ການເຄື່ອນທີ່, ການປ່ຽນຮູບ ແລະຄວາມເຄັ່ງ¶

ການຈັດວາງອ້າງອີງແລະການຈັດວາງປັດຈຸບັນ¶

ນິຍາມຂອງການຈັດວາງ¶

ເພື່ອແຍກແຍະວ່າປະລິມານທາງກາຍະພາບຖືກອະທິບາຍໂດຍອ້າງອີງຮູບຮ່າງໃນເວລາໃດ ຄູ່ມືນີ້ໃຊ້ການຈັດວາງ 2 ປະເພດ.

ການຈັດວາງອ້າງອີງ (reference configuration): ຮູບຮ່າງກ່ອນປ່ຽນຮູບທີ່ຈຸດເລີ່ມການວິເຄາະ (ເວລາ \(0\)), ຍັງເອີ້ນວ່າ ການຈັດວາງເລີ່ມຕົ້ນ. ຈຸດໃນການຈັດວາງອ້າງອີງສະແດງດ້ວຍ ພິກັດວັດຖຸ \(\boldsymbol{X}\), ປະລິມາດເປັນ \(V\) ແລະຜິວເປັນ \(S\).
ການຈັດວາງປັດຈຸບັນ (current configuration): ຮູບຮ່າງຫຼັງປ່ຽນຮູບທີ່ເວລາ \(t\). ຈຸດໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນສະແດງດ້ວຍ ພິກັດປະລິພູມ \(\boldsymbol{x}\), ປະລິມາດເປັນ \(v\) ແລະຜິວເປັນ \(s\).

ການເຄື່ອນທີ່ສະແດງເປັນການແປງລະຫວ່າງສອງການຈັດວາງ \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), ແລະການກະຈັດນິຍາມເປັນ \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

ກົດສັນຍາລັກຕາມການຈັດວາງ (ຕົວໃຫຍ່/ຕົວນ້ອຍ)¶

ຂະໜາດຕົວອັກສອນຂອງສັນຍາລັກໃຊ້ແຍກວ່າປະລິມານທາງກາຍະພາບຢູ່ໃນການຈັດວາງໃດ.

ປະລິມານທີ່ຢູ່ໃນການຈັດວາງອ້າງອີງສະແດງດ້ວຍສັນຍາລັກ ຕົວໃຫຍ່ (ເຊັ່ນ \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
ປະລິມານທີ່ຢູ່ໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນສະແດງດ້ວຍສັນຍາລັກ ຕົວນ້ອຍ (ເຊັ່ນ \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
ປະລິມານທີ່ຄາບກ່ຽວສອງການຈັດວາງ ເຊັ່ນຄວາມເຄັ້ນ Piola-Kirchhoff ອັນດັບ 1 \(\boldsymbol{P}\) ຈະໃຊ້ສັນຍາລັກຕາມທຳນຽມ ແລະລະບຸໃນເນື້ອຫາຕາມຄວາມຈຳເປັນ.
ໃນທິດສະດີການປ່ຽນຮູບນ້ອຍ ຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງສອງການຈັດວາງຫາຍໄປ ຈຶ່ງໃຊ້ສະເພາະສັນຍາລັກຕົວນ້ອຍ (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

ເກຣດຽນການຈັດວາງອ້າງອີງແລະເກຣດຽນການຈັດວາງປັດຈຸບັນ¶

ສັນຍາລັກແລະຄວາມໝາຍຈະແຕກຕ່າງຕາມວ່າຫາອະນຸພັນປະລິພູມຕໍ່ກັບການຈັດວາງໃດ.

ເກຣດຽນການຈັດວາງອ້າງອີງ \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): ເກຣດຽນຕາມພິກັດວັດຖຸ. ຕົວຢ່າງ: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
ເກຣດຽນການຈັດວາງປັດຈຸບັນ \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): ເກຣດຽນຕາມພິກັດປະລິພູມ. ຕົວຢ່າງ: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

ທັງສອງສຳພັນກັນດ້ວຍ \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). ສຳລັບກົດອະນຸພັນຕາມເວລາ (ອະນຸພັນຕາມເວລາຂອງວັດຖຸ \(\dot{(\cdot)}\)) ໃຫ້ເບິ່ງ ສັນຍາລັກເທນເຊີແລະພື້ນຖານຄະນິດສາດ.

ການອະທິບາຍການເຄື່ອນທີ່¶

ແຜນທີ່ການເຄື່ອນທີ່ແລະການອະທິບາຍແບບວັດຖຸ/ປະລິພູມ¶

ເມື່ອຖືວ່າສື່ຕໍ່ເນື່ອງເປັນກຸ່ມຂອງຈຸດວັດຖຸທີ່ໃຊ້ຕຳແໜ່ງ \(\boldsymbol{X}\) ທີ່ເວລາ \(0\) ເປັນປ້າຍ, ການເຄື່ອນທີ່ສະແດງດ້ວຍແຜນທີ່ \(\phi\) ທີ່ຈັບຄູ່ຈຸດວັດຖຸ \(\boldsymbol{X}\) ກັບຕຳແໜ່ງ \(\boldsymbol{x}\) ທີ່ເວລາ \(t\) ເປັນ

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

ຕາມກົດທີ່ເອົາການຈັດວາງອ້າງອີງເປັນການຈັດວາງເລີ່ມຕົ້ນ ຈະມີ \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

ມີການອະທິບາຍ 2 ປະເພດຕາມການເລືອກຕົວແປອິດສະລະ.

ການອະທິບາຍແບບວັດຖຸ (Lagrange): ສະແດງປະລິມານທາງກາຍະພາບເປັນຟັງຊັນຂອງ \((\boldsymbol{X}, t)\). ໃນກົນສາດຂອງແຂງ ນີ້ເປັນຕົວເລືອກທຳມະຊາດ ເພາະການຈັດວາງອ້າງອີງຖືກກຳນົດເປັນຮູບຄົງທີ່.
ການອະທິບາຍແບບປະລິພູມ (Euler): ສະແດງປະລິມານທາງກາຍະພາບເປັນຟັງຊັນຂອງ \((\boldsymbol{x}, t)\). ໃຊ້ເປັນມາດຕະຖານໃນກົນສາດຂອງໄຫຼ.

ການວິເຄາະໂຄງສ້າງຂອງ FrontISTR ອີງພື້ນຖານໃສ່ການອະທິບາຍແບບວັດຖຸ, ແຕ່ໃນວິທີ Updated Lagrange ກໍໃຊ້ປະລິມານແບບປະລິພູມຮ່ວມດ້ວຍ ເພາະໃຊ້ການຈັດວາງປັດຈຸບັນເປັນການຈັດວາງອ້າງອີງໃໝ່.

ການກະຈັດ, ຄວາມໄວ ແລະຄວາມເລັ່ງ¶

ການກະຈັດ \(\boldsymbol{u}\) ນິຍາມເປັນ \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) ດັ່ງພາກກ່ອນ. ບໍ່ຕັ້ງສົມມຸດຖານກ່ຽວກັບຂະໜາດ ຈຶ່ງຮອງຮັບເຖິງການປ່ຽນຮູບຈຳກັດ. ເວັກເຕີຄວາມໄວແລະຄວາມເລັ່ງນິຍາມເປັນອະນຸພັນຕາມເວລາຂອງວັດຖຸຂອງ \(\boldsymbol{u}\) ໂດຍຄົງຈຸດວັດຖຸໄວ້:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

ນິຍາມໂດຍສົມຜົນເຫຼົ່ານີ້.

ເກຣດຽນການປ່ຽນຮູບແລະເທນເຊີການປ່ຽນຮູບ¶

ເທນເຊີເກຣດຽນການປ່ຽນຮູບ¶

ປະລິມານພື້ນຖານໃນກົນສາດສື່ຕໍ່ເນື່ອງຂອງການປ່ຽນຮູບຈຳກັດແມ່ນ ເທນເຊີເກຣດຽນການປ່ຽນຮູບ \(\boldsymbol{F}\). ມັນເປັນແຜນທີ່ເສັ້ນຊື່ທີ່ສົ່ງເສັ້ນນ້ອຍ \(d\boldsymbol{X}\) ໃນການຈັດວາງອ້າງອີງໄປຫາເສັ້ນນ້ອຍ \(d\boldsymbol{x}\) ໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນ ແລະນິຍາມເປັນເກຣດຽນຂອງແຜນທີ່ການເຄື່ອນທີ່ຕາມພິກັດວັດຖຸ:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

ດ້ວຍນິຍາມນີ້ (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), ໃນສະພາບບໍ່ປ່ຽນຮູບ \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) ຖືກໃຊ້ຢ່າງກວ້າງຂວາງໃນການນິຍາມຄວາມເຄັ່ງແລະຄວາມເຄັ້ນ ແລະການແປງປະລິມານທາງກາຍະພາບລະຫວ່າງການຈັດວາງ.

ອັດຕາສ່ວນປ່ຽນແປງປະລິມາດ¶

ອັດຕາສ່ວນລະຫວ່າງປະລິມາດນ້ອຍ \(dV\) ໃນການຈັດວາງອ້າງອີງ ແລະປະລິມາດນ້ອຍ \(dv\) ໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນ ເອີ້ນວ່າ ອັດຕາສ່ວນປ່ຽນແປງປະລິມາດ \(J\) ແລະກຳນົດໂດຍ

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

ຈາກຄວາມກັບຄືນໄດ້ຂອງສື່ຕໍ່ເນື່ອງ ສົມມຸດວ່າ \(J > 0\). ກົດອະນຸລັກມວນສະແດງເປັນ \(\rho_0 = J\rho\).

ເທນເຊີການປ່ຽນຮູບ Cauchy-Green ຂວາແລະຊ້າຍ¶

ເນື່ອງຈາກເກຣດຽນການປ່ຽນຮູບ \(\boldsymbol{F}\) ລວມການໝຸນວັດຖຸແຂງ ຈຶ່ງໃຊ້ປະລິມານທີ່ຕັດການໝຸນວັດຖຸແຂງອອກເປັນມາດວັດການປ່ຽນຮູບເອງ. ເທນເຊີການປ່ຽນຮູບ Cauchy-Green ຂວາ \(\boldsymbol{C}\) (ການຈັດວາງອ້າງອີງ) ແລະ ເທນເຊີການປ່ຽນຮູບ Cauchy-Green ຊ້າຍ \(\boldsymbol{b}\) (ການຈັດວາງປັດຈຸບັນ) ນິຍາມເປັນ

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

ທັງສອງເປັນເທນເຊີສົມມາດ ແລະມີຄ່າໄອເກນດຽວກັນ (ກຳລັງສອງຂອງອັດຕາການຍືດຫຼັກ). ຄ່າ invariant ຫຼັກຂອງຟັງຊັນພະລັງງານຄວາມເຄັ່ງໄຮເປີອີລາສຕິກກຳນົດໂດຍໃຊ້ເທນເຊີເຫຼົ່ານີ້.

ເທນເຊີຄວາມເຄັ່ງ¶

ເທນເຊີຄວາມເຄັ່ງ Green-Lagrange¶

ເປັນມາດວັດຄວາມເຄັ່ງອ້າງອີງການຈັດວາງອ້າງອີງ ນິຍາມ ເທນເຊີຄວາມເຄັ່ງ Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) ເປັນ

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

ມັນເປັນເທນເຊີສົມມາດທີ່ສະແດງການປ່ຽນແປງຂອງຜົນຄູນພາຍໃນຂອງເວັກເຕີນ້ອຍໃນການຈັດວາງອ້າງອີງ, ບໍ່ປ່ຽນພາຍໃຕ້ການໝຸນວັດຖຸແຂງ, ແລະໃນສະພາບບໍ່ປ່ຽນຮູບ \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). ເມື່ອໃຊ້ \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) ຈະໄດ້

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

ສະແດງເປັນຜົນບວກຂອງພົດລຳດັບ 1 ແລະ 2 ຂອງເກຣດຽນການກະຈັດ, ໂດຍພົດລຳດັບ 2 ສະແດງຄວາມບໍ່ເປັນເສັ້ນທາງເລຂາຄະນິດ. ໃນວິທີ Total Lagrange ຖືກໃຊ້ເປັນຄູ່ຄວາມເຄັ້ນ-ຄວາມເຄັ່ງທີ່ຄູ່ງານ \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

ເທນເຊີຄວາມເຄັ່ງ Almansi¶

ເປັນມາດວັດຄວາມເຄັ່ງອ້າງອີງການຈັດວາງປັດຈຸບັນ ນິຍາມ ເທນເຊີຄວາມເຄັ່ງ Almansi \(\boldsymbol{e}\) ເປັນ

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

ມັນສຳພັນກັບຄວາມເຄັ່ງ Green-Lagrange ໂດຍ \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

ເທນເຊີຄວາມເຄັ່ງນ້ອຍ¶

ເມື່ອເກຣດຽນການກະຈັດນ້ອຍ (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), ສາມາດລະພົດລຳດັບ 2 ຂອງຄວາມເຄັ່ງ Green-Lagrange ໄດ້, ແລະເນື່ອງຈາກຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງສອງການຈັດວາງຫາຍໄປ ຈຶ່ງຫຼຸດສູ່ ເທນເຊີຄວາມເຄັ່ງນ້ອຍ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ທີ່ຂຽນເກຣດຽນດ້ວຍພິກັດປະລິພູມ:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR ໃຊ້ມາດວັດຄວາມເຄັ່ງນີ້ສຳລັບການວິເຄາະສະຖິດເສັ້ນຊື່, ການວິເຄາະໂໝດ, ການວິເຄາະການຕອບສະໜອງຄວາມຖີ່ ແລະການວິເຄາະໄດນາມິກເສັ້ນຊື່. ສຳລັບການວິເຄາະການປ່ຽນຮູບຈຳກັດ ໃຊ້ \(\boldsymbol{E}\) ໃນວິທີ Total Lagrange ແລະໃຊ້ເທນເຊີອັດຕາການປ່ຽນຮູບ \(\boldsymbol{D}\) ທີ່ອ້າງອີງການຈັດວາງປັດຈຸບັນໃນວິທີ Updated Lagrange.