Skip to content

ອະນຸພັນຕາມປະລິພູມຂອງຟັງຊັນຮູບຮ່າງ

ຟັງຊັນຮູບຮ່າງ ແລະ ການປະມານໄຟໄນຕ໌ເອເລເມັນ ໄດ້ນຳສະເໜີຟັງຊັນຮູບຮ່າງ \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) ເປັນຟັງຊັນຂອງພິກັດທຳມະຊາດ \(\boldsymbol{r}\) ຊຶ່ງເປັນພິກັດທ້ອງຖິ່ນຂອງເອເລເມັນ. ແຕ່ໃນຟັງຊັນພາຍໃນອິນທິເກຣດຂອງຮູບແບບອ່ອນ, ຜ່ານຄວາມສຳພັນຄວາມເຄັ່ງ-ການເຄື່ອນຍ້າຍ ຈະປາກົດອະນຸພັນຍ່ອຍຕໍ່ພິກັດກາຍະພາບ (ການຈັດວາງອ້າງອີງ \(\boldsymbol{X}\) ຫຼື ການຈັດວາງປັດຈຸບັນ \(\boldsymbol{x}\)), ຄື \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) ຫຼື \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). ບົດນີ້ຈັດລະບຽບຂັ້ນຕອນຄຳນວນ ອະນຸພັນຕາມປະລິພູມຂອງຟັງຊັນຮູບຮ່າງ ເຫຼົ່ານີ້ຈາກພິກັດໂຫນດເອເລເມັນ ແລະ ອະນຸພັນຕາມພິກັດທຳມະຊາດ.

ການສະແດງອະນຸພັນຕາມປະລິພູມດ້ວຍກົດລູກໂສ້

ເມື່ອນຳກົດລູກໂສ້ມາໃຊ້ກັບສູດສອດແຊກ \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (ບົດກ່ອນ) ແລະ ໃຊ້ ເມທຣິກ Jacobian \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) ຂອງແຜນທີ່ຈາກພິກັດທຳມະຊາດໄປຫາພິກັດກາຍະພາບ, ຈະໄດ້

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

ໃນນີ້ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ແລະ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ແມ່ນເມທຣິກ \(n_e \times 3\) ທີ່ແຖວ \(\alpha\) ສະແດງເວັກເຕີອະນຸພັນຍ່ອຍຂອງໂຫນດ \(\alpha\).

ການສ້າງເມທຣິກ Jacobian

ເມື່ອຫາອະນຸພັນຍ່ອຍຂອງສູດສອດແຊກຕໍ່ \(\boldsymbol{r}\) ຈະໄດ້

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

ດັ່ງນັ້ນ ເມທຣິກ Jacobian ສາມາດສ້າງໂດຍກົງຈາກພິກັດໂຫນດເອເລເມັນ \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ແລະ ອະນຸພັນຕາມພິກັດທຳມະຊາດ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). ອະນຸພັນຕາມພິກັດທຳມະຊາດຖືກກຳນົດຈາກຮູບຟັງຊັນຂອງຟັງຊັນຮູບຮ່າງ ແລະ ຖືກອິມພລີເມັນໄວ້ລ່ວງໜ້າຕາມແຕ່ລະປະເພດເອເລເມັນ.

ດີເທີມິແນນ \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) ຂອງເມທຣິກ Jacobian ຖືກໃຊ້ໃນ ການອິນທິເກຣດເຊິ່ງຕົວເລກ ເພື່ອແປງອົງປະກອບປະລິມາດເປັນ \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). ຖ້າດີເທີມິແນນເປັນ \(0\), ເອເລເມັນເສື່ອມຮູບ ແລະ ການຄຳນວນຈະລົ້ມເຫຼວ.

ລຳດັບການຄຳນວນ

ຈາກການຫາສູດຂ້າງເທິງ, ການຄຳນວນອະນຸພັນຕາມປະລິພູມ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ສາມາດແບ່ງເປັນ 4 ຂັ້ນຕອນຕໍ່ໄປນີ້.

  1. ຄຳນວນອະນຸພັນຕາມພິກັດທຳມະຊາດ: ໃຊ້ປະເພດເອເລເມັນ ແລະ ພິກັດທຳມະຊາດ \(\boldsymbol{r}\) ຂອງຈຸດປະເມີນເປັນຂໍ້ມູນປ້ອນ ເພື່ອຄຳນວນເມທຣິກອະນຸພັນຕາມພິກັດທຳມະຊາດ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). ເນື່ອງຈາກຮູບຟັງຊັນຂອງຟັງຊັນຮູບຮ່າງແຕກຕ່າງກັນຕາມປະເພດເອເລເມັນ, ຂັ້ນຕອນຈຶ່ງແຍກຕາມປະເພດເອເລເມັນ.
  2. ຄຳນວນເມທຣິກ Jacobian: ປະກອບເມທຣິກ Jacobian \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) ຈາກພິກັດໂຫນດເອເລເມັນ \(\boldsymbol{X}^e\) ແລະ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ຕາມສົມຜົນໃນຫົວຂໍ້ກ່ອນ.
  3. ຄຳນວນເມທຣິກຜົກຜັນ ແລະ ດີເທີມິແນນ: ຄຳນວນເມທຣິກຜົກຜັນ \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) ແລະ ດີເທີມິແນນຂອງເມທຣິກ Jacobian. ດີເທີມິແນນຖືກໃຊ້ເປັນນ້ຳໜັກໃນການອິນທິເກຣດເຊິ່ງຕົວເລກ.
  4. ຄຳນວນອະນຸພັນຕາມປະລິພູມ: ໄດ້ອະນຸພັນຕາມປະລິພູມ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ເປັນຜົນຄູນຂອງ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ແລະ \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\).

4 ຂັ້ນຕອນນີ້ຈະແຍກຕາມປະເພດເອເລເມັນ ແລະ ມິຕິປະລິພູມ (2 ຫຼື 3 ມິຕິ), ແຕ່ລຳດັບໂດຍລວມເໝືອນກັນ.

ການໃຊ້ຂັ້ນຕອນຮ່ວມກັນສຳລັບການຈັດວາງອ້າງອີງ ແລະ ປັດຈຸບັນ

ຂັ້ນຕອນຂ້າງເທິງສາມາດໃຊ້ກັບອະນຸພັນຕາມປະລິພູມ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) ໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນໄດ້ ໂດຍພຽງແຕ່ແທນ \(\boldsymbol{X}^e\) ດ້ວຍພິກັດໂຫນດປັດຈຸບັນ \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\). ດັ່ງນັ້ນ ວິທີ Total Lagrange ແລະ Updated Lagrange ສາມາດໃຊ້ຂັ້ນຕອນດຽວກັນໄດ້ ໂດຍສະຫຼັບພຽງພິກັດໂຫນດທີ່ປ້ອນ.

ຫົວຂໍ້ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ