Skip to content

ຄວາມເຄັ້ນແລະກົດການອະນຸລັກ

ບົດນີ້ຈັດລະບຽບນິຍາມແລະຄວາມສຳພັນຂອງເທນເຊີຄວາມເຄັ້ນ ພ້ອມທັງສົມຜົນສົມດຸນແລະຄວາມສົມມາດຂອງຄວາມເຄັ້ນທີ່ໄດ້ຈາກກົດອະນຸລັກມວນ, ໂມເມນຕຳເຊິ່ງເສັ້ນ ແລະໂມເມນຕຳເຊິ່ງມຸມ. ເທນເຊີຄວາມເຄັ້ນ 3 ຊະນິດ (ຄວາມເຄັ້ນ Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\), ຄວາມເຄັ້ນ Piola-Kirchhoff ອັນດັບ 1 \(\boldsymbol{P}\) ແລະ ຄວາມເຄັ້ນ Piola-Kirchhoff ອັນດັບ 2 \(\boldsymbol{S}\)) ຖືກນຳເຂົ້າຕາມການຈັດວາງທີ່ໃຊ້ເປັນຜິວອ້າງອີງແລະເວັກເຕີແຮງ. ສຳລັບນິຍາມການຈັດວາງ, ການເຄື່ອນທີ່ ແລະ ເກຣດຽນການປ່ຽນຮູບ ໃຫ້ເບິ່ງ ການເຄື່ອນທີ່, ການແປຮູບ ແລະຄວາມເຄັ່ງ, ແລະລາຍການສັນຍາລັກໃຫ້ເບິ່ງ ລາຍການສັນຍາລັກປະລິມານທາງຟີຊິກ.

ເທນເຊີ ຄວາມເຄັ້ນ Cauchy

ໃຫ້ \(d\boldsymbol{f}\) ເປັນແຮງທີ່ກະທຳເທິງຜິວນ້ອຍຫຼາຍທີ່ຈຸດ \(\boldsymbol{x}\) ໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນ (ພື້ນທີ່ \(d\Gamma\), ເວັກເຕີຫົວໜ່ວຍຕັ້ງສາກອອກນອກ \(\boldsymbol{n}\)), ແລະກຳນົດ ເວັກເຕີແຮງຜິວ \(\boldsymbol{t}\) ເປັນແຮງຕໍ່ຫົວໜ່ວຍພື້ນທີ່ດ້ວຍ \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) ຂຶ້ນກັບທັງຕຳແໜ່ງ \(\boldsymbol{x}\) ແລະທິດຕັ້ງສາກ \(\boldsymbol{n}\). ຈາກການນຳກົດອະນຸລັກໂມເມນຕຳໄປໃຊ້ກັບ ເຕຕຣາຮີດຣອນ ນ້ອຍຫຼາຍ ຈະໄດ້ວ່າ \(\boldsymbol{t}\) ເປັນເສັ້ນຕໍ່ \(\boldsymbol{n}\) ແລະມີເທນເຊີອັນດັບສອງ \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) ທີ່

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

ເປັນຈິງສຳລັບ \(\boldsymbol{n}\) ໃດໆ (ທິດສະດີຄວາມເຄັ້ນຂອງ Cauchy). ເທນເຊີ \(\boldsymbol{\sigma}\) ນີ້ເອີ້ນວ່າ ເທນເຊີຄວາມເຄັ້ນ Cauchy ແລະຍັງເອີ້ນວ່າ ຄວາມເຄັ້ນຈິງ ເນື່ອງຈາກເປັນແຮງຕໍ່ຫົວໜ່ວຍພື້ນທີ່ທີ່ວັດຕາມເລຂາຄະນິດຂອງການຈັດວາງປັດຈຸບັນ. ອົງປະກອບ \(\sigma_{ij}\) ແທນອົງປະກອບທິດ \(x_i\) ຂອງແຮງຕໍ່ຫົວໜ່ວຍພື້ນທີ່ເທິງຜິວນ້ອຍຫຼາຍທີ່ຕັ້ງສາກກັບແກນ \(x_j\) ໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນ.

ດັ່ງທີ່ຈະເຫັນຈາກກົດອະນຸລັກໂມເມນຕຳເຊິ່ງມຸມດ້ານລຸ່ມ, ຄວາມເຄັ້ນ Cauchy ເປັນເທນເຊີສົມມາດ

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ດັ່ງນັ້ນໃນ 3 ມິຕິຈຶ່ງມີອົງປະກອບອິດສະລະ 6 ອົງປະກອບ (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). ການຂຽນຄວາມເຄັ້ນເປັນເວັກເຕີດ້ວຍ ຮູບສັນຍາລັກ Voigt ອາໄສຄວາມສົມມາດນີ້ (ເບິ່ງ ສັນຍາລັກເທນເຊີແລະພື້ນຖານຄະນິດສາດ). FrontISTR ໃຊ້ ຄວາມເຄັ້ນ Cauchy ເປັນຜົນລັບຄວາມເຄັ້ນໃນການວິເຄາະເລຂາຄະນິດແບບບໍ່ເປັນເສັ້ນດ້ວຍ Updated Lagrange ແລະການວິເຄາະການແປຮູບນ້ອຍ.

ຄວາມເຄັ້ນ Piola-Kirchhoff ອັນດັບ 1 ແລະ 2

ສຳລັບການແປຮູບຈຳກັດ ມັກສະດວກກວ່າທີ່ຈະສະແດງຄວາມເຄັ້ນໂດຍອ້າງອີງຜິວແລະເວັກເຕີໃນການຈັດວາງອ້າງອີງ, ຈຶ່ງນຳເຂົ້າ ເທນເຊີຄວາມເຄັ້ນ Piola-Kirchhoff ສອງຊະນິດ. ໃຫ້ພື້ນທີ່ຜິວນ້ອຍຫຼາຍໃນການຈັດວາງອ້າງອີງເປັນ \(d\Gamma_0\) ແລະເວັກເຕີຫົວໜ່ວຍຕັ້ງສາກອອກນອກເປັນ \(\boldsymbol{N}\).

ຄວາມເຄັ້ນ Piola-Kirchhoff ອັນດັບ 1 (ຄວາມເຄັ້ນ PK ອັນດັບ 1, ຄວາມເຄັ້ນນາມ) \(\boldsymbol{P}\) ຖືກກຳນົດເປັນເທນເຊີຄວາມເຄັ້ນເມື່ອແຮງ \(d\boldsymbol{f}\) ໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນກະທຳຕໍ່ຜິວນ້ອຍຫຼາຍໃນການຈັດວາງອ້າງອີງ:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

ກຳນົດໄດ້ດັ່ງນີ້. ຈາກສູດຂອງ Nanson \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) ແລະທິດສະດີຄວາມເຄັ້ນຂອງ Cauchy ຈະໄດ້ຄວາມສຳພັນກັບ ຄວາມເຄັ້ນ Cauchy

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

ຈະໄດ້ຄວາມສຳພັນນີ້. ຄວາມເຄັ້ນ PK ອັນດັບ 1 ໂດຍທົ່ວໄປບໍ່ແມ່ນເທນເຊີສົມມາດ.

ຄວາມເຄັ້ນ Piola-Kirchhoff ອັນດັບ 2 (ຄວາມເຄັ້ນ PK ອັນດັບ 2) \(\boldsymbol{S}\) ຖືກກຳນົດເປັນເທນເຊີຄວາມເຄັ້ນທີ່ໄດ້ຈາກການດຶງແຮງ \(d\boldsymbol{f}\) ໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນກັບໄປຫາການຈັດວາງອ້າງອີງດ້ວຍ \(\boldsymbol{F}^{-1}\) ແລ້ວນຳໄປກະທຳຕໍ່ຜິວນ້ອຍຫຼາຍໃນການຈັດວາງອ້າງອີງ:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

ທັງເວັກເຕີແຮງແລະຜິວທີ່ຮັບແຮງຖືກສະແດງດ້ວຍປະລິມານໃນການຈັດວາງອ້າງອີງ, ດັ່ງນັ້ນຈຶ່ງບໍ່ປ່ຽນພາຍໃຕ້ການໝູນຮ່າງແຂງ ແລະເປັນເທນເຊີສົມມາດ. ຄວາມສຳພັນກັບ ຄວາມເຄັ້ນ PK ອັນດັບ 1 ແລະສູດແປງຈາກ ຄວາມເຄັ້ນ Cauchy ແມ່ນ

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

ຄວາມເຄັ້ນ PK ອັນດັບ 2 ໄດ້ມາຈາກຟັງຊັນພະລັງງານຄວາມເຄັ່ງແບບ ໄຮເປີອີລາສຕິກ \(W(\boldsymbol{C})\) ເປັນ \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) ແລະໃນວິທີ Total Lagrange ຖືກໃຊ້ຄູ່ກັບ Green-Lagrange ຄວາມເຄັ່ງ \(\boldsymbol{E}\) ເປັນຄູ່ ຄູ່ຄອນຈູເກດດ້ານວຽກ \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

ການຈັດວາງອ້າງອີງແລະຄຸນສົມບັດຄວາມສົມມາດສະຫຼຸບໄວ້ໃນຕາຕະລາງຕໍ່ໄປນີ້. ໃນຂີດຈຳກັດການແປຮູບນ້ອຍ (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)), ຄວາມເຄັ້ນທັງສາມຊະນິດຈະກົງກັນ.

ເທນເຊີຄວາມເຄັ້ນ ຜິວອ້າງອີງ ເວັກເຕີແຮງ ຄວາມສົມມາດ ການນຳໃຊ້
ຄວາມເຄັ້ນ Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) ການຈັດວາງປັດຈຸບັນ \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) ການຈັດວາງປັດຈຸບັນ \(d\boldsymbol{f}\) ສົມມາດ ວິທີ Updated Lagrange / ການວິເຄາະການແປຮູບນ້ອຍ
ຄວາມເຄັ້ນ PK ອັນດັບ 1 \(\boldsymbol{P}\) ການຈັດວາງອ້າງອີງ \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) ການຈັດວາງປັດຈຸບັນ \(d\boldsymbol{f}\) ໂດຍທົ່ວໄປບໍ່ສົມມາດ ສົມຜົນສົມດຸນໃນການຈັດວາງອ້າງອີງ
ຄວາມເຄັ້ນ PK ອັນດັບ 2 \(\boldsymbol{S}\) ການຈັດວາງອ້າງອີງ \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) ການຈັດວາງອ້າງອີງ \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) ສົມມາດ ວິທີ Total Lagrange / ພຶດຕິກຳໄຮເປີອີລາສຕິກ

ການອະນຸລັກມວນແລະໂມເມນຕຳ ແລະສົມຜົນສົມດຸນ

ໃຫ້ \(\rho\) ເປັນຄວາມໜາແໜ້ນມວນໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນ ແລະ \(\rho_0\) ເປັນຄວາມໜາແໜ້ນມວນໃນການຈັດວາງອ້າງອີງ. ກົດອະນຸລັກມວນ \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) ຮ່ວມກັບການແປງອົງປະກອບປະລິມາດ \(dv = J\, dV\) ໃຫ້ຮູບແບບສະເພາະທີ່

\[ \rho_0 = J \rho \]

ນີ້ແມ່ນຄວາມສຳພັນການອະນຸລັກມວນໃນຮູບແບບສະເພາະ.

ໃຫ້ \(\boldsymbol{g}\) ເປັນແຮງປະລິມາດຕໍ່ຫົວໜ່ວຍມວນ ແລະ \(\boldsymbol{a}\) ເປັນຄວາມເລັ່ງ. ການນຳທິດສະດີຄວາມເຄັ້ນຂອງ Cauchy ແລະທິດສະດີ ໄດເວີເຈນສ໌ ຂອງ Gauss ໄປໃຊ້ກັບກົດອະນຸລັກໂມເມນຕຳເຊິ່ງເສັ້ນ (ກົດການເຄື່ອນທີ່ຂໍ້ທີ 1 ຂອງ Euler) ຈະໄດ້ ສົມຜົນສົມດຸນ (ສົມຜົນການເຄື່ອນທີ່) ໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນ:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

ເມື່ອຂຽນອິນທິກຣັນໃໝ່ໃນການຈັດວາງອ້າງອີງໂດຍໃຊ້ສູດຂອງ Nanson ແລະ \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) ຈະໄດ້ຮູບແບບສະເພາະໃນການຈັດວາງອ້າງອີງ:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

ທັງສອງຮູບແບບສົມມູນກັນຜ່ານກົດແປງຄວາມເຄັ້ນ ແລະ \(\rho_0 = J\rho\). ເມື່ອລະເລີຍພະຈຳນວນ ຄວາມເສື່ອຍ ຈະໄດ້

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

ເຊິ່ງເປັນສົມຜົນສົມດຸນສະຖິດ ແລະເປັນສົມຜົນຕັ້ງຕົ້ນຂອງການວິເຄາະສະຖິດ (ເຊິ່ງເສັ້ນແລະບໍ່ເປັນເສັ້ນ) ໃນ FrontISTR.

ການອະນຸລັກໂມເມນຕຳເຊິ່ງມຸມແລະຄວາມສົມມາດຂອງຄວາມເຄັ້ນ

ການປະສົມກົດອະນຸລັກໂມເມນຕຳເຊິ່ງມຸມ (ກົດການເຄື່ອນທີ່ຂໍ້ທີ 2 ຂອງ Euler) ກັບສົມຜົນສົມດຸນຈາກກົດອະນຸລັກໂມເມນຕຳ ຈະນຳໄປສູ່ ຄວາມສົມມາດຂອງ ເທນເຊີຄວາມເຄັ້ນ Cauchy

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ດັ່ງນັ້ນໃນ 3 ມິຕິຈຶ່ງມີອົງປະກອບອິດສະລະ 6 ອົງປະກອບ. ຈາກການ ການສະຫຼັບແຖວ-ຖັນ ສອງຂ້າງຂອງສູດແປງ \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) ແລະຄວາມ ຜັນກັບໄດ້ ຂອງ \(\boldsymbol{F}\) ຈະໄດ້ວ່າ ຄວາມເຄັ້ນ PK ອັນດັບ 2 ກໍສົມມາດ

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

ແລະມີອົງປະກອບອິດສະລະ 6 ອົງປະກອບ. ໃນທາງກົງກັນຂ້າມ ຄວາມເຄັ້ນ PK ອັນດັບ 1 \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) ໂດຍທົ່ວໄປບໍ່ສົມມາດ; ມີພຽງຄວາມສຳພັນ \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (ນັ່ນຄື \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) ສົມມາດ) ແລະມີອົງປະກອບອິດສະລະ 9 ອົງປະກອບ.

ຄວາມສົມມາດເຫຼົ່ານີ້ເປັນພື້ນຖານຂອງການຂຽນຄວາມເຄັ້ນເປັນເວັກເຕີ 6 ອົງປະກອບດ້ວຍ ຮູບສັນຍາລັກ Voigt. ສຳລັບຂໍ້ກຳນົດ ຮູບສັນຍາລັກ Voigt ແລະການສ້າງເມທຣິກວັດສະດຸ ໃຫ້ເບິ່ງ ສັນຍາລັກເທນເຊີແລະພື້ນຖານຄະນິດສາດ ແລະ ຄວາມຍືດຫຍຸ່ນເຊິ່ງເສັ້ນ.

ຫົວຂໍ້ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ