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물리량 기호 목록¶
이 페이지는 FrontISTR 이론 매뉴얼에서 사용하는 물리량의 기호를 일람한다. 표기 규칙(벡터·텐서의 굵은 글씨 표기, Einstein 축약 규약, Voigt 표기)에 대해서는 텐서 표기법과 수학적 기초를 참조하기 바란다.
배치·좌표계¶
| 기호 | 설명 |
|---|---|
| \(\boldsymbol{X}\) | 물질점의 기준 배치(초기 배치)에서의 위치 벡터(물질좌표) |
| \(\boldsymbol{x}\) | 물질점의 현재 배치에서의 위치 벡터(공간좌표) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | 운동 사상: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | 기준 배치에서 물체가 차지하는 영역 |
| \(\Omega\) | 현재 배치에서 물체가 차지하는 영역 |
| \(\Gamma_0\) | \(\Omega_0\)의 경계 |
| \(\Gamma\) | \(\Omega\)의 경계 |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | 기하학적(변위) 경계: \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)가 규정되는 현재 배치·기준 배치의 경계 |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | 역학적 경계: \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (또는 \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))가 규정되는 현재 배치·기준 배치의 경계 |
| \(\boldsymbol{n}\) | 현재 배치에서 면의 바깥쪽 단위 법선 벡터 |
| \(\boldsymbol{N}\) | 기준 배치에서 면의 바깥쪽 단위 법선 벡터 |
| \(t\) | 시각 |
규약: 기준 배치의 물리량에는 대문자 또는 아래첨자 \(0\)을, 현재 배치의 물리량에는 소문자를 할당한다.
시각과 증분(증분 해석)¶
| 기호 | 설명 |
|---|---|
| \(\Delta t\) | 시각 증분: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | 시각 \(t\)에서의 물리량(앞쪽 위첨자). 예: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\)는 시각 \(t\)에서의 Cauchy 응력 |
| \(^{t}\Omega\) | 시각 \(t\)에서의 현재 배치 영역 |
| \(^{t}\Gamma\) | 시각 \(t\)에서의 현재 배치 경계 |
규약: 증분 해석에서는 시각 \(t\)까지의 상태를 기지값, 시각 \(t + \Delta t\)의 상태를 미지값으로 하여 구한다. 시각을 명시할 필요가 없는 경우에는 앞쪽 위첨자를 생략한다. 참조 배치로 기준 배치 \(\Omega_0\)을 선택하는 정식화를 Total Lagrange 법, 증분 시작 시의 현재 배치 \(^{t}\Omega\)를 선택하는 정식화를 Updated Lagrange 법이라고 한다.
변위·속도·가속도·체적력¶
| 기호 | 설명 |
|---|---|
| \(\boldsymbol{u}\) | 변위 벡터: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | 기하학적 경계 \(\Gamma_B\)에서 규정되는 변위 |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | 가상 변위(시험함수): \(\Gamma_B\)에서 \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | 속도 벡터: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | 가속도 벡터: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | 체적력(단위 질량당) |
| \(\boldsymbol{t}\) | 표면력 벡터(단위 면적당): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | 역학적 경계 \(\Gamma_t\)에서 규정되는 표면력(Neumann 데이터) |
미분 연산자¶
| 기호 | 설명 |
|---|---|
| \(\dot{(\cdot)}\) | 물질 시간 미분(동일한 물질점을 추적한 시간 미분): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | 기준 배치 구배(물질좌표 \(\boldsymbol{X}\)에 관한 구배): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | 현재 배치 구배(공간좌표 \(\boldsymbol{x}\)에 관한 구배): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | 대칭 구배 연산자: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
비고: \(\nabla_X\)와 \(\nabla_x\)는 \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\)로 관계지어진다. 아래첨자가 없는 \(\nabla\)는 문맥으로 배치를 판별하거나, 미소 변형 시와 같이 구별이 사라지는 경우에 사용한다.
변형 텐서¶
| 기호 | 설명 |
|---|---|
| \(\boldsymbol{F}\) | 변형 구배 텐서: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | 체적 변화비: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | 오른쪽 Cauchy-Green 변형 텐서: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | 왼쪽 Cauchy-Green 변형 텐서: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | 속도 구배 텐서: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | 변형 속도 텐서(\(\boldsymbol{L}\)의 대칭 부분): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | 스핀 텐서(\(\boldsymbol{L}\)의 반대칭 부분): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
변형률 텐서¶
| 기호 | 설명 |
|---|---|
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange 변형률 텐서(기준 배치): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi 변형률 텐서(현재 배치): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Almansi 변형률 텐서의 선형 부분(현재 배치의 대칭 변위 구배): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | 미소 변형률 텐서(선형 근사): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
비고: \(\boldsymbol{E}\)는 Total Lagrange 법, \(\boldsymbol{D}\)는 Updated Lagrange 법에서 각각 주로 사용된다.
응력 텐서¶
| 기호 | 설명 |
|---|---|
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy 응력 텐서(진응력, 현재 배치): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | 제1 Piola-Kirchhoff 응력 텐서(공칭 응력): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | 제2 Piola-Kirchhoff 응력 텐서(기준 배치, 대칭): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
각 응력 텐서 사이의 변환 관계:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
규약: Total Lagrange 법에서는 \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), Updated Lagrange 법에서는 \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\)의 쌍을 사용한다.
밀도·질량¶
| 기호 | 설명 |
|---|---|
| \(\rho\) | 현재 배치에서의 질량 밀도 |
| \(\rho_0\) | 기준 배치에서의 질량 밀도 |
질량 보존법칙: \(\rho_0 = J\rho\).
재료 상수(선형 탄성체)¶
| 기호 | 설명 |
|---|---|
| \(E\) | 영률 |
| \(\nu\) | 포아송비 |
| \(\lambda\) | Lamé 제1상수: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Lamé 제2상수(전단탄성계수, 횡탄성계수): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | 탄성 텐서(4계): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), 성분 \(C_{ijkl}\) |
| \(D\)(또는 \(\hat{\tilde{C}}\)) | 재료 행렬(Voigt 표기, 3차원에서는 \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
등방성 선형 탄성체의 탄성 텐서 성분:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
초탄성 재료¶
| 기호 | 설명 |
|---|---|
| \(W(\boldsymbol{C})\) | 탄성 포텐셜 함수(변형률 에너지 밀도 함수) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | 오른쪽 Cauchy-Green 텐서 \(\boldsymbol{C}\)의 주불변량 |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | \(\boldsymbol{C}\)의 축소 불변량(체적 변화분을 분리) |
| \(C_1, C_2\) | Mooney-Rivlin 모델의 재료 상수 |
| \(D\) | 체적 탄성에 관한 재료 상수 |
탄소성 재료¶
| 기호 | 설명 |
|---|---|
| \(\boldsymbol{D}^e\) | 변형 속도 텐서의 탄성 성분 |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | 변형 속도 텐서의 소성 성분 |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | 항복 함수 |
| \(\kappa\) | 소성 상태를 나타내는 내부 변수(등방 경화 변수) |
| \(\lambda^p\) | 소성 승수(소성 변형률 속도 승수): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | 소성 포텐셜(연관 유동법칙에서는 \(\Theta = F\)) |
| \(\bar{\sigma}\) | 등가응력(von Mises 응력 등) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | 등가소성변형률 |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | 등방 경화 함수 |
상보성 조건: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
유한요소법¶
| 기호 | 설명 |
|---|---|
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | 유한요소 분할로 근사된 현재 배치·기준 배치의 영역: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | 요소의 현재 배치·기준 배치에서의 영역 |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | 요소 경계 중 역학적 경계에 속하는 부분 |
| \(\boldsymbol{r}\) | 자연좌표(요소의 로컬 좌표) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | 절점 \(\alpha\)에 대응하는 자연좌표의 점 |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | 요소 \(e\)의 절점 \(\alpha\)에 대응하는 형상함수 |
| \(n_e\) | 요소의 구성 절점 수 |
| \(n_g\) | 전체 절점 수 |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | 요소 절점 \(\alpha\)의 좌표·변위 |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | 요소 절점 좌표·변위 벡터: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) 등 |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | 전체 절점 좌표·변위 벡터(절점 번호 → 자유도 순으로 배열) |
| \(\boldsymbol{B}\) | 변형률-변위 관계 행렬(B 행렬) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | 형상함수 행렬: \(\boldsymbol{N}_\alpha\)는 절점 \(\alpha\)의 형상함수 \(N_\alpha^e\)를 대각에 배열한 \(d \times d\) 블록, \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | 요소 강성 행렬 |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | 요소 강성 행렬의 피적분항(기준 배치·현재 배치로 표기한 것): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\)(TL법), \(\boldsymbol{q}^e\)(UL법) | 요소 내력 벡터 |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | 요소 절점 \(\alpha\)에 작용하는 절점 외력 및 요소 절점 외력 벡터: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | 전체 내력 벡터·전체 외력 벡터: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\), \(\boldsymbol{F}\)도 동일 |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | 전체 절점 \(i_g\)에서의 절점 내력·절점 외력(\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)의 절점 블록) |
| \(\boldsymbol{K}\) | 전체 접선 강성 행렬: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). \(3\times 3\) 블록 \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\)를 \(i_g\)행 \(i_h\)열에 배열한 행렬 |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Newton-Raphson 반복에서의 잔차 벡터: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Newton-Raphson 반복의 수정량(제 \(i\) 반복에서 선형방정식 \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\)을 풀어 얻음) |
| \(i_g\) | 전체 절점 번호(\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | 요소 \(e\)의 요소 내 절점 번호 \(\alpha\)에 대응하는 전체 절점 번호: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | 전체 절점 번호 \(i_g\)에 대응하는 \((e, \alpha)\) 쌍의 집합: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). 조립 연산에 사용 |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | 전체 절점 번호 쌍 \((i_g, i_h)\)에 대응하는 \((e, \alpha, \beta)\) 조합의 집합: 강성 행렬 조립에 사용 |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | 요소 구성 절점에 관한 첨자 |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | 자유도에 관한 첨자(3차원에서는 \(1, 2, 3\)) |
고성능 요소·구조 요소¶
| 기호 | 설명 |
|---|---|
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | B-bar 법에서 체적부가 수정된 변형률-변위 관계 행렬(요소 중심에서 평가한 B 행렬로 체적 성분을 치환) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | F-bar 법에서 체적부가 수정된 변형 구배: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | 요소 중심 \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\)에서 평가한 변형 구배의 체적비: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | 비적합 모드 요소에서의 내부 자유도 벡터(요소 경계에서 연속성을 보장하지 않는 추가 변위 모드의 계수) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | 비적합 모드의 형상함수: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | 셸 요소의 판 두께 |
| \(A\) | 보 요소 단면의 단면적 |
| \(I\) | 보 요소 단면의 단면 2차 모멘트(로컬 \(y\), \(z\)축에 대해서는 \(I_y\), \(I_z\)로 표기) |
| \(G\) | 전단탄성계수: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
| \(L\) | 보 요소의 요소 길이 |
| \(A_s\) | 보 요소 단면의 전단 면적(FrontISTR에서는 \(A_s = A\)) |
| \(\Phi_y, \Phi_z\) | 티모셴코 보의 전단 변형 기여를 나타내는 계수: \(\Phi_y = 12EI_z/(GA_sL^2)\), \(\Phi_z = 12EI_y/(GA_sL^2)\) |
관련 항목¶
- 텐서 표기법과 수학적 기초 — 굵은 글씨 표기·Einstein 축약 규약·Voigt 표기의 규칙
- 운동·변형·변형률 — 배치·변형 구배·변형률의 정의
- 운동·변형·변형률 — 지배방정식의 유도
- 선형 탄성 — 재료 행렬 \(D\)의 구체적인 성분