Skip to content

ຟັງຊັນຮູບຮ່າງ ແລະ ການປະມານໄຟໄນຕ໌ເອເລເມັນ

ເພື່ອໃຫ້ຄອມພິວເຕີຈັດການຮູບແບບອ່ອນຂອງ ຫຼັກການວຽກສະເໝືອນ, ໂດເມນຂອງວັດຖຸຖືກແບ່ງເປັນເອເລເມັນຈຳນວນຈຳກັດ ແລະ ພິກັດຈຸດວັດສະດຸ, ການເຄື່ອນຍ້າຍ ແລະ ຟັງຊັນທົດສອບພາຍໃນແຕ່ລະເອເລເມັນຖືກສອດແຊກຈາກຄ່າໂຫນດ ແລະ ຟັງຊັນຮູບຮ່າງ. ອະນຸພັນຕາມປະລິພູມຂອງຟັງຊັນຮູບຮ່າງອະທິບາຍໃນ ອະນຸພັນຕາມປະລິພູມຂອງຟັງຊັນຮູບຮ່າງ, ການແບ່ງຮູບແບບອ່ອນເປັນດິສຄຣີດໃນ ການແບ່ງດິສຄຣີດຂອງວຽກສະເໝືອນຂອງແຮງພາຍໃນ, ແລະ ຮູບແບບສະເພາະຂອງຟັງຊັນຮູບຮ່າງຕາມປະເພດເອເລເມັນຢູ່ໃນ ລະບົບໝາຍເລກເອເລເມັນ ແລະ ຫ້ອງສະໝຸດຟັງຊັນຮູບຮ່າງ ແລະ ຫົວຂໍ້ຕໍ່ໆໄປ.

ການແບ່ງໂດເມນ ແລະ ຜົນລວມອິນທິເກຣດຕາມເອເລເມັນ

ໂດເມນ \(\Omega_0\) ໃນການຈັດວາງອ້າງອີງ ແລະ ໂດເມນ \(\Omega\) ໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນ ຖືກປະມານດ້ວຍການຮວມຂອງເອເລເມັນ \(\Omega^e_0\) ແລະ \(\Omega^e\) ຕາມລຳດັບ:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) ແມ່ນໝາຍເລກເອເລເມັນ ແລະ ຂອບເຂດເອເລເມັນຖືກໃຊ້ຮ່ວມກັນລະຫວ່າງເອເລເມັນທີ່ຢູ່ຕິດກັນ). ດັ່ງນັ້ນ ອິນທິເກຣດປະລິມາດ ແລະ ພື້ນທີ່ຂອງ ຫຼັກການວຽກສະເໝືອນ ຈຶ່ງຖືກແຍກເປັນຜົນລວມຂອງອິນທິເກຣດຕາມແຕ່ລະເອເລເມັນ:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(ສຳລັບການຈັດວາງປັດຈຸບັນກໍເຊັ່ນດຽວກັນ ໂດຍແທນ \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\)). ຈາກນີ້ໄປ ການປະເມີນຮູບແບບອ່ອນຈຶ່ງຫຼຸດລົງເຫຼືອການສ້າງອິນທິເກຣດເປັນລາຍເອເລເມັນ.

ການສອດແຊກດ້ວຍຄ່າໂຫນດ ແລະ ຟັງຊັນຮູບຮ່າງ (ເອເລເມັນ isoparametric)

ແຕ່ລະເອເລເມັນ \(\Omega^e_0\) ຖືກກຳນົດໃຫ້ມີ \(n_e\) ໂຫນດ. ໃຫ້ພິກັດໃນການຈັດວາງອ້າງອີງ ແລະ ການເຄື່ອນຍ້າຍຂອງໂຫນດເອເລເມັນ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) ເປັນ \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). ເວັກເຕີໂຫນດເອເລເມັນ \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) ແລະ \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) ເກີດຈາກການຈັດຄ່າເຫຼົ່ານີ້ຕາມລຳດັບ; ພວກມັນດຶງສະເພາະອົງປະກອບຂອງໂຫນດທີ່ສ້າງເອເລເມັນ \(e\) ອອກຈາກເວັກເຕີໂຫນດລວມ \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) ແມ່ນຈຳນວນໂຫນດທັງໝົດ).

ໂດຍໃຊ້ ພິກັດທຳມະຊາດ \(\boldsymbol{r}\) ຊຶ່ງເປັນພິກັດທ້ອງຖິ່ນພາຍໃນເອເລເມັນເປັນພາຣາມິເຕີ, ຟັງຊັນຮູບຮ່າງ \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) ໃຊ້ຟັງຊັນດຽວກັນສອດແຊກພິກັດວັດສະດຸ, ການເຄື່ອນຍ້າຍ ແລະ ຟັງຊັນທົດສອບພາຍໃນເອເລເມັນ (ເອເລເມັນ isoparametric ແລະ ວິທີ Galerkin):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

ຟັງຊັນຮູບຮ່າງຖືກສ້າງໃຫ້ຕອບສະໜອງ 2 ຄຸນສົມບັດຕໍ່ໄປນີ້ ແລະ ເລືອກຮູບຊົງເອເລເມັນໃຫ້ແຜນທີ່ \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) ຈາກພິກັດທຳມະຊາດໄປຫາພິກັດວັດສະດຸເປັນໜຶ່ງຕໍ່ໜຶ່ງພາຍໃນເອເລເມັນ:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) ແມ່ນຈຸດໃນພິກັດທຳມະຊາດທີ່ກົງກັບໂຫນດ \(\alpha\), ແລະ \(\delta_{\alpha\beta}\) ແມ່ນ Kronecker delta). ສົມຜົນທຳອິດຮັບປະກັນການສືບສ້າງການເລື່ອນຂອງວັດຖຸແຂງ ແລະ ສົມຜົນທີສອງຮັບປະກັນວ່າຄ່າສອດແຊກກົງກັບຄ່າໂຫນດທີ່ໂຫນດ. ຮູບແບບສະເພາະຂອງ \(n_e\) ແລະ \(N_\alpha^e\) ຕາມປະເພດເອເລເມັນມີຢູ່ໃນ ລະບົບໝາຍເລກເອເລເມັນ ແລະ ຫ້ອງສະໝຸດຟັງຊັນຮູບຮ່າງ ແລະ ຫົວຂໍ້ຕໍ່ໆໄປ. ເພື່ອຫຼີກລ້ຽງສັນຍາລັກທີ່ຊັບຊ້ອນ, ການຂຶ້ນກັບປະເພດເອເລເມັນສະແດງແທນດ້ວຍຕົວຍົກ \(e\) ຂອງແຕ່ລະເອເລເມັນ.

ດ້ວຍກົດການສອດແຊກຂ້າງເທິງ, ຟັງຊັນພາຍໃນອິນທິເກຣດຂອງຮູບແບບອ່ອນສາມາດສະແດງໂດຍໃຊ້ສະເພາະຄ່າໂຫນດເອເລເມັນ \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) ແລະ \(N_\alpha^e\). ສ່ວນຄວາມເຄັ່ງແມ່ນປະລິມານທີ່ໄດ້ຈາກການເຄື່ອນຍ້າຍທີ່ສອດແຊກ ແລະ ຄວາມສຳພັນຄວາມເຄັ່ງ-ການເຄື່ອນຍ້າຍ, ແລະ ຄວາມເຄັ້ນໄດ້ຈາກຄວາມເຄັ່ງນັ້ນກັບ ກົດອົງປະກອບວັດສະດຸ; ພວກມັນບໍ່ໄດ້ຖືກສອດແຊກໂດຍກົງຈາກຄ່າໂຫນດ. ປະລິມານເຫຼົ່ານີ້ຖືກປະເມີນທີ່ຈຸດອິນທິເກຣດພາຍໃນເອເລເມັນ (ການອິນທິເກຣດເຊິ່ງຕົວເລກ).

ກົດການຈັດລຳດັບເວັກເຕີໂຫນດລວມ

ປະລິມານທາງຟີຊິກທີ່ກຳນົດໃຫ້ໂຫນດຖືກຈັດໃນເວັກເຕີໂຫນດລວມຕາມລຳດັບຂຶ້ນຂອງ ໝາຍເລກໂຫນດ → ອົງສາອິດສະລະ. ຖ້າອົງປະກອບອົງສາອິດສະລະ \(i\) ທີ່ໂຫນດ \(\alpha\) ຂຽນເປັນ \(u_{i\alpha}\), ສຳລັບ 3 ມິຕິ (\(i=1,2,3\)) ແລະ 2 ມິຕິ (\(i=1,2\)) ຕາມລຳດັບ:

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

ພິກັດ \(\boldsymbol{X}^n\) ແລະ ຟັງຊັນທົດສອບ \(\delta\boldsymbol{u}^n\) ກໍໃຊ້ການຈັດລຳດັບດຽວກັນ. ຈາກນີ້ໄປ ການດັດແປງສົມຜົນໃນຮູບແບບເມທຣິກ/ເວັກເຕີຈະຂຽນໂດຍໃຊ້ກໍລະນີ 3 ມິຕິເປັນຕົວແທນ.

ຫົວຂໍ້ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ