Skip to content

ຫຼັກການງານສະເໝືອນ

ອີງໃສ່ສົມຜົນສົມດຸນແລະເງື່ອນໄຂຂອບເຂດທີ່ຫາໄດ້ໃນ ຄວາມເຄັ້ນແລະກົດການອະນຸລັກ, ຈະຫາ ຫຼັກການງານສະເໝືອນ ເຊິ່ງເປັນຮູບອ່ອນຂອງບັນຫາຄ່າຂອບເຂດໃນກົນສາດສື່ຕໍ່ເນື່ອງ. ການແຍກດິສຄຣີດດ້ວຍວິທີໄຟນາຍເອເລເມັນເລີ່ມຈາກຮູບອ່ອນນີ້. ບົດນີ້ສະແດງທັງຮູບໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນ (ສະແດງດ້ວຍຄວາມເຄັ້ນ Cauchy ແລະສ່ວນເສັ້ນຊື່ຂອງຄວາມເຄັ່ງ Almansi) ແລະຮູບໃນການຈັດວາງອ້າງອີງ (ສະແດງດ້ວຍຄວາມເຄັ້ນ Piola-Kirchhoff ອັນດັບ 2 ແລະຄວາມເຄັ່ງ Green-Lagrange), ສະແດງວ່າທັງສອງເທົ່າທຽມກັນ ແລ້ວກວດການຫຼຸດສູ່ການປ່ຽນຮູບນ້ອຍ.

ສົມຜົນສົມດຸນແລະເງື່ອນໄຂຂອບເຂດ

ໃຫ້ \(\boldsymbol{g}\) ເປັນແຮງວັດຖຸຕໍ່ໜ່ວຍມວນທີ່ກະທຳຕໍ່ສື່ຕໍ່ເນື່ອງ, ແລະພິຈາລະນາວັດຖຸທີ່ຄອບຄອງເຂດ \(\Omega\) ໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນ. ຂອບເຂດ \(\Gamma\) ຖືກແບ່ງເປັນຂອບເຂດທາງເລຂາຄະນິດ \(\Gamma_B\) ທີ່ກຳນົດການກະຈັດເປັນ \(\bar{\boldsymbol{u}}\) ແລະຂອບເຂດທາງກົນສາດ \(\Gamma_t\) ທີ່ກຳນົດແຮງຜິວເປັນ \(\bar{\boldsymbol{t}}\), ໂດຍ \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) ແລະ \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). ສຳລັບບັນຫາສະຖິດ ຈະໃຊ້ສົມຜົນສົມດຸນທີ່ລະພົດຄວາມເຉື່ອຍຈາກກົດອະນຸລັກໂມເມນຕຳທີ່ສະແດງໃນ ຄວາມເຄັ້ນແລະກົດການອະນຸລັກ:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

ເປັນສົມຜົນສົມດຸນ. ເງື່ອນໄຂຂອບເຂດແມ່ນ

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

ດັ່ງນີ້. ຕໍ່ໄປຈະຫາຫຼັກການງານສະເໝືອນເປັນຮູບອ່ອນຂອງສົມຜົນສົມດຸນແລະເງື່ອນໄຂຂອບເຂດທາງກົນສາດ \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). ເງື່ອນໄຂຂອບເຂດທາງເລຂາຄະນິດ \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) ຖືກລວມຜ່ານການເລືອກຟັງຊັນທົດສອບ.

ຮູບອ່ອນໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນ

ໃນຮູບອ່ອນ ກຳນົດປະລິພູມທີ່ຍອມຮັບໄດ້ຂອງການກະຈັດບໍ່ຮູ້ຄ່າ ແລະປະລິພູມຟັງຊັນທົດສອບຕາມລຳດັບເປັນ

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

ໃນນີ້ \(d\) ແມ່ນມິຕິຂອງປະລິພູມ, \(H^1(\Omega)\) ແມ່ນປະລິພູມ Sobolev ຂອງຟັງຊັນທີ່ສາມາດອິນທິເກຣດກຳລັງສອງໄດ້ພ້ອມກັບອະນຸພັນອ່ອນອັນດັບ 1, ແລະ \(\delta\) ແມ່ນສັນຍາລັກການແປຜັນ. ໃນຮູບການຈັດວາງປັດຈຸບັນ \(\Omega\) ແມ່ນການຈັດວາງຫຼັງການປ່ຽນຮູບ; ໃນວິທີແກ້ເຊີງຕົວເລກຈິງ ຈະດຶງກັບໄປຫາການຈັດວາງອ້າງອີງ ຫຼືການຈັດວາງກາງທີ່ຮູ້ແລ້ວ.

ເມື່ອຄູນສົມຜົນສົມດຸນດ້ວຍນ້ຳໜັກ \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) ແລະນຳທິດສະດີບົດ divergence ຂອງ Gauss ກັບເງື່ອນໄຂຂອບເຂດທາງກົນສາດມາໃຊ້ ຈະໄດ້ຫຼັກການງານສະເໝືອນໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນດັ່ງນີ້.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

ໃນນີ້ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) ແມ່ນ ສ່ວນເສັ້ນຊື່ຂອງເທນເຊີຄວາມເຄັ່ງ Almansi, ນິຍາມໂດຍ

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

ການແປຜັນຂອງມັນແມ່ນ \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). ນັ້ນຄື ຕ້ອງຫາ \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) ໃຫ້ສົມຜົນງານສະເໝືອນເປັນຈິງສຳລັບ \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) ໃດໆ. ຝັ່ງຊ້າຍແມ່ນງານສະເໝືອນຂອງແຮງພາຍໃນ ແລະຝັ່ງຂວາແມ່ນງານສະເໝືອນຂອງແຮງພາຍນອກຈາກແຮງຜິວທີ່ກຳນົດແລະແຮງວັດຖຸ.

ເນື່ອງຈາກສົມຜົນນີ້ຂຽນເທິງເຂດຫຼັງການປ່ຽນຮູບ (ການຈັດວາງປັດຈຸບັນ), ໃນວິທີແກ້ຈິງຈະເລືອກການຈັດວາງເລີ່ມຕົ້ນ \(\Omega_0\) (ການຈັດວາງອ້າງອີງ) ຫຼືການຈັດວາງກາງທີ່ຮູ້ແລ້ວເປັນການຈັດວາງອ້າງອີງ, ຂຽນໃໝ່ເປັນຮູບເພີ່ມແລ້ວຈຶ່ງແກ້. ສຳລັບການເລືອກການຈັດວາງອ້າງອີງສະເພາະ (Total Lagrange / Updated Lagrange) ແລະການແຍກເພີ່ມ ໃຫ້ເບິ່ງ ກອບການວິເຄາະເພີ່ມ.

ຮູບອ່ອນໃນການຈັດວາງເລີ່ມຕົ້ນ

ພິຈາລະນາວັດຖຸທີ່ຄອບຄອງເຂດ \(\Omega_0\) ໃນການຈັດວາງອ້າງອີງ ແລະແບ່ງຂອບເຂດ \(\Gamma_0\) ເປັນ \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). ເມື່ອດຶງຮູບການຈັດວາງປັດຈຸບັນກັບໄປຫາການຈັດວາງອ້າງອີງ ຄູ່ຄວາມເຄັ້ນ-ຄວາມເຄັ່ງຄູ່ກັນຈະເປັນຄວາມເຄັ້ນ Piola-Kirchhoff ອັນດັບ 2 \(\boldsymbol{S}\) ແລະຄວາມເຄັ່ງ Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\). ຫຼັກການງານສະເໝືອນໃນການຈັດວາງເລີ່ມຕົ້ນຈຶ່ງເປັນ

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

ໃນນີ້ \(\rho_0\) ແມ່ນຄວາມໜາແໜ້ນມວນໃນການຈັດວາງອ້າງອີງ ແລະດ້ວຍກົດອະນຸລັກມວນ \(\rho_0 = J\rho\) ຈຶ່ງເທົ່າທຽມກັບການສະແດງແຮງປະລິມາດໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນ.

ຄວາມເທົ່າທຽມກັນຂອງຮູບການຈັດວາງປັດຈຸບັນແລະການຈັດວາງເລີ່ມຕົ້ນ

ງານສະເໝືອນຂອງແຮງພາຍໃນໃນສອງຮູບຈະກົງກັນຜ່ານການແປງດ້ວຍເກຣດຽນການປ່ຽນຮູບ \(\boldsymbol{F}\) ແລະອັດຕາສ່ວນປະລິມາດ \(J = \det \boldsymbol{F}\), ນັ້ນຄື

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

ພົດແຮງພາຍນອກກໍເທົ່າທຽມກັນດ້ວຍກົດອະນຸລັກມວນແລະການແປງແຮງຜິວ. ດັ່ງນັ້ນ ສົມຜົນງານສະເໝືອນໃນການຈັດວາງປັດຈຸບັນ ແລະສົມຜົນງານສະເໝືອນໃນການຈັດວາງເລີ່ມຕົ້ນ ແມ່ນຫຼັກການດຽວກັນທີ່ສະແດງໃນການຈັດວາງຕ່າງກັນ. ວິທີແກ້ທີ່ອ້າງອີງການຈັດວາງອ້າງອີງສອດຄ່ອງກັບວິທີ Total Lagrange, ສ່ວນວິທີແກ້ທີ່ອ້າງອີງການຈັດວາງປັດຈຸບັນ (ການຈັດວາງທີ່ລູ່ເຂົ້າທັນທີກ່ອນໜ້າ) ສອດຄ່ອງກັບວິທີ Updated Lagrange.

ການຫຼຸດສູ່ການປ່ຽນຮູບນ້ອຍ

ພາຍໃຕ້ສົມມຸດຖານການປ່ຽນຮູບນ້ອຍ \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) ແລະ \(J \approx 1\), ຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງການຈັດວາງປັດຈຸບັນແລະການຈັດວາງອ້າງອີງຈະຫາຍໄປ, ຄວາມເຄັ້ນ PK ອັນດັບ 2 ຈະກົງກັບຄວາມເຄັ້ນ Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), ແລະທັງຄວາມເຄັ່ງ Green-Lagrange ແລະສ່ວນເສັ້ນຊື່ຂອງຄວາມເຄັ່ງ Almansi ຈະຫຼຸດສູ່ຄວາມເຄັ່ງນ້ອຍ \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

ໃນເວລານີ້ ຫຼັກການງານສະເໝືອນຈະຫຼຸດສູ່ຮູບອ່ອນທີ່ສະແດງດ້ວຍຄວາມເຄັ້ນ Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) ແລະຄວາມເຄັ່ງນ້ອຍ \(\boldsymbol{\varepsilon}\)

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

ຮູບນີ້ແມ່ນຮູບອ່ອນທີ່ໃຊ້ໂດຍກົງສຳລັບການແຍກດິສຄຣີດໃນການວິເຄາະສະຖິດອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່ທີ່ມີການປ່ຽນຮູບນ້ອຍ (ການວິເຄາະສະຖິດອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່ (ບົດນຳ / ພາກຜະນວກ) ເລີ່ມຈາກຮູບນີ້ ແລະສະແດງຕັ້ງແຕ່ການສ້າງຄວາມແຂງຂອງອົງປະກອບ \(\boldsymbol{K}^e\) ຈົນເຖິງການປະກອບສົມຜົນລວມ \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

ເມື່ອແທນກົດຄວາມສຳພັນອີລາສຕິກເສັ້ນຊື່ \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) ແລະຂຽນເປັນ \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ໃນ ສັນຍາລັກ Voigt, ຮູບອ່ອນຈະເປັນ

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

ໃນຮູບນີ້.

ຫົວຂໍ້ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ