ສັນຍາລັກເທນເຊີ ແລະ ພື້ນຖານຄະນິດສາດ¶

ບົດນີ້ຮວບຮວມກົດຂອງສັນຍາລັກເທນເຊີ, ສັນຍາລັກດັດຊະນີ ແລະ ສັນຍາລັກ Voigt ທີ່ໃຊ້ໃນບົດຕໍ່ໆໄປຂອງຄູ່ມືທິດສະດີ FrontISTR. ທີ່ນີ້ອະທິບາຍສະເພາະ ກົດສັນຍາລັກລ້ວນໆ ທີ່ບໍ່ຂຶ້ນກັບຄຳນິຍາມຂອງປະລິມານທາງຟີຊິກ. ກົດສັນຍາລັກທີ່ຂຶ້ນກັບການຈັດວາງຂອງການເຄື່ອນໄຫວຕໍ່ເນື່ອງ (ການຈັດວາງອ້າງອີງ/ປັດຈຸບັນ), ເຊັ່ນ ການແຍກຕົວພິມໃຫຍ່/ນ້ອຍ ແລະ ອະນຸພັນວັດສະດຸ/ປະລິພູມ, ຢູ່ໃນ ການເຄື່ອນໄຫວ, ການປ່ຽນຮູບ ແລະ ຄວາມເຄັ່ງ, ຊຶ່ງນຳສະເໜີແນວຄິດການຈັດວາງ.

ສັນຍາລັກເທນເຊີ¶

ການຂຽນເວັກເຕີ ແລະ ເທນເຊີດ້ວຍຕົວໜາ¶

ຕາມກົດການຈັດຮູບແບບ, ປະລິມານສະກາລາ ແລະ ອົງປະກອບ ຂອງເວັກເຕີ/ເທນເຊີຂຽນດ້ວຍຕົວປົກກະຕິ (ເຊັ່ນ \(\rho\), \(x_i\)), ສ່ວນ ປະລິມານເວັກເຕີ/ເທນເຊີເອງ ຂຽນດ້ວຍຕົວໜາ (ເຊັ່ນ \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\)).

ກົດການຮວບລວມ Einstein¶

ເວັ້ນແຕ່ຈະລະບຸເປັນຢ່າງອື່ນ, ໃຊ້ກົດຜົນລວມ Einstein: ເມື່ອດັດຊະນີດຽວກັນປາກົດ 2 ຄັ້ງໃນພົດດຽວ, ໃຫ້ຫາຜົນລວມຕາມດັດຊະນີນັ້ນ. ຕົວຢ່າງ:

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

ສຳລັບເທນເຊີ \(\boldsymbol{A}\) ແລະ \(\boldsymbol{B}\), ຜົນຄູນ \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) ມີອົງປະກອບ \(i,j\) ເປັນ

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

ຕາມກົດຂອງດັດຊະນີ, ເມື່ອ \(i, j, k, l, \ldots\) ຖືກໃຊ້ເປັນດັດຊະນີໂດຍບໍ່ມີຄຳອະທິບາຍເພີ່ມ ຈະໝາຍເຖິງດັດຊະນີຂອງອົງສາອິດສະລະ (\(1, 2, 3\) ໃນ 3 ມິຕິ), ສ່ວນອັກສອນກຣີກຕົວນ້ອຍ \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) ໝາຍເຖິງດັດຊະນີຂອງໂຫນດທີ່ປະກອບເອເລເມັນ.

ຜົນຄູນພາຍໃນ, ການສະຫຼັບແຖວ-ຖັນ ແລະ ຜົນຄູນເທນເຊີ¶

ການສະຫຼັບແຖວ-ຖັນຂອງເທນເຊີ \(\boldsymbol{A}\) ຂຽນເປັນ \(\boldsymbol{A}^T\). ຜົນຄູນພາຍໃນ (ການຮວບລວມສອງຊັ້ນ) ຂອງເທນເຊີອັນດັບສອງ \(\boldsymbol{A}\), \(\boldsymbol{B}\) ຂຽນເປັນ

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

ຜົນຄູນພາຍໃນຂອງເວັກເຕີ \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) ແມ່ນ \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), ແລະ ຜົນຄູນເທນເຊີແມ່ນ \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

ສັນຍາລັກ Voigt¶

ຄວາມເຄັ້ນ ແລະ ຄວາມເຄັ່ງເປັນເທນເຊີອັນດັບສອງທີ່ສົມມາດຕາມອົງສາອິດສະລະ, ແລະ ສຳປະສິດທີ່ສະແດງຄວາມສຳພັນເຊິ່ງເສັ້ນລະຫວ່າງພວກມັນເປັນເທນເຊີອັນດັບສີ່. ການຈັດການຮູບແບບນີ້ໂດຍກົງໃນໂປຣແກຣມບໍ່ດີທັງດ້ານຄ່າຄຳນວນ ແລະ ການຂຽນໂຄດ (ອາເຣຫຼາຍມິຕິ, ລູບຊ້ອນກັນຫຼາຍຊັ້ນ). ດັ່ງນັ້ນ ໂປຣແກຣມໄຟໄນຕ໌ເອເລເມັນທົ່ວໄປຈຶ່ງໃຊ້ຄວາມສົມມາດເພື່ອບີບອັດ ຄວາມເຄັ້ນ/ຄວາມເຄັ່ງເປັນເວັກເຕີຖັນ ແລະ ເທນເຊີຄວາມຍືດຫຍຸ່ນອັນດັບສີ່ເປັນເມທຣິກ 2 ມິຕິ. ນີ້ເອີ້ນວ່າສັນຍາລັກ Voigt.

ຈາກນີ້ໄປ, ຮູບແບບເມທຣິກ/ເວັກເຕີຂອງປະລິມານເທນເຊີ \(\boldsymbol{A}\) ຂຽນເປັນ \(\hat{A}\) ເພື່ອແຍກຈາກເທນເຊີຕົ້ນສະບັບ.

ການສະແດງຄວາມເຄັ້ນ ແລະ ຄວາມເຄັ່ງເປັນເວັກເຕີ¶

ສຳລັບເທນເຊີຄວາມເຄັ້ນສົມມາດ \(\boldsymbol{\sigma}\) ແລະ ເທນເຊີຄວາມເຄັ່ງ \(\boldsymbol{\varepsilon}\), ໃນ 2 ມິຕິ:

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

ໃນ 3 ມິຕິ:

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

ຈັດການເປັນເວັກເຕີຖັນດັ່ງຂ້າງເທິງ. ກົດດຽວກັນໃຊ້ກັບປະລິມານທີ່ໄດ້ມາເຊັ່ນ ຄ່າປ່ຽນແປງ ແລະ ດິຟເຟີເຣນຊຽນ. ຂໍໃຫ້ສັງເກດວ່າ ອົງປະກອບເສືອນຝັ່ງຄວາມເຄັ່ງມີຕົວຄູນ 2 (ຝັ່ງຄວາມເຄັ້ນບໍ່ມີ). ດ້ວຍຄວາມບໍ່ສົມມາດນີ້ ຜົນຄູນພາຍໃນຂອງເທນເຊີສາມາດຂຽນເປັນຜົນຄູນພາຍໃນຂອງເວັກເຕີ:

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

ຈຶ່ງຂຽນໄດ້ຢ່າງກະທັດຮັດ. ໃນການອິມພລີເມັນ ຕົວຄູນ 2 ຂອງອົງປະກອບຄວາມເຄັ່ງເສືອນ ຜິດພາດໄດ້ງ່າຍ, ຈຶ່ງຕ້ອງຈື່ກົດ “ຄວາມເຄັ້ນບໍ່ມີ / ຄວາມເຄັ່ງມີ”. ກົດ Voigt ດຽວກັນນີ້ໃຊ້ກັບປະລິມານໃນການຈັດວາງອ້າງອີງ (ຄວາມເຄັ້ນ Piola-Kirchhoff ອັນດັບ 2 \(\boldsymbol{S}\) ແລະ ຄວາມເຄັ່ງ Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\)) ຢ່າງຄືກັນ.

ການສະແດງເທນເຊີອັນດັບສີ່ເປັນເມທຣິກ¶

ສຳລັບຄວາມສຳພັນເຊິ່ງເສັ້ນລະຫວ່າງຄວາມເຄັ້ນ ແລະ ຄວາມເຄັ່ງ \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (ໃນຮູບອົງປະກອບ \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), ເມື່ອໃຊ້ຄວາມສົມມາດຂອງ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ຈະໄດ້

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

ສາມາດຂຽນໃໝ່ໄດ້. ໃນ 3 ມິຕິ, ເມື່ອຈັດ \(\tilde{C}\) ເປັນເມທຣິກວັດສະດຸ 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\), ຄວາມສຳພັນເທນເຊີເດີມສາມາດຂຽນເປັນ

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

ຈາກນີ້ໄປໃນຄູ່ມືນີ້, ເວັ້ນແຕ່ລະບຸຢ່າງອື່ນ, ເມທຣິກວັດສະດຸຂຽນເປັນ \(D\) (ຫຼື \(\hat{C}\)). ສຳລັບອົງປະກອບສະເພາະຂອງຄວາມຍືດຫຍຸ່ນເຊິ່ງເສັ້ນແບບໄອໂຊໂທຣປິກ ໃຫ້ເບິ່ງ ຄວາມຍືດຫຍຸ່ນເຊິ່ງເສັ້ນ.

ກົດຂອງຕົວດຳເນີນການອະນຸພັນ¶

ຕົວດຳເນີນການເກຣດຽນສົມມາດ¶

ສຳລັບສະໜາມເວັກເຕີ \(\boldsymbol{u}\), ກຳນົດ ຕົວດຳເນີນການເກຣດຽນສົມມາດ \(\nabla_S\) ເປັນ

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

ໃນຮູບອົງປະກອບ, \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). ຄວາມເຄັ່ງໃນການປ່ຽນຮູບນ້ອຍ \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) ສາມາດຂຽນໄດ້ກະທັດຮັດດ້ວຍຕົວດຳເນີນການນີ້. ການແຍກໃຊ້ການຈັດວາງ (ອ້າງອີງ/ປັດຈຸບັນ) ໃນການຫາເກຣດຽນຂອງການປ່ຽນຮູບຈຳກັດອະທິບາຍໃນ ການເຄື່ອນໄຫວ, ການປ່ຽນຮູບ ແລະ ຄວາມເຄັ່ງ.

ອະນຸພັນເວລາວັດສະດຸ¶

ອະນຸພັນເວລາວັດສະດຸຂອງປະລິມານ \(A\) (ອະນຸພັນເວລາທີ່ຕິດຕາມຈຸດວັດສະດຸດຽວກັນ) ຂຽນດ້ວຍຈຸດດ້ານເທິງເປັນ \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

ຄວາມໄວ ແລະ ຄວາມເລັ່ງໃຊ້ກົດນີ້.

ຫົວຂໍ້ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ¶

ການເຄື່ອນໄຫວ, ການປ່ຽນຮູບ ແລະ ຄວາມເຄັ່ງ — ແນວຄິດການຈັດວາງອ້າງອີງ/ປັດຈຸບັນ ແລະ ກົດສັນຍາລັກທີ່ຂຶ້ນກັບການຈັດວາງ (ຕົວໃຫຍ່/ນ້ອຍ, ອະນຸພັນວັດສະດຸ/ປະລິພູມ)
ຄວາມເຄັ້ນ ແລະ ກົດອະນຸລັກ — ການຫາສົມຜົນຄວບຄຸມໂດຍໃຊ້ສັນຍາລັກນີ້
ຫຼັກການວຽກສະເໝືອນ — ການໃຊ້ຮູບແບບອ່ອນ ແລະ ສັນຍາລັກ Voigt
ຄວາມຍືດຫຍຸ່ນເຊິ່ງເສັ້ນ — ຮູບສະເພາະຂອງເມທຣິກວັດສະດຸ \(D\)
ຟັງຊັນຮູບຮ່າງ ແລະ ການປະມານໄຟໄນຕ໌ເອເລເມັນ — ການຄຳນວນຄວາມແຂງຂອງເອເລເມັນດ້ວຍສັນຍາລັກ Voigt