Skip to content

ສົມມຸດ ວຽກ ຂອງແຮງພາຍນອກ ແລະການ ປະກອບ ສົມຜົນ ທົ່ວລະບົບ

ໃນ ການດິສຄຣີໄຕຊ໌ ສົມມຸດ ວຽກ ຂອງແຮງພາຍໃນ, ດ້ານຊ້າຍຂອງຮູບແບບອ່ອນ ໄດ້ຖືກລວບລວມເປັນເວັກເຕີແຮງພາຍໃນຂອງເອລິເມັນ \(\boldsymbol{q}^e\) (ວິທີ UL) ຫຼື \(\boldsymbol{Q}^e\) (ວິທີ TL). ບົດນີ້ນຳເຂົ້າເວັກເຕີແຮງພາຍນອກຂອງໂຫນດເອລິເມັນ \(\boldsymbol{F}^e\) ຈາກ ສົມມຸດ ວຽກ ຂອງແຮງພາຍນອກ, ຈາກນັ້ນຜ່ານການ ປະກອບ ທີ່ຈັດຮຽງແລະລວບລວມປະລິມານຂອງໂຫນດເອລິເມັນຕາມເລກໂຫນດ ທົ່ວລະບົບ, ເພື່ອໄປຫາລະບົບສົມຜົນບໍ່ເປັນເສັ້ນຂອງການກະຈັດໂຫນດທີ່ການວິເຄາະໂຄງສ້າງບໍ່ເປັນເສັ້ນຂອງ FrontISTR ຕ້ອງແກ້.

ການແບ່ງ ສົມມຸດ ວຽກ ຂອງແຮງພາຍນອກເປັນເອລິເມັນ

ຫຼັກການ ສົມມຸດ ວຽກ ດ້ານຂວາສາມາດແບ່ງເປັນແຕ່ລະເອລິເມັນໃນຮູບ ສົມມຸດ ວຽກ ຂອງແຮງພາຍນອກ ທີ່ປະກອບດ້ວຍແຮງຕໍ່ປະລິມາດ ແລະແຮງພື້ນຜິວທີ່ກຳນົດໃນຂອບເຂດທາງກົນສາດ. ເພື່ອຂຽນການແຊກຄ່າການກະຈັດທີ່ນຳເຂົ້າໃນ ຟັງຊັນຮູບຮ່າງ ແລະການປະມານດ້ວຍໄຟໄນ໌ເອລິເມັນ ໃນຮູບເມທຣິກ, ໃຫ້ໃຊ້ບລັອກ \(d \times d\) \(\boldsymbol{N}_\alpha\) ທີ່ວາງຟັງຊັນຮູບຮ່າງ \(N_\alpha^e\) ຂອງໂຫນດ \(\alpha\) ໄວ້ຕາມແນວທະແຍງ, ແລະ \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) ທີ່ວາງບລັອກເຫຼົ່ານັ້ນຕາມແນວນອນ, ເພື່ອໃຫ້ \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). ເມື່ອແທນສິ່ງນີ້ເຂົ້າໃນ ສົມມຸດ ວຽກ ຂອງແຮງພາຍນອກທີ່ຂຽນໃນ ສະພາບການຈັດຮູບອ້າງອີງ ຈະໄດ້

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

ຈະໄດ້ສົມຜົນດັ່ງກ່າວ. ທີ່ນີ້ ເວັກເຕີແຮງພາຍນອກຂອງໂຫນດເອລິເມັນ ຖືກຈັດເປັນ \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). ດັ່ງນັ້ນ ສົມມຸດ ວຽກ ຂອງແຮງພາຍນອກສາມາດຈັດໃຫ້ຢູ່ໃນຮູບ “ເວັກເຕີໂຫນດເອລິເມັນ × ຟັງຊັນທົດສອບ” ຄືກັບດ້ານແຮງພາຍໃນ (ຖ້າຂຽນໃນ ສະພາບການຈັດຮູບປັດຈຸບັນ ກໍຈະໄດ້ຮູບດຽວກັນໂດຍແທນ \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

ການ ປະກອບ ປະລິມານຂອງໂຫນດເອລິເມັນ

ປະລິມານຂອງໂຫນດ \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) ທີ່ໄດ້ຈາກແຕ່ລະເອລິເມັນຈະຖືກລວບລວມເຂົ້າໃນເວັກເຕີ ທົ່ວລະບົບ ທີ່ຈັດຮຽງຕາມເລກໂຫນດ ທົ່ວລະບົບ. ໃຫ້ເລກໂຫນດ ທົ່ວລະບົບ ທີ່ກົງກັບເລກໂຫນດພາຍໃນເອລິເມັນ \(\alpha\) ຂອງເອລິເມັນ \(\Omega^e\) ເປັນ

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

ເມື່ອຂຽນແບບນີ້ ປະລິມານຂອງໂຫນດເອລິເມັນຈະກົງກັບອົງປະກອບທີ່ກ່ຽວຂ້ອງຂອງປະລິມານໂຫນດ ທົ່ວລະບົບ (ເຊັ່ນ \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). ໂດຍທົ່ວໄປ ໂຫນດ \(i_g\) ຖືກແບ່ງໃຊ້ໂດຍຫຼາຍເອລິເມັນ, ດັ່ງນັ້ນໃຫ້ກຳນົດເຊັດຂອງຄູ່ \((e, \alpha)\) ທີ່ມີເລກໂຫນດ ທົ່ວລະບົບ ເປັນ \(i_g\) ວ່າ

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

ໂດຍໃຊ້ເຊັດນີ້ຂຽນຜົນບວກໃໝ່ເປັນ \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) ຈະໄດ້ ແຮງພາຍໃນຂອງໂຫນດ ແລະ ເວັກເຕີແຮງພາຍໃນ ທົ່ວລະບົບ ສຳລັບໂຫນດທັງໝົດ \(n_g\)

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

ຈະໄດ້ຜົນດັ່ງກ່າວ. \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) ສອດຄ່ອງກັບຜົນລວມຂອງແຮງພາຍໃນຈາກໂຫນດເອລິເມັນທີ່ກະທຳຕໍ່ໂຫນດ \(i_g\), ແລະຈະເປັນ \(\boldsymbol{0}\) ເມື່ອບໍ່ມີແຮງພາຍນອກ ແລະຢູ່ໃນສົມດຸນ. ໃນວິທີ UL ກໍໄດ້ \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) ດ້ວຍຂັ້ນຕອນດຽວກັນ, ແລະເນື່ອງຈາກຄ່າທາງຕົວເລກເປັນ \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), ຕໍ່ຈາກນີ້ຈະໃຊ້ \(\boldsymbol{Q}\) ເປັນຫຼັກ ຍົກເວັ້ນບ່ອນທີ່ຈຳເປັນຕ້ອງແຍກ. ເວັກເຕີແຮງພາຍນອກ ທົ່ວລະບົບ \(\boldsymbol{F}\) ກໍໄດ້ຈາກການລວບລວມແບບດຽວກັນ.

ໃນການນຳໄປປະຕິບັດ ຈະບໍ່ສ້າງເຊັດ \(\mathcal{E}(i_g)\) ຢ່າງຊັດເຈນ, ແຕ່ຈະບວກຄ່າສ່ວນຮ່ວມ ເຂົ້າອົງປະກອບທີ່ກົງກັນພາຍໃນ ເອລິເມັນ ວົງຮອບ.

ຕັ້ງຄ່າເລີ່ມຕົ້ນເວັກເຕີແຮງພາຍໃນ ທົ່ວລະບົບ Q ເປັນ 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (ຈຳນວນເອລິເມັນ)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

ເວັກເຕີແຮງພາຍນອກ ທົ່ວລະບົບ \(\boldsymbol{F}\) ກໍສ້າງດ້ວຍຂັ້ນຕອນດຽວກັນ. ການດຳເນີນການທີ່ບວກ ແລະເກັບປະລິມານຂອງໂຫນດເອລິເມັນເຂົ້າໃນເວັກເຕີ ແລະເມທຣິກທີ່ກຳນົດເລກຕາມໂຫນດ ທົ່ວລະບົບ ນີ້ເອີ້ນວ່າ ປະກອບ. ສຳລັບ ເທນເຊີ ອັນດັບ 2 ທີ່ກ່ຽວກັບເລກໂຫນດສອງຕົວ (ເຊັ່ນເມທຣິກຄວາມແຂງ), ສາມາດເຮັດ ປະກອບ ແບບດຽວກັນໂດຍໃຊ້ເຊັດ \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (ເບິ່ງ ເມທຣິກຄວາມແຂງ ແທນເຈນ ສຳລັບການສ້າງຢ່າງລະອຽດ).

ສົມຜົນບໍ່ເປັນເສັ້ນທີ່ຕ້ອງແກ້

ເມື່ອແທນຜົນການ ປະກອບ ຂອງແຮງພາຍໃນ ແລະແຮງພາຍນອກເຂົ້າໃນ ຫຼັກການ ສົມມຸດ ວຽກ, ແລະໃຊ້ຄວາມຈິງທີ່ວ່າສົມຜົນນີ້ເປັນຈິງສຳລັບຟັງຊັນທົດສອບ \(\delta\boldsymbol{u}^n\) ໃດໆທີ່ສອດຄ່ອງກັບເງື່ອນໄຂຂອບເຂດທາງເລຂາຄະນິດ, ຈະໄດ້

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

ຈະໄດ້ສົມຜົນດັ່ງກ່າວ. ໃນບໍລິບົດຂອງການວິເຄາະແບບ ຂັ້ນເພີ່ມ (ກອບການວິເຄາະແບບ ຂັ້ນເພີ່ມ), ເມື່ອນຳຕົວຫ້ອຍເວລາ \(_{n+1}\) ກັບຄືນມາ ແລະລະເວັ້ນຕົວຍົກ \(^n\) ທີ່ບອກເວັກເຕີໂຫນດ ທົ່ວລະບົບ, ສົມຜົນທີ່ຕ້ອງແກ້ແມ່ນ

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

ຈະເປັນດັ່ງກ່າວ. ບັນຫາຄ່າຂອບເຂດທີ່ດິສຄຣີໄຕຊ໌ແລ້ວເພື່ອຫາການກະຈັດໂຫນດ \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) ທີ່ເວລາ \(t_{n+1}\) ຈຶ່ງຫຼຸດຮູບເປັນການແກ້ສົມຜົນບໍ່ເປັນເສັ້ນນີ້ກ່ຽວກັບການກະຈັດ ຮ່ວມກັບເງື່ອນໄຂຂອບເຂດທາງເລຂາຄະນິດ. ການເຮັດສົມຜົນໃຫ້ເປັນເສັ້ນ ແລະການສ້າງ ເມທຣິກຄວາມແຂງ ແທນເຈນ ອະທິບາຍໃນ ເມທຣິກຄວາມແຂງ ແທນເຈນ, ແລະວິທີແກ້ແບບ ການວົນຊ້ຳ ອະທິບາຍໃນ ວິທີ Newton-Raphson.

ຫົວຂໍ້ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ