ການອິນທິເກຣດເຊິ່ງຕົວເລກ¶

ເວັກເຕີແຮງພາຍໃນເອລິເມັນ \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) ແລະ ເມທຣິກຄວາມແຂງເອລິເມັນ \(\boldsymbol{K}^e\) ທີ່ໄດ້ຈາກ ການແຍກບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງຂອງວຽກສະເໝືອນຂອງແຮງພາຍໃນ ແລະ ວຽກສະເໝືອນຂອງແຮງພາຍນອກ ແລະ ການປະກອບສົມການລວມ ຢູ່ໃນຮູບຂອງອິນທິເກຣດເທິງໂດເມນເອລິເມັນ \(\Omega^e\) ຫຼື \(\Omega^e_0\). FrontISTR ປະເມີນຄ່າເຫຼົ່ານີ້ເຊິ່ງຕົວເລກໂດຍໃຊ້ສູດອິນທິເກຣດ Gauss.

ສູດອິນທິເກຣດ Gauss ແລະ ການປ່ຽນຕົວແປ¶

ສູດອິນທິເກຣດ Gauss ປະມານອິນທິເກຣດເທິງໂດເມນມາດຕະຖານ \(\Xi\) ດ້ວຍຜົນລວມເຊິ່ງເປັນເສັ້ນຂອງຄ່າຟັງຊັນທີ່ຈຸດອິນທິເກຣດ \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) ແລະນ້ຳໜັກ \(w_i\). ການນຳໃຊ້ກັບໂດເມນເອລິເມັນ \(\Omega^e\) ປະກອບມີການປ່ຽນຕົວແປຜ່ານ ການແມບ \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\),

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

ບ່ອນທີ່ \(n_q\) ແມ່ນຈຳນວນຈຸດອິນທິເກຣດ ແລະ \(J_{\xi_i}\) ແມ່ນ ດີເທີມິແນນຂອງຈາໂຄບຽນ ການປ່ຽນແປງ. ໂດເມນມາດຕະຖານ \(\Xi\) ຖືກກຳນົດຕາມປະເພດເອລິເມັນ (ຮູບຫົກໜ້າແມ່ນ \([-1,1]^3\); ສາມຫຼ່ຽມ, ຮູບສີ່ໜ້າ ແລະ ຮູບລີ່ມ ໃຊ້ຮູບອ້າງອີງແຕ່ລະຊະນິດ), ແລະ ຈຸດອິນທິເກຣດ \(\boldsymbol{\xi}_i\) ກັບນ້ຳໜັກ \(w_i\) ຖືກໃຫ້ເປັນຕາຕະລາງຕົວເລກ. ອິນທິເກຣດພື້ນຜິວກໍຖືກຈັດການໃນຮູບດຽວກັນ ໂດຍ ການແມບ ໜ້າເອລິເມັນຈາກໂດເມນມາດຕະຖານ 2 ມິຕິ.

ຈຳນວນຈຸດອິນທິເກຣດທົ່ວໄປທີ່ FrontISTR ໃຊ້ ສະແດງດັ່ງລຸ່ມນີ້ (ສຳລັບຄວາມສຳພັນກັບປະເພດເອລິເມັນ ໃຫ້ເບິ່ງ ລະບົບເລກເອລິເມັນ ແລະ ຫ້ອງສະໝຸດຟັງຊັນຮູບຮ່າງ).

ປະເພດເອລິເມັນ	ສູດອິນທິເກຣດ	ຈຳນວນຈຸດອິນທິເກຣດ
ເອລິເມັນ ສີ່ໜ້າ 4 ໂຫນດ (`tet4n`)	ສູດ 1 ຈຸດ	1
ເອລິເມັນ ສີ່ໜ້າ 10 ໂຫນດ (`tet10n`)	ສູດ 4 ຈຸດ	4
ເອລິເມັນ ປຣິຊຶມ ສາມຫຼ່ຽມ 6 ໂຫນດ (`prism6n`)	ສູດ 2 ຈຸດ	2
ເອລິເມັນ ປຣິຊຶມ ສາມຫຼ່ຽມ 15 ໂຫນດ (`prism15n`)	ສູດ 9 ຈຸດ	9
ເອລິເມັນ ຫົກໜ້າ 8 ໂຫນດ (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
ເອລິເມັນ ຫົກໜ້າ 20 ໂຫນດ (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
ເອລິເມັນສີ່ຫຼ່ຽມ 4 ໂຫນດ (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
ເອລິເມັນສີ່ຫຼ່ຽມ 8 ໂຫນດ (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
ເອລິເມັນສາມຫຼ່ຽມ 3 ໂຫນດ (`tri3n`)	ສູດ 1 ຈຸດ	1
ເອລິເມັນສາມຫຼ່ຽມ 6 ໂຫນດ (`tri6n`)	ສູດ 3 ຈຸດ	3

ສຳລັບເອລິເມັນຫົກໜ້າ, ສີ່ຫຼ່ຽມ ແລະ ເສັ້ນ ຈະໃຊ້ ຜົນຄູນເທນເຊີ ຂອງສູດ Gauss-Legendre ໃນແຕ່ລະທິດແກນ. ສາມຫຼ່ຽມ, ຮູບສີ່ໜ້າ ແລະ ປຣິຊຶມ ສາມຫຼ່ຽມ ໃຊ້ສູດສະເພາະທີ່ເໝາະກັບຮູບຊິມເພຼັກ (ການຈັດວາງຈຸດທີ່ອິນທິເກຣດ ພະຫຸນາມ ເທິງສາມຫຼ່ຽມໄດ້ຢ່າງແມ່ນຍຳ).

ການນຳໃຊ້ກັບອິນທິເກຣດເອລິເມັນ¶

ໃນອິນທິເກຣດເອລິເມັນ ໃຊ້ ພິກັດທຳມະຊາດ \(\boldsymbol{r}\) ເປັນພິກັດໂດເມນມາດຕະຖານ (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), ແລະ ການແມບ ໄປພິກັດກາຍະພາບໃຫ້ໂດຍ ການແຊກຄ່າ ພິກັດໂຫນດດ້ວຍຟັງຊັນຮູບຮ່າງ. ຕາມການເລືອກການຈັດວາງອ້າງອີງ (ກອບຂອງການວິເຄາະເພີ່ມຂຶ້ນ) ຈະໃຊ້ແຍກດັ່ງນີ້.

ວິທີ Total Lagrange (ອິນທິເກຣດເທິງການຈັດວາງອ້າງອີງ \(\Omega^e_0\)): ການແມບ ແລະ ຈາໂຄບຽນ ແມ່ນ

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

ແລະປະມານເວັກເຕີແຮງພາຍໃນເອລິເມັນ ແລະ ເມທຣິກຄວາມແຂງເປັນ

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

ທັງ \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) ຖືກປະເມີນທີ່ຈຸດອິນທິເກຣດ \(\boldsymbol{r}_i\).

ວິທີ Updated Lagrange (ອິນທິເກຣດເທິງການຈັດວາງປັດຈຸບັນ \(\Omega^e\)): ການແມບ ແລະ ຈາໂຄບຽນ ແມ່ນ

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

ແລະ

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

ແລະປະມານເປັນດັ່ງນີ້.

ຄວາມແຕກຕ່າງພຽງຈຸດດຽວລະຫວ່າງສອງຮູບແບບແມ່ນ ພິກັດໂຫນດທີ່ປ້ອນໃຫ້ ການແມບ ແມ່ນ \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ຫຼື \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); ຈຸດອິນທິເກຣດ, ນ້ຳໜັກ ແລະ ໂຄງສ້າງ ວົງຮອບ ຈຸດອິນທິເກຣດແມ່ນຮ່ວມກັນ.

ອິນທິເກຣດເຕັມ ແລະ ອິນທິເກຣດຫຼຸດອັນດັບ¶

ອິນທິເກຣດທີ່ໃຊ້ຈຳນວນຈຸດອິນທິເກຣດພຽງພໍເພື່ອອິນທິເກຣດອັນດັບ ພະຫຸນາມ ຂອງຟັງຊັນໄດ້ຢ່າງແມ່ນຍຳ ເອີ້ນວ່າ ອິນທິເກຣດເຕັມ, ສ່ວນການໃຊ້ຈຸດອິນທິເກຣດນ້ອຍລົງໜຶ່ງລະດັບ ເອີ້ນວ່າ ອິນທິເກຣດຫຼຸດອັນດັບ. ອິນທິເກຣດຫຼຸດອັນດັບໃຊ້ຫຼຸດຜ່ອນ ເຉືອນ ແລະ ປະລິມາດ ການລັອກ, ແຕ່ຕ້ອງຈັດການໂໝດການປ່ຽນຮູບປອມເຊັ່ນ ໂໝດຮູບໂມງຊາຍ. ຈຳນວນຈຸດອິນທິເກຣດຕາມປະເພດເອລິເມັນ ແລະ ການເລືອກເຕັມ/ຫຼຸດອັນດັບ ອະທິບາຍໃນ ລະບົບເລກເອລິເມັນ ແລະ ຫ້ອງສະໝຸດຟັງຊັນຮູບຮ່າງ ແລະ ໜ້າຕໍ່ໆໄປ ລວມທັງ ຮູບແບບເອລິເມັນປະສິດທິພາບສູງ.

ຫົວຂໍ້ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ¶

ອະນຸພັນເຊິ່ງພື້ນທີ່ຂອງຟັງຊັນຮູບຮ່າງ — ການຄຳນວນຈາໂຄບຽນ
ການແຍກບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງຂອງວຽກສະເໝືອນຂອງແຮງພາຍໃນ — ເປົ້າໝາຍຂອງອິນທິເກຣດເຊິ່ງຕົວເລກ
ຮູບແບບເອລິເມັນປະສິດທິພາບສູງ — ການໃຊ້ອິນທິເກຣດຫຼຸດອັນດັບ