ສູດເອເລເມັນປະສິດທິພາບສູງ¶

ສູດມາດຕະຖານແບບອີງການເຄື່ອນຍ້າຍທີ່ສະແດງໃນ ສູດເອເລເມັນ ຕັນ 3 ມິຕິ ຈະໃຫ້ຄວາມແຂງສູງເກີນຈິງທີ່ເອີ້ນວ່າ ການລັອກ (ການລັອກປະລິມາດ ຫຼື ການລັອກແຮງເຉືອນ) ເມື່ອໃຊ້ກັບວັດສະດຸທີ່ເກືອບບໍ່ອັດຕົວ ຫຼືໂຄງສ້າງຜິວບາງທີ່ການດັດເປັນຫຼັກ. ເພື່ອຫຼີກລ້ຽງບັນຫານີ້ FrontISTR ມີວິທີ B-bar ແລະ F-bar ທີ່ປ່ຽນສະເພາະສ່ວນປະລິມາດຂອງ ເມທຣິກ B ຫຼື ເກຣດຽນການແປຮູບ, ເອເລເມັນບໍ່ສອດຄ່ອງ ທີ່ເພີ່ມອົງສາອິດສະລະພາຍໃນ, ເອເລເມັນປະສົມ u-p ທີ່ໃຫ້ຄວາມດັນເປັນສະໜາມບໍ່ຮູ້ຄ່າອິດສະລະ, ແລະ MITC ເຊວ / ເອເລເມັນຄານ ສຳລັບໂຄງສ້າງແຜ່ນແລະຄານ.

ບົດນີ້ຈັດລະບຽບສູດຂອງເອເລເມັນປະສິດທິພາບສູງແລະເອເລເມັນໂຄງສ້າງເຫຼົ່ານີ້ຕາມປະເພດເອເລເມັນ.

ວິທີ B-bar¶

ເມື່ອໃຊ້ເອເລເມັນ ຫົກໜ້າ ເຊິ່ງເສັ້ນ 8 ໂຫນດກັບວັດສະດຸທີ່ເກືອບບໍ່ອັດຕົວ, ສະໜາມຄວາມເຄັ່ງພາຍໃນເອເລເມັນອາດຂັດກັບຂໍ້ຈຳກັດປະລິມາດຄົງທີ່ ແລະເກີດຄວາມແຂງເກີນຈິງທີ່ເອີ້ນວ່າ ການລັອກປະລິມາດ. ວິທີ B-bar ຫຼຸດຂໍ້ຈຳກັດເກີນນີ້ໂດຍປ່ຽນອົງປະກອບຂອງ ເມທຣິກ B ທີ່ມີສ່ວນຕໍ່ການຂະຫຍາຍປະລິມາດດ້ວຍຄ່າທີ່ປະເມີນຢູ່ຈຸດກາງເອເລເມັນ [Hughes1980].

ໃຫ້ ເມທຣິກ B ທີ່ຄຳນວນຈາກອະນຸພັນອາວະກາດຂອງ ຟັງຊັນຮູບຮ່າງ ທີ່ຈຸດກາງເອເລເມັນ \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) ເປັນ \(\bar{\boldsymbol{B}}\) ແລະ ເມທຣິກ B ປົກກະຕິທີ່ ຈຸດອິນທິເກຣດ \(\boldsymbol{r}\) ເປັນ \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). ໃນຄວາມສຳພັນ ການກະຈັດ–ຄວາມເຄັ່ງຮູບ ສຳລັບໂຫນດ \(\alpha\) ແລະ DOF \(i\), ອົງປະກອບ ຄວາມເຄັ່ງຮູບປະລິມາດ \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) ຈະເພີ່ມ

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

ສ່ວນ ຄວາມເຄັ່ງຮູບເຉືອນ \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) ໃຊ້ \(\boldsymbol{B}\) ປົກກະຕິ. ຈາກນັ້ນ ປະກອບ ຄວາມແຂງຂອງເອເລເມັນ ແລະ ເວັກເຕີແຮງພາຍໃນ ດ້ວຍ B-bar ເມທຣິກ ທີ່ໄດ້.

FrontISTR ຈັດຫາສູດນີ້ສະເພາະສຳລັບເອເລເມັນ ຫົກໜ້າ ເຊິ່ງເສັ້ນ 8 ໂຫນດ (ເອເລເມັນ ID 361, ເບິ່ງ ລະບົບໝາຍເລກເອເລເມັນ) ແລະໃຊ້ໄດ້ກັບທັງການແປຮູບນ້ອຍ, Total Lagrange ແລະ Updated Lagrange.

ວິທີ F-bar¶

ພາຍໃຕ້ການແປຮູບຈຳກັດ ການປ່ຽນປະລິມາດມີຜົນແບບບໍ່ເປັນເສັ້ນຜ່ານ ເກຣດຽນການແປຮູບ \(\boldsymbol{F}\). ວິທີ F-bar [deSouzaNeto1996] ຈັດການ ການລັອກປະລິມາດ ຄ້າຍກັບ B-bar ໃນລະດັບ ເກຣດຽນການແປຮູບ.

ໃຫ້ອັດຕາສ່ວນປະລິມາດຂອງ ເກຣດຽນການແປຮູບ ທີ່ຈຸດກາງເອເລເມັນ \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) ເປັນ \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) ແລະທີ່ ຈຸດອິນທິເກຣດ ເປັນ \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). ຈາກນັ້ນແທນ ເກຣດຽນການແປຮູບ ທີ່ ຈຸດອິນທິເກຣດ ດ້ວຍ

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

ຈາກນີ້ \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) ແລະອັດຕາສ່ວນປະລິມາດທົ່ວເອເລເມັນຈະເທົ່າກັບຄ່າທີ່ຈຸດກາງ. ໃຊ້ \(\bar{\boldsymbol{F}}\) ຫຼັງການແທນເພື່ອປະເມີນຄວາມເຄັ້ນແລະສ້າງ ເມທຣິກຄວາມສຳພັນຄວາມເຄັ່ງຮູບ–ການກະຈັດ; ສ່ວນ tangent ຄວາມແຂງ ຂອງເອເລເມັນລວມພະຈຳນວນເພີ່ມເຕີມທີ່ເກີດຈາກການແທນນີ້.

FrontISTR ການນຳໄປໃຊ້ ວິທີ F-bar ສະເພາະສຳລັບເອເລເມັນ ຫົກໜ້າ ເຊິ່ງເສັ້ນ 8 ໂຫນດ ແລະໃຊ້ໄດ້ກັບການແປຮູບນ້ອຍ ພ້ອມທັງເລຂາຄະນິດແບບບໍ່ເປັນເສັ້ນ Total Lagrange / Updated Lagrange.

ເອເລເມັນບໍ່ສອດຄ່ອງ¶

ເອເລເມັນ ຫົກໜ້າ ເຊິ່ງເສັ້ນ 8 ໂຫນດບໍ່ມີ ໂໝດຄວາມເຄັ່ງຮູບ ທີ່ຈຳເປັນສຳລັບການດັດ ແລະຈະເກີດ ການລັອກການໂຄ້ງ ໃນບັນຫາທີ່ການດັດເປັນຫຼັກ. ເອເລເມັນບໍ່ສອດຄ່ອງ [Taylor1976] ເພີ່ມ ໂໝດການກະຈັດ ພາຍໃນເອເລເມັນເພື່ອຊົດເຊີຍຂໍ້ບົກພ່ອງນີ້.

ນອກຈາກ ເອເລເມັນ ທີ່ໂຫນດ ການກະຈັດ \(\boldsymbol{u}^e\), ນຳເຂົ້າ ໂໝດບໍ່ສອດຄ່ອງ DOF \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) ທີ່ມີຢູ່ພາຍໃນເອເລເມັນເທົ່ານັ້ນ ເປັນ 3 ທິດ × 3 ໂໝດ ຕໍ່ເອເລເມັນ ແລະປະມານ ການກະຈັດ ສະໜາມ ເປັນ

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

ສຳລັບ ພິກັດທຳມະຊາດ \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), ບໍ່ສອດຄ່ອງ ຟັງຊັນຮູບຮ່າງ ໃຊ້ \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\). ຟັງຊັນເຫຼົ່ານີ້ບໍ່ຮັບປະກັນ ຄວາມຕໍ່ເນື່ອງ ຂ້າມຂອບເຂດເອເລເມັນ ແຕ່ເພີ່ມປະລິພູມພາຍໃນເອເລເມັນທີ່ສາມາດສ້າງ ຄວາມເຄັ່ງຮູບ ຂອງ ໂໝດການໂຄ້ງງໍ ໄດ້.

ຄວາມແຂງຂອງເອເລເມັນ ຖືກ ປະກອບ ໃນຮູບ block ແບ່ງ DOF ພາຍນອກ / DOF ພາຍໃນ

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

ຫຼັງຈາກ ປະກອບ ໃນຮູບນີ້ ຈະໃຊ້ ການຫຍໍ້ສະຖິດ ເພື່ອກຳຈັດ DOF ພາຍໃນ ດ້ວຍ \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) ແລະໄດ້ ຄວາມແຂງຂອງເອເລເມັນ ທີ່ມີພຽງ DOF ພາຍນອກ

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

ແລ້ວສົ່ງໄປຫາ ການປະກອບລວມ.

FrontISTR ການນຳໄປໃຊ້ ເອເລເມັນບໍ່ສອດຄ່ອງ ສະເພາະສຳລັບເອເລເມັນ ຫົກໜ້າ ເຊິ່ງເສັ້ນ 8 ໂຫນດ (C3D8IC) ແລະໃຊ້ໄດ້ກັບການແປຮູບນ້ອຍ, Total Lagrange ແລະ Updated Lagrange.

ເອເລເມັນຜະສົມ U-P¶

ໃນຂະນະທີ່ B-bar ແລະ F-bar ແກ້ໄຂສ່ວນປະລິມາດພາຍໃນກອບແບບອີງ ການກະຈັດ, u-p ປະສົມ (U-P) ເອເລເມັນ ໃຊ້ ສູດປະສົມ [Bathe1996] ທີ່ນຳຄວາມດັນ \(\lambda\) ເຂົ້າເປັນສະໜາມບໍ່ຮູ້ຄ່າອິດສະລະຈາກ ການກະຈັດ. ສຳລັບວັດສະດຸທີ່ເກືອບບໍ່ອັດຕົວ ເຊັ່ນຢາງທີ່ ອັດຕາສ່ວນປົວຊອງ ໃກ້ 0.5 ຫຼາຍ ຫຼືໂລຫະຫຼັງ ການແປຮູບພລາສຕິກ, ການບັງຄັບຂໍ້ຈຳກັດປະລິມາດຄົງທີ່ດ້ວຍ ການກະຈັດ ສະໜາມ ພຽງຢ່າງດຽວຈະເກີດ ການລັອກປະລິມາດ; ການໃຫ້ຄວາມດັນເປັນຕົວແປອິດສະລະຊ່ວຍຜ່ອນຂໍ້ຈຳກັດນີ້.

ແຍກຄວາມເຄັ້ນເປັນ ອົງປະກອບເບື້ອງເບນ ແລະຄວາມດັນດັ່ງນີ້

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

ໃນນີ້ \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) ແມ່ນ ເບື່ອງເບນ ເມທຣິກຍືດຫຍຸ່ນ ທີ່ໄດ້ຈາກການເອົາສ່ວນປະລິມາດທີ່ແປຕາມ ມອດູລັສປະລິມາດ \(K\) ອອກຈາກ ເມທຣິກຍືດຫຍຸ່ນ. ຄວາມດັນ \(\lambda\) ແລະ ຄວາມເຄັ່ງຮູບປະລິມາດ \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) ສຳພັນກັນຜ່ານຂໍ້ຈຳກັດທີ່ໃຊ້ ຄວາມອັດຕົວໄດ້ \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

ການ ແບ່ງແບບບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງ ໂດຍໃຫ້ ການກະຈັດ \(\boldsymbol{u}\) ແລະຄວາມດັນ \(\lambda\) ເປັນບໍ່ຮູ້ຄ່າ ຈະໄດ້ ລະບົບເຊື່ອມຄູ່ ຂອງເອເລເມັນ

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

ໃນນີ້ \(\mathbf{K}_{uu}\) ປະກອບດ້ວຍ ເບື່ອງເບນ ຍືດຫຍຸ່ນ ສ່ວນປະກອບ ແລະ ຄວາມແຂງເຊິງເລຂາຄະນິດ ໃນ ການແປຮູບຂະໜາດໃຫຍ່; \(\mathbf{K}_{up}\) ເຊື່ອມ ຄວາມເຄັ່ງຮູບປະລິມາດ ກັບຄວາມດັນ; ແລະ \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) ເປັນ ພະຈຳນວນສະຖຽນຄວາມດັນ (\(\boldsymbol{N}_p\) ແມ່ນ ຟັງຊັນຮູບຮ່າງຄວາມດັນ). ເນື່ອງຈາກ ຄວາມດັນ DOF ຢູ່ພາຍໃນເອເລເມັນ,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

ຈຶ່ງເຮັດ ການຫຍໍ້ສະຖິດ ໃນຮູບນີ້ ແລະສົ່ງ ຄວາມແຂງປະສິດຜົນ ທີ່ມີພຽງ ພາຍນອກ (ການກະຈັດ) DOF ໄປຫາ ການປະກອບລວມ.

FrontISTR ການນຳໄປໃຊ້ U-P ເອເລເມັນ ສະເພາະສຳລັບເອເລເມັນ ຫົກໜ້າ ເຊິ່ງເສັ້ນ 8 ໂຫນດ ໂດຍມີ ຄວາມດັນ DOF 1 ຄ່າຕໍ່ເອເລເມັນ (ຄົງທີ່ໃນເອເລເມັນ). ໃຊ້ໄດ້ກັບການແປຮູບນ້ອຍ, Total Lagrange ແລະ Updated Lagrange. ໃນ Updated Lagrange ຈະອັບເດດ ເບື່ອງເບນ ຄວາມເຄັ້ນ ດ້ວຍ ອັດຕາຄວາມເຄັ້ນແບບວັດຖຸວິສັຍ (Jaumann/Hughes-Winget type) ແລ້ວນຳຄວາມດັນ \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) ທີ່ໄດ້ຈາກ ການຫຍໍ້ສະຖິດ ມາໃຊ້.

ເອເລເມັນເປືອກ¶

ສຳລັບໂຄງສ້າງແຜ່ນແລະ ເຊວ ຜິວບາງ ໃຊ້ ເອເລເມັນເຊວ ທີ່ອີງທິດສະດີແຜ່ນ/ເຊວ Reissner-Mindlin. ເມື່ອຄວາມໜາຫຼຸດລົງ, ແບບອີງການກະຈັດອັນດັບຕ່ຳ ແຜ່ນ/ເອເລເມັນເຊວ ຈະປະເມີນ ຄວາມເຄັ່ງຮູບເຉືອນຕາມຂວາງ ສູງເກີນຈິງຈາກກົນໄກຄ້າຍ ການລັອກປະລິມາດ (ການລັອກແຮງເຉືອນ) ເຮັດໃຫ້ ຄວາມແຂງ ຕໍ່ ໂໝດການໂຄ້ງງໍ ເພີ່ມຂຶ້ນເກີນຈິງ. ວິທີ MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] ຫຼີກລ້ຽງບັນຫານີ້ໂດຍ ສຸ່ມຕົວຢ່າງໃໝ່ ສະເພາະ ຄວາມເຄັ່ງຮູບເຉືອນ ອົງປະກອບ ທີ່ ຈຸດຜູກ ທີ່ກຳນົດໄວ້ ແລ້ວ ປະມານຄ່າແຊກ ຄ່າຕົວຢ່າງກັບເຂົ້າໃນເອເລເມັນ.

ໂຫນດຂອງ MITC ເອເລເມັນເຊວ ຢູ່ເທິງ ຜິວກາງ ແລະແຕ່ລະໂຫນດມີ 6 DOF: ການເລື່ອນທີ່ 3 ອົງປະກອບ ແລະ ການໝຸນ 3 ອົງປະກອບຮອບລະບົບພິກັດ ປົກກະຕິ ຂອງ ຜິວກາງ. ຄວາມແຂງຂອງເອເລເມັນ ຖືກປະເມີນດ້ວຍ ການອິນທິເກຣດ Gaussian 3 ມິຕິລວມ ຜິວກາງ ພິກັດທຳມະຊາດ ແລະທິດຄວາມໜາ, ໂດຍຄວາມໜາ \(h\) ຖືກໃຫ້ເປັນ ຄຸນສົມບັດເອເລເມັນ ໃນການຄຳນວນ ກົດສະພາບວັດສະດຸ.

FrontISTR ຈັດຫາ MITC3 (ເອເລເມັນ ID 731), MITC4 (741), MITC9 (743) ທີ່ແທນດ້ວຍ ຜິວກາງ ຊັ້ນ ດຽວ ແລະ ເຊວແບບຫຼາຍຊັ້ນ ເອເລເມັນ MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 ໂຫນດ, 3 DOF/ໂຫນດ) ແລະ MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 ໂຫນດ, 3 DOF/ໂຫນດ) ທີ່ຈັດໂຫນດເປັນ 2 ຊັ້ນຕາມທິດຄວາມໜາ. ສຳລັບ ເຊວແບບຫຼາຍຊັ້ນ ເອເລເມັນ, DOF ຂອງໂຫນດ ມີພຽງ ການເລື່ອນທີ່ 3 ອົງປະກອບ ແລະ ໂໝດການໂຄ້ງງໍ ທີ່ສອດຄ່ອງກັບ DOF ການໝຸນ ຖືກສະແດງດ້ວຍການຈັດ 2 ຊັ້ນ.

ເອເລເມັນຄານ¶

ສະມາຊິກເສັ້ນ ເຊັ່ນ ຄານຫຼັກ ແລະ ກອບ ຖືກ ແບ່ງແບບບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງ ດ້ວຍ ເອເລເມັນຄານ. FrontISTR ໃຊ້ສູດ ຄານ Timoshenko ທີ່ພິຈາລະນາ ການປ່ຽນຮູບເຉືອນ ແລະສະແດງທັງ ການໂຄ້ງງໍ ແລະ ເຉືອນ ເປັນຟັງຊັນຂອງ ການເລື່ອນທີ່ ແລະ DOF ການໝຸນ.

ແຕ່ລະ ໂຫນດຄານ ມີ 6 DOF: ການເລື່ອນທີ່ 3 ອົງປະກອບ ແລະ ການໝຸນ 3 ອົງປະກອບຮອບແກນຄານແລະແກນຂວາງ. ຄວາມແຂງຂອງເອເລເມັນ ປະເມີນດ້ວຍ ອິນທິເກຣດຕົວເລກ 1 ມິຕິຕາມແກນຄານ. ພື້ນທີ່ໜ້າຕັດ \(A\) ແລະ ໂມເມນອັນດັບສອງຂອງພື້ນທີ່ \(I\) ໃນທິດ ການໂຄ້ງງໍ/ການບິດ ຖືກໃຫ້ເປັນ ຄຸນສົມບັດໜ້າຕັດຄານ ແລະຮ່ວມກັບ ມອດູລັສຂອງຍັງ \(E\) ແລະ ມອດູລັສເຉືອນ \(G\) ຂອງວັດສະດຸ ເພື່ອກຳນົດ ຄວາມແຂງ ສຳລັບ ການຍືດຕາມແກນ, ການໂຄ້ງງໍ, ການບິດ ແລະ ເຉືອນ.

FrontISTR ຈັດຫາ ເອເລເມັນຄານ ເສັ້ນກົງ 2 ໂຫນດ (ເອເລເມັນ ID 611) ແລະ ສີ່ໜ້າ ໂຊລິດ–ຄານ ເອເລເມັນປະສົມ 4 ໂຫນດທີ່ແທນດ້ວຍ 3 ໂຫນດ (641, ສຳລັບ ປະສົມ DOF).

ຫົວຂໍ້ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ¶

ສູດເອເລເມັນ ໂຊລິດ 3 ມິຕິ — ປຽບທຽບກັບສູດມາດຕະຖານ
ລະບົບໝາຍເລກເອເລເມັນແລະ ຟັງຊັນຮູບຮ່າງ ໄລບຣາຣີ — ເອເລເມັນ type ID
ເອເລເມັນ ໄລບຣາຣີ (ຟັງຊັນ) — ແນວທາງການເລືອກເອເລເມັນແຕ່ລະຊະນິດ