Skip to content

ການວິເຄາະສະຖິດອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່ (ບົດນຳ)

ພາກນີ້ສະແດງການສ້າງສູດສຳລັບການວິເຄາະສະຖິດອີລາສຕິກທີ່ອີງໃສ່ທິດສະດີການປ່ຽນຮູບນ້ອຍ. ສົມມຸດຄວາມສຳພັນຄວາມເຄັ້ນ-ຄວາມເຄັ່ງເປັນອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່. ບົດນີ້ເປັນບົດນຳເພື່ອເຂົ້າໃຈພາບລວມຂອງການວິເຄາະໂຄງສ້າງດ້ວຍວິທີໄຟນາຍເອເລເມັນ ແລະຈັດໃຫ້ສາມາດອ່ານຈົບໄດ້ໃນບົດດຽວ.

ສຳລັບທິດສະດີທົ່ວໄປຂອງຫຼັກການງານສະເໝືອນ (ການສະແດງໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນ, ການຈັດວາງເລີ່ມຕົ້ນ, ແລະການຫຼຸດສູ່ການປ່ຽນຮູບນ້ອຍ) ໃຫ້ເບິ່ງ ຫຼັກການງານສະເໝືອນ; ລາຍລະອຽດຂອງກົດຄວາມສຳພັນອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່ ໃຫ້ເບິ່ງ ອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່; ກົດຂອງສັນຍາລັກເທນເຊີແລະ Voigt ໃຫ້ເບິ່ງ ສັນຍາລັກເທນເຊີແລະພື້ນຖານຄະນິດສາດ; ການສ້າງສູດທົ່ວໄປຂອງການປ່ຽນຮູບຈຳກັດ ໃຫ້ເບິ່ງ ການເຄື່ອນທີ່, ການປ່ຽນຮູບ ແລະຄວາມເຄັ່ງ; ແລະວິທີແກ້ບັນຫາບໍ່ເປັນເສັ້ນ ໃຫ້ເບິ່ງ ເມທຣິກຄວາມແຂງແບບສຳຜັດ.

ສົມຜົນພື້ນຖານ

ພາຍໃຕ້ສົມມຸດຖານການປ່ຽນຮູບນ້ອຍແລະອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່ ບັນຫາຄ່າຂອບເຂດຂອງກົນສາດຂອງແຂງປະກອບດ້ວຍສົມຜົນສົມດຸນ, ເງື່ອນໄຂຂອບເຂດທາງກົນສາດ ແລະເງື່ອນໄຂຂອບເຂດທາງເລຂາຄະນິດ (ເງື່ອນໄຂຂອບເຂດພື້ນຖານ) (ເບິ່ງຮູບ 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

ໃນນີ້ \(\boldsymbol{\sigma}\) ແມ່ນຄວາມເຄັ້ນ Cauchy, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) ແມ່ນແຮງວັດຖຸຕໍ່ໜ່ວຍປະລິມາດ, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) ແມ່ນແຮງຜິວ (ຄ່າກຳນົດ), \(\overline{\boldsymbol{u}}\) ແມ່ນການກະຈັດທີ່ກຳນົດ, ແລະ \(S_t, S_u\) ແມ່ນຂອບເຂດທາງກົນສາດແລະທາງເລຂາຄະນິດ.

ບັນຫາຄ່າຂອບເຂດໃນກົນສາດຂອງແຂງ (ບັນຫາການປ່ຽນຮູບນ້ອຍ)

ຮູບ 2.1.1 ບັນຫາຄ່າຂອບເຂດໃນກົນສາດຂອງແຂງ (ບັນຫາການປ່ຽນຮູບນ້ອຍ)

ຄວາມສຳພັນຄວາມເຄັ່ງ-ການກະຈັດ ໃຊ້ ຕົວດຳເນີນການເກຣດຽນສົມມາດ ເປັນ

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

ສົມຜົນຄວາມສຳພັນອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່ແມ່ນ

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

ໂດຍທີ່ \(\boldsymbol{C}\) ແມ່ນເທນເຊີອີລາສຕິກລຳດັບ 4.

ຫຼັກການງານສະເໝືອນ

ຮູບທົ່ວໄປຂອງຫຼັກການງານສະເໝືອນ (ການສະແດງໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນ, ການຈັດວາງເລີ່ມຕົ້ນ, ແລະການຫຼຸດສູ່ການປ່ຽນຮູບນ້ອຍ) ຖືກລວບລວມໃນ ຫຼັກການງານສະເໝືອນ. ພາຍໃຕ້ສົມມຸດຖານການປ່ຽນຮູບນ້ອຍແລະອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່ ຮູບອ່ອນແມ່ນ

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

ເມື່ອແທນສົມຜົນຄວາມສຳພັນ \eqref{eq:2.1.5} ແລະຂຽນເປັນ \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ໃນ ສັນຍາລັກ Voigt ຈະໄດ້ຮູບທີ່ໃຊ້ໂດຍກົງສຳລັບການແຍກດິສຄຣີດ

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

ໂດຍທີ່ \(D\) ແມ່ນເມທຣິກອີລາສຕິກໃນ ອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່. ສົມຜົນ \eqref{eq:2.1.10} ແລະ \eqref{eq:2.1.7} ແມ່ນຫຼັກການງານສະເໝືອນທີ່ຈະແຍກດິສຄຣີດດ້ານລຸ່ມ.

ການແຍກດິສຄຣີດແລະການປະກອບສົມຜົນລວມ

ເມື່ອແຍກດິສຄຣີດຫຼັກການງານສະເໝືອນໃນສົມຜົນ \( \eqref{eq:2.1.10} \) ສຳລັບແຕ່ລະໄຟນາຍເອເລເມັນ ຈະໄດ້ສົມຜົນຕໍ່ໄປນີ້.

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

ສຳລັບແຕ່ລະອົງປະກອບ ສະໜາມການກະຈັດຖືກ ແຊກຄ່າ ໂດຍໃຊ້ການກະຈັດຂອງໂຫນດທີ່ປະກອບເປັນອົງປະກອບ ດັ່ງນີ້.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

ໃນເວລານີ້ ຄວາມເຄັ່ງຖືກກຳນົດໂດຍໃຊ້ສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.1.4}\) ດັ່ງນີ້.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

ເມື່ອແທນສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.1.12}\) ແລະ \(\eqref{eq:2.1.13}\) ເຂົ້າໃນສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.1.11}\) ຈະໄດ້ສົມຜົນຕໍ່ໄປນີ້.

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

ສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.1.14}\) ສາມາດຈັດຮູບໄດ້ດັ່ງສົມຜົນຕໍ່ໄປນີ້.

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

ໃນນີ້, ອົງປະກອບຂອງເມທຣິກແລະເວັກເຕີທີ່ກຳນົດໂດຍສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.1.16}\) ແລະ \(\eqref{eq:2.1.17}\) ສາມາດຄຳນວນສຳລັບແຕ່ລະໄຟນາຍເອເລເມັນ ແລະປະກອບໂດຍການຊ້ອນທັບ.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

ເນື່ອງຈາກສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.1.15}\) ເປັນຈິງສຳລັບການກະຈັດສະເໝືອນໃດໆ \(\delta \boldsymbol{U}\) ຈຶ່ງໄດ້ສົມຜົນຕໍ່ໄປນີ້.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

ໃນອີກດ້ານໜຶ່ງ ສົມຜົນເງື່ອນໄຂຂອບເຂດການກະຈັດ \(\eqref{eq:2.1.3}\) ສະແດງໄດ້ດັ່ງນີ້.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

ໂດຍແກ້ສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.1.18}\) ພາຍໃຕ້ເງື່ອນໄຂຂໍ້ຈຳກັດ \(\eqref{eq:2.1.19}\) ສາມາດກຳນົດການກະຈັດຂອງໂຫນດ \(\boldsymbol{U}\) ໄດ້.

ຫົວຂໍ້ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ