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುವಂತೆ ಕಠಿಣತಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \(\boldsymbol{K}\) ಮತ್ತು ಅವಶೇಷ ವೆಕ್ಟರ್ \(\boldsymbol{R}\) ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ತಿದ್ದುಪಡಿಮಾಡಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಹು-ಬಿಂದು ನಿರ್ಬಂಧಗಳು (MPC) ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಅರೇಖೀಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅವುಗಳಿಗಾಗಿ ಬಹು-ಬಿಂದು ನಿರ್ಬಂಧ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕ ನೋಡಿ.

ಸ್ಥಳಾಂತರ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಚರವಾಗಿಯೇ ಉಳಿಸುವ ವಿಧಾನ¶

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗಡಿ ಷರತ್ತು ವಿಧಿಸಲಾದ ನೋಡ್‌ನ ಸ್ಥಳಾಂತರವು ಇನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಚರವಾಗಿರದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯ \(\bar{u}_i\) ಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) ನಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದಾದರೂ, FrontISTR ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೂ ಇತರ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಅಂಶಗಳಂತೆಯೇ ತಿದ್ದುಪಡಿ ವೆಕ್ಟರ್ \(d\boldsymbol{u}\) ನಲ್ಲಿ ಉಳಿಸಿಕೊಂಡು, \(\boldsymbol{K}\) ಮತ್ತು \(\boldsymbol{R}\) ಅನ್ನು ಮರುಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಜಾರಿಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ವಿಧಾನದಿರ್ಬಂಧದ ಇರುವಿಕೆ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಗುಣಾಂಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಆದ್ದರಿಂದ ಚರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ ನಂತರ ಖಾಲಿಯಾದ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಗುಣಾಂಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವಿರಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹಿಡಿದಿಡುವ ಅನುಷ್ಠಾನದಲ್ಲಿ ಇಂತಹ ಮರುಹೊಂದಿಸುವಿಕೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ FrontISTR, ಗುಣಾಂಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ನವೀಕರಿಸಿ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.

Newton-Raphson ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪ್ರಮಾಣದ ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪನೆ ಗುರಿ¶

ಸ್ಥಳಾಂತರ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಅಂಶ \(i\) ಗೆ, Newton-Raphson ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಿಸುವ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪ್ರಮಾಣ \(du_i\) ಹೀಗಿರಬೇಕು:

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1ನೇ ಪುನರಾವರ್ತನೆ}) \\ 0 & (\text{2ನೇ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಮತ್ತು ನಂತರ}) \end{cases} \]

ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು \(\boldsymbol{K}\) ಮತ್ತು \(\boldsymbol{R}\) ಅನ್ನು ತಿದ್ದುಪಡಿಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ ಮೊದಲ 1 ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳಾಂತರ ಹೆಚ್ಚಳವು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಮೌಲ್ಯ \(\bar{u}_i\) ತಲುಪುತ್ತದೆ; 2ನೇ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪ್ರಮಾಣ \(0\) ಆಗಿ, ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಮೌಲ್ಯ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅವಶೇಷ ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿವರ್ತನೆ ಕ್ರಮ¶

ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪನೆ ಗುರಿಯನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) ನ ರೂಪವನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಂಡೇ ಕೆಳಗಿನ 2 ಪರಿವರ್ತನೆಗಳಿಂದ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

\(i\)ನೇ ಸಾಲಿನ ಕರ್ಣೀಕರಣ: \(du_i\) ಯ ಗುಣಾಂಕವಾದ ಕರ್ಣಘಟಕ \(K_{ii}\) ಅನ್ನು \(1\) ಆಗಿ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು \(K_{ij}\ (j \not= i)\) ಅನ್ನು \(0\) ಆಗಿ ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪಿಸಿ, ಬಲಭಾಗವನ್ನು \(R_i \to d\bar{u}_i\) ಎಂದು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ \(i\)ನೇ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು \(du_i = d\bar{u}_i\) ಆಗುತ್ತದೆ.
\(j(\not= i)\)ನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾವಣೆ: \(j(\not= i)\)ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ \(K_{ji} \not= 0\) ಆಗಿದ್ದರೆ, \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) ಪದವನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಬಲಭಾಗದಿಂದ \(K_{ji} d\bar{u}_i\) ಅನ್ನು ಕಡಿತಗೊಳಿಸಿ, \(du_i\) ಯ ಗುಣಾಂಕ \(K_{ji}\) ಅನ್ನು \(0\) ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಘಟಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದರೆ, ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮುಂಚಿನ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]

\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಂತರದ ಗುಣಾಂಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) ಎಂದು ಬರೆಯುವುದಾದರೆ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

ಆಗುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಅಂಶಗಳು ಇದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಅಂಶ \(i\) ಗೆ ಮೇಲಿನ 1 ಮತ್ತು 2ನೇ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿರಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನುಷ್ಠಾನದಲ್ಲಿ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿ¶

ಅನುಷ್ಠಾನದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ \(\boldsymbol{K}\) ಅನ್ನು ವಿರಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹಿಡಿದಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಕ್ರಮ 2 ರಲ್ಲಿನ \(j(\not= i)\)ನೇ ಸಾಲಿನ ಸಂಸ್ಕರಣೆ \(i\)ನೇ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ, ಅಂದರೆ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಅಂಶ \(i\) ಗೆ ಅಂಶದ ಮೂಲಕ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿರುವ ನೋಡ್‌ಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಪರ್ಕವಿಲ್ಲದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಅಂಶಗಳಿಗೆ \(K_{ji} = 0\) ಆದ್ದರಿಂದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದರೂ ಬಲಭಾಗ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಮಿತಿಯಿಂದ ಒಟ್ಟು ನೋಡ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಂದಲೇ ನಿರ್ಬಂಧದ ಸಂಸ್ಕರಣೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯಗಳು¶

ಬಾಹ್ಯ ಬಲದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಜಾಗತಿಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಯೋಜನೆ — ತಿದ್ದುಪಡಿಯ ಮುಂಚಿನ \(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{R}\) ರಚನೆ
Newton-Raphson ವಿಧಾನ — ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪ್ರಮಾಣ \(d\boldsymbol{u}\) ಪಡೆಯುವ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ
ಅಭಿಸರಣ ನಿರ್ಣಯ — ನಿರ್ಬಂಧ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯ ನಂತರದ ಉಳಿಕೆ \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) ಗೆ ನಾರ್ಮ್ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ