Skip to content

ອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່

ບົດນີ້ອະທິບາຍກົດຄວາມສຳພັນຂອງວັດສະດຸອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່ (ກົດ Hooke). ສຳລັບລາຍລະອຽດການເລືອກໃຊ້ແລະການກຳນົດຂໍ້ມູນເຂົ້າ ໃຫ້ເບິ່ງ 03_material ໃນພາກຟັງຊັນ.

ປາກົດການ (ການຕອບສະໜອງອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່)

ວັດສະດຸອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່ ແມ່ນວັດສະດຸທີ່ ໃນຊ່ວງທີ່ຄວາມເຄັ່ງຈາກໂຫຼດມີຄ່ານ້ອຍພຽງພໍ ຄວາມເຄັ້ນແລະຄວາມເຄັ່ງມີຄວາມສຳພັນແບບເສັ້ນຊື່ ແລະສະແດງການຕອບສະໜອງທີ່ກັບຄືນໄດ້ແລະບໍ່ຂຶ້ນກັບປະຫວັດ ເຊິ່ງຄວາມເຄັ່ງທັງໝົດກັບຄືນສູ່ສະພາບເດີມເມື່ອຖອນໂຫຼດ. ຕ່າງຈາກພລາສຕິກ ຫຼືການຄືບ, ມັນບໍ່ມີຕົວແປພາຍໃນທີ່ສະແດງສະຖານະ (ເຊັ່ນ ຄວາມເຄັ່ງພລາສຕິກ ຫຼືຄວາມເຄັ່ງແບບໜືດ), ແລະຄວາມເຄັ້ນຖືກກຳນົດຢ່າງເປັນເອກະລັກໂດຍຄວາມເຄັ່ງໃນປັດຈຸບັນເທົ່ານັ້ນ.

ໃນຊ່ວງການປ່ຽນຮູບນ້ອຍ ໃຊ້ຄວາມເຄັ້ນ Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) ແລະຄວາມເຄັ່ງນ້ອຍ \(\boldsymbol{\varepsilon}\); ສ່ວນໃນຊ່ວງການປ່ຽນຮູບຈຳກັດ (ບັນຫາທີ່ມີການໝຸນໃຫຍ່ແຕ່ຄວາມເຄັ່ງເອງຍັງນ້ອຍ) ໃຊ້ຄວາມເຄັ້ນ Piola-Kirchhoff ອັນດັບ 2 \(\boldsymbol{S}\) ແລະຄວາມເຄັ່ງ Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) (ວັດສະດຸ St.Venant-Kirchhoff).

ກົດຄວາມສຳພັນ

ວັດສະດຸອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່ໄອໂຊໂທຣປິກ

ກົດ Hooke ແບບໄອໂຊໂທຣປິກໃນຊ່ວງການປ່ຽນຮູບນ້ອຍ ສະແດງໂດຍໃຊ້ຄ່າຄົງທີ່ Lamé \(\lambda, \mu\) ເປັນ

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

ແລະໃນຮູບອົງປະກອບ

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

ຈະໄດ້, ແລະການຫົດຄູ່ກັບຄວາມເຄັ່ງໃຫ້ \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). ຄ່າຄົງທີ່ Lamé ມີຄວາມສຳພັນກັບມໍດູລັສ Young \(E\) ແລະອັດຕາສ່ວນ Poisson \(\nu\) ດັ່ງນີ້:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

ໃນສັນຍາລັກ Voigt ຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງເວັກເຕີຄວາມເຄັ່ງ \(\hat{\varepsilon}\) ແລະເວັກເຕີຄວາມເຄັ້ນ \(\hat{\sigma}\) ຂຽນເປັນ \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), ແລະເມທຣິກວັດສະດຸ 3 ມິຕິ \(D\) ແມ່ນ

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

ກຳນົດໂດຍຮູບນີ້ (ໃນການປະຕິບັດໃຊ້ຮູບເມທຣິກນີ້).

ວັດສະດຸອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່ແບບ ອອທໂທຣປິກ

ສຳລັບວັດສະດຸທີ່ຄ່າຄົງທີ່ອີລາສຕິກແຕກຕ່າງຕາມທິດແກນຫຼັກ ໃຊ້ແບບຈຳລອງ ອອທໂທຣປິກ ທີ່ມີຄ່າຄົງທີ່ອິດສະລະ 9 ຄ່າ: ມໍດູລັສ Young ຕາມທິດແກນຫຼັກ \(E_1, E_2, E_3\), ອັດຕາສ່ວນ Poisson ລະຫວ່າງແກນຫຼັກ \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\), ແລະມໍດູລັສເຊຍ \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). ສຳລັບຮູບແບບສະເພາະຂອງເມທຣິກ \(D\) ໃຫ້ເບິ່ງເອກະສານອ້າງອີງທົ່ວໄປ.

ຊ່ວງການປ່ຽນຮູບຈຳກັດ: ວັດສະດຸ St.Venant-Kirchhoff

ສຳລັບບັນຫາທີ່ມີການໝຸນໃຫຍ່ແຕ່ຄວາມເຄັ່ງເອງຍັງນ້ອຍ ໃຊ້ວັດສະດຸ St.Venant-Kirchhoff ເປັນກົດອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່ລະຫວ່າງຄວາມເຄັ້ນ Piola-Kirchhoff ອັນດັບ 2 \(\boldsymbol{S}\) ແລະຄວາມເຄັ່ງ Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

ນິຍາມຂອງຄ່າຄົງທີ່ Lamé \(\lambda, \mu\) ແມ່ນຄືກັນກັບກໍລະນີການປ່ຽນຮູບນ້ອຍ. ແຕ່ຄວນສັງເກດວ່າ ເນື່ອງຈາກຄູ່ນິຍາມຄວາມເຄັ້ນ-ຄວາມເຄັ່ງແຕກຕ່າງກັນ ນີ້ຈຶ່ງເປັນກົດຄວາມສຳພັນທີ່ຕ່າງຈາກກົດ Hooke ສຳລັບການປ່ຽນຮູບນ້ອຍ.

ວັດສະດຸ ໄຮໂປອີລາສຕິກ

ໃນວິທີ Updated Lagrange ໃຊ້ກົດອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່ລະຫວ່າງອັດຕາ Jaumann ຂອງເທນເຊີຄວາມເຄັ້ນ Kirchhoff ສຳພັນ \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) ແລະເທນເຊີອັດຕາການປ່ຽນຮູບ \(\boldsymbol{D}\)

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

ເພື່ອໃຊ້ເປັນວັດສະດຸ ໄຮໂປອີລາສຕິກ. ໃນທີ່ນີ້ ນິຍາມຂອງ \(\boldsymbol{C}\) ດ້ວຍຄ່າຄົງທີ່ Lamé ກໍຄືກັນກັບຂ້າງເທິງ, ແຕ່ເນື່ອງຈາກຄູ່ຄວາມເຄັ້ນ-ຄວາມເຄັ່ງແຕກຕ່າງກັນ ຈຶ່ງເປັນກົດຄວາມສຳພັນອີກອັນໜຶ່ງ. ສຳລັບລາຍລະອຽດການອັບເດດຄວາມເຄັ້ນ \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) ໂດຍຂັ້ນຕອນອິນທິເກຣດເວລາ (ການອິນທິເກຣດ Euler ແບບໄປຂ້າງໜ້າ ແລະ ການປະມານຜົນຕ່າງກາງ) ໃຫ້ເບິ່ງ tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

ການຫຼຸດຮູບສຳລັບການວິເຄາະ 2 ມິຕິ ແລະອົງປະກອບ ເຊວ

ຄວາມເຄັ້ນລະນາບ (\(\sigma_{33} = 0\))

ສຳລັບຄວາມເຄັ້ນລະນາບທີ່ແທນໂຫຼດໃນແຜ່ນບາງ ຫຼື ເຊວ, ສົມມຸດວ່າ \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) ແລະໃຊ້ \(D\) ທີ່ຕັດອົງປະກອບຄວາມເຄັ່ງນອກລະນາບ \(\varepsilon_{33}\) ອອກທາງພຶດຊະຄະນິດ:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

ຄວາມເຄັ່ງລະນາບ (\(\varepsilon_{33} = 0\))

ສຳລັບຄວາມເຄັ່ງລະນາບທີ່ແທນໜ້າຕັດຂອງໂຄງສ້າງຍາວທີ່ຖືກຈຳກັດໃນທິດຄວາມໜາ, ສົມມຸດວ່າ \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

ແກນສົມມາດ

ໃນການວິເຄາະແກນສົມມາດທີ່ຈັດການບັນຫາທີ່ສະເໝີໃນທິດ \(\theta\) ໃນພິກັດກະບອກ \((r, \theta, z)\) ຈະຮັກສາ 4 ອົງປະກອບ \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) ແລະ \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), ແລະ

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

ຈະໄດ້ຮູບນີ້.

ອົງປະກອບ ເຊວ (ຄວາມເຄັ້ນລະນາບ + ເຊຍຂວາງ)

ສຳລັບອົງປະກອບ ເຊວ ຄວາມເຄັ້ນໃນລະນາບຖືກຈັດການເປັນຄວາມເຄັ້ນລະນາບ, ແລະສຳລັບອົງປະກອບຄວາມເຄັ່ງເຊຍຂວາງ \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) ໃຊ້ \(\kappa\, G\) ທີ່ໃສ່ສຳປະສິດແກ້ໄຂເຊຍ \(\kappa\) (ໂດຍທົ່ວໄປ \(\kappa = 5/6\)). ສຳລັບການສ້າງສູດລາຍລະອຽດຂອງແຕ່ລະອົງປະກອບ ໃຫ້ເບິ່ງ ການສ້າງສູດອົງປະກອບຂັ້ນສູງ. ຂໍ້ກຳນົດໃນ 03_material ຂອງພາກຟັງຊັນທີ່ວ່າ “ອົງປະກອບ ເຊວ ຮອງຮັບສະເພາະອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່” ອີງໃສ່ການຫຼຸດຮູບນີ້ທີ່ຈັດການສະພາບໃນລະນາບເປັນຄວາມເຄັ້ນລະນາບ.

ຄວາມຂຶ້ນກັບອຸນຫະພູມ

ມໍດູລັສ Young \(E\), ອັດຕາສ່ວນ Poisson \(\nu\), ແລະສຳປະສິດການຂະຫຍາຍເສັ້ນ \(\alpha\) ໂດຍທົ່ວໄປຈະກຳນົດເປັນຟັງຊັນຂອງອຸນຫະພູມ \(T\). ໃນ FrontISTR ຈະປ້ອນຄ່າສຳລັບລຳດັບຈຸດອຸນຫະພູມຈຳນວນຈຳກັດ \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), ແລະສຳລັບອຸນຫະພູມ \(T\) ໃນລະຫວ່າງການຄຳນວນ ຈະປະເມີນດ້ວຍການ ປະມານຄ່າແຊກ ເສັ້ນຊື່ລະຫວ່າງຈຸດຂ້າງຄຽງ. ສຳລັບອຸນຫະພູມນອກຊ່ວງ (\(T < T_1\) ຫຼື \(T > T_n\)) ຈະໃຊ້ຄ່າຂອງປາຍທີ່ໃກ້ທີ່ສຸດ \(T_1\) ຫຼື \(T_n\) ໃນການຄາດຄະເນນອກຊ່ວງ (ການຄາດຄະເນນອກຊ່ວງ ແບບຄົງທີ່).

ສຳລັບຄວາມຂຶ້ນກັບອຸນຫະພູມຂອງສົມບັດຄວາມຮ້ອນແລະການນຳຄວາມຮ້ອນ (ຄວາມໜາແໜ້ນ, ຄວາມຮ້ອນຈຳເພາະ, ແລະຄ່າການນຳຄວາມຮ້ອນ) ໃຫ້ເບິ່ງ ສົມບັດຄວາມຮ້ອນ. ກົດການ ປະມານຄ່າແຊກ ແມ່ນໃຊ້ຮ່ວມກັນກັບສົມບັດເຫຼົ່ານີ້.

ຫົວຂໍ້ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ