Skip to content

ການແຍກບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງຂອງວຽກສະເໝືອນຂອງແຮງພາຍໃນ

ສົມຜົນວຽກສະເໝືອນທີ່ເວລາ \(t + \Delta t\) ທີ່ສະແດງໃນ ກອບຂອງການວິເຄາະເພີ່ມຂຶ້ນ ແບ່ງເປັນສອງຮູບແບບ Updated Lagrange ແລະ Total Lagrange ຕາມການເລືອກການຈັດວາງອ້າງອີງ. ໃນບົດນີ້ ຈະໃຊ້ ການປະມານແບບໄຟໄນຕ໌ເອເລເມັນ ທີ່ນຳເຂົ້າໃນ ຟັງຊັນຮູບຮ່າງ ແລະ ການປະມານແບບໄຟໄນຕ໌ເອເລເມັນ ແລະ ອະນຸພັນເຊິ່ງພື້ນທີ່ຂອງຟັງຊັນຮູບຮ່າງ ເພື່ອແຍກວຽກສະເໝືອນຂອງແຮງພາຍໃນຂອງທັງສອງຮູບແບບໃນພື້ນທີ່ ແລະ ໄດ້ເວັກເຕີແຮງພາຍໃນເອລິເມັນ \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) ແລະ \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

ສຳລັບເອລິເມັນ \(e\) ຈັດຮຽງການກະຈັດຂອງໂຫນດປະກອບ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) ເປັນ \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), ແລະ ເວັກເຕີການກະຈັດໂຫນດຂອງເອລິເມັນເປັນ \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\); ກຳນົດການກະຈັດສະເໝືອນ \(\delta \boldsymbol{u}^e\) ໃນລຳດັບດຽວກັນ. ການກະຈັດພາຍໃນເອລິເມັນແມ່ນ ປະມານຄ່າແຊກ ດ້ວຍຟັງຊັນຮູບຮ່າງເປັນ \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

ວຽກສະເໝືອນຂອງແຮງພາຍໃນໃນວິທີ Updated Lagrange

ໃນວິທີ Updated Lagrange ໃຊ້ການຈັດວາງປັດຈຸບັນ \({}^{t}\Omega\) ທີ່ເວລາ \(t\) ເປັນການຈັດວາງອ້າງອີງ, ແລະ ຂຽນວຽກສະເໝືອນຂອງແຮງພາຍໃນດ້ວຍຄວາມເຄັ້ນ Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) ແລະ ສ່ວນເປັນເສັ້ນຂອງ Almansi ຄວາມເຄັ່ງຮູບ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) ເປັນ

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

ແຕ່ລະອົງປະກອບຂອງ \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) ສາມາດສະແດງເປັນຜົນລວມເຊິ່ງເປັນເສັ້ນຂອງອະນຸພັນຟັງຊັນຮູບຮ່າງ \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ຕາມພິກັດການຈັດວາງປັດຈຸບັນ \(\boldsymbol{x}\) ແລະ ການກະຈັດສະເໝືອນຂອງໂຫນດ \(\delta u^e_{i\alpha}\); ໃນ Voigt ສັນຍາລັກ ສາມາດຮວບຮວມເປັນ

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

ບລັອກ ຂອງໂຫນດ \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) ແມ່ນເມທຣິກ \(6 \times 3\) ທີ່ຈັດວາງ \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ຕາມກົດ Voigt, ແລະ \(\boldsymbol{B}_L\) ເປັນເມທຣິກຄວາມສຳພັນ ຄວາມເຄັ່ງຮູບ-ການກະຈັດ ຂອງວິທີ UL. ແທນສິ່ງນີ້ໃນວຽກສະເໝືອນຂອງແຮງພາຍໃນ ແລະ ແຍກ \(\delta \boldsymbol{u}^e\) ອອກ ຈະໄດ້

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

ບລັອກ ຂອງໂຫນດ \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) ຂອງ \(\boldsymbol{q}^e\) ແມ່ນແຮງພາຍໃນທີ່ອອກແຮງຕໍ່ໂຫນດປະກອບ \(\alpha\) ຂອງເອລິເມັນ \(\Omega^e\).

ວຽກສະເໝືອນຂອງແຮງພາຍໃນໃນວິທີ Total Lagrange

ໃນວິທີ Total Lagrange ໃຊ້ການຈັດວາງອ້າງອີງ \(\Omega_0\) ເປັນການຈັດວາງອ້າງອີງ ແລະ ຂຽນດ້ວຍຄວາມເຄັ້ນ second Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) ແລະ Green-Lagrange ຄວາມເຄັ່ງຮູບ \(\boldsymbol{E}\) ເປັນ

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

\(\delta \boldsymbol{E}\) ແບ່ງເປັນພົດເປັນເສັ້ນຕໍ່ການກະຈັດສະເໝືອນ ແລະ ພົດບໍ່ເປັນເສັ້ນທີ່ປະກອບມີຜົນຄູນກັບ ເກຣດຽນ ການກະຈັດປັດຈຸບັນ \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

ພົດເປັນເສັ້ນຂຽນໄດ້ໂດຍນຳກົດການຈັດຮຽງດຽວກັບວິທີ UL ໄປໃຊ້ກັບ \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ເພື່ອໄດ້ ບລັອກ ໂຫນດ \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\)

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

ຂຽນໄດ້ດັ່ງນີ້ (ຍ້ອນການຈັດວາງອ້າງອີງຕ່າງກັນ ມີພຽງອົງປະກອບທີ່ປ່ຽນຈາກ \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ເປັນ \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ເທົ່ານັ້ນ; ສັນຍາລັກໃຊ້ຮ່ວມກັບວິທີ UL). ພົດບໍ່ເປັນເສັ້ນຂຽນດ້ວຍ ບລັອກ ໂຫນດ \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) ທີ່ຈັດຜົນຄູນຂອງ ເກຣດຽນ ການກະຈັດປັດຈຸບັນ \(\partial u_k/\partial X_j\) ແລະ \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ຕາມກົດ Voigt ເປັນ

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

ດັ່ງນັ້ນ \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) ແລະ \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) ແມ່ນເມທຣິກຄວາມສຳພັນ ຄວາມເຄັ່ງຮູບ-ການກະຈັດ ຂອງວິທີ TL. ແທນສິ່ງນີ້ໃນວຽກສະເໝືອນຂອງແຮງພາຍໃນ ຈະໄດ້

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

ບລັອກ ໂຫນດ \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) ແມ່ນແຮງພາຍໃນທີ່ອອກແຮງຕໍ່ໂຫນດປະກອບ \(\alpha\) ຂອງເອລິເມັນ \(\Omega^e_0\).

ຄວາມສຳພັນຂອງ UL/TL ແລະ ກະແສການຄຳນວນ

ເວັກເຕີແຮງພາຍໃນເອລິເມັນຂອງວິທີ Updated Lagrange ແລະ Total Lagrange ມີຄວາມສຳພັນດັ່ງນີ້.

ລາຍການ ວິທີ Updated Lagrange ວິທີ Total Lagrange
ການຈັດວາງອ້າງອີງ ການຈັດວາງປັດຈຸບັນ \({}^{t}\Omega^e\) ການຈັດວາງອ້າງອີງ \(\Omega^e_0\)
ເທນເຊີຄວາມເຄັ້ນ ຄວາມເຄັ້ນ Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) ຄວາມເຄັ້ນ PK ອັນດັບ 2 \(\boldsymbol{S}\)
ຄ່າປ່ຽນແປງຄວາມເຄັ່ງຮູບ \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
ເມທຣິກ B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
ແຮງພາຍໃນເອລິເມັນ \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

ທັງສອງສາມາດປະມວນຜົນດ້ວຍຂັ້ນຕອນດຽວກັນ: “ສ້າງ \(\boldsymbol{B}_L\) ຈາກອະນຸພັນເຊິ່ງພື້ນທີ່ຂອງຟັງຊັນຮູບຮ່າງ”, “ໃນວິທີ TL ສ້າງ \(\boldsymbol{B}_{NL}\) ຈາກ ເກຣດຽນ ການກະຈັດປັດຈຸບັນແລ້ວບວກເຂົ້າ”, “ອັບເດດຄວາມເຄັ້ນ (\(\boldsymbol{\sigma}\) ຫຼື \(\boldsymbol{S}\)) ຕາມກົດ ຄວາມສຳພັນວັດສະດຸ”, ແລະ “ທີ່ຈຸດອິນທິເກຣດ ອິນທິເກຣດ \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) ຫຼື \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) ເຊິ່ງຕົວເລກເທິງໂດເມນເອລິເມັນ (ການອິນທິເກຣດເຊິ່ງຕົວເລກ)”. ນອກຈາກການສະຫຼັບການຈັດວາງອ້າງອີງ (ພິກັດໂຫນດ ແລະ ການສ້າງເມທຣິກ \(\boldsymbol{B}\)) ແລະ ການປ່ຽນເທນເຊີຄວາມເຄັ້ນ ຂັ້ນຕອນອື່ນເປັນຮ່ວມກັນ, ດັ່ງນັ້ນ FrontISTR ປະຕິບັດການຄຳນວນແຮງພາຍໃນຂອງສອງວິທີດ້ວຍຊັບຣູທີນຮ່ວມ. ການປະກອບເວັກເຕີແຮງພາຍໃນເອລິເມັນ \(\boldsymbol{q}^e\), \(\boldsymbol{Q}^e\) ເຂົ້າເປັນເວັກເຕີແຮງພາຍໃນລວມ ອະທິບາຍໃນ ວຽກສະເໝືອນຂອງແຮງພາຍນອກ ແລະ ການປະກອບສົມການລວມ.

ຫົວຂໍ້ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ