Skip to content

ວິທີ Newton-Raphson

ການເຮັດໃຫ້ເປັນເຊິ່ງເສັ້ນ ແລະສູດວົນຊ້ຳ

ວຽກສະເໝືອນຂອງແຮງພາຍນອກ ແລະການປະກອບສົມຜົນລວມ ໃຫ້ສົມຜົນແບບບໍ່ເປັນເສັ້ນສຳລັບການເຄື່ອນຍ້າຍຂອງໂຫນດທີ່ເວລາ \(t_{n+1}\), \(\boldsymbol{u}_{n+1}\), ເຊິ່ງແກ້ດ້ວຍວິທີ Newton-Raphson. ສົມມຸດໃຫ້ການເຄື່ອນຍ້າຍຂອງໂຫນດຈົນເຖິງເວລາ \(t_n\), \(\boldsymbol{u}_n\), ເປັນຄ່າທີ່ຮູ້ແລ້ວ ແລະໃຫ້ຄ່າເພີ່ມການເຄື່ອນຍ້າຍ \(\Delta\boldsymbol{u}\) ເປັນຕົວແປບໍ່ຮູ້ຄ່າທີ່ຈະຫາ

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

ຕໍ່ໄປນີ້ຈະບໍ່ພິຈາລະນາການຂຶ້ນກັບການເຄື່ອນຍ້າຍຂອງໂຫນດຂອງເວັກເຕີແຮງພາຍນອກ ແລະໃຫ້ \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\),

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

ແລ້ວແກ້ສົມຜົນນີ້.

ທີ່ຄຳຕອບປັດຈຸບັນ \(\Delta\boldsymbol{u}\) ກຳນົດ ຄວາມແຂງສຳຜັດ ເປັນ

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

ເມື່ອໃຊ້ຄ່ານີ້ ການເຮັດສົມຜົນແບບບໍ່ເປັນເສັ້ນໃຫ້ເປັນເຊິ່ງເສັ້ນຈະໄດ້

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

ໃຫ້ຄ່າແກ້ໄຂໃນການວົນຊ້ຳຄັ້ງທີ \(i\) ເປັນ \(d\boldsymbol{u}_i\) ແລະໃຫ້ເວັກເຕີເສດເຫຼືອຕອນເລີ່ມການວົນຊ້ຳເປັນ

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

ດັ່ງນັ້ນ ສູດການວົນຊ້ຳແມ່ນ

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

ດັ່ງນັ້ນ ເສດເຫຼືອ \(\boldsymbol{R}_i\) ແມ່ນປະລິມານທີ່ສະແດງຄວາມບໍ່ສົມດຸນຂອງແຮງຈາກສະພາບສົມດຸນ.

ການສ້າງເມທຣິກຄວາມແຂງສຳຜັດ

ຄວາມແຂງສຳຜັດ \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\) ຖືກສ້າງໂດຍຫາອະນຸພັນບາງສ່ວນຂອງເວັກເຕີແຮງພາຍໃນຂອງເອເລເມັນທີ່ໄດ້ຈາກ ການດິສຄຣີດໄຕຊ໌ວຽກສະເໝືອນຂອງແຮງພາຍໃນ ຕາມການເຄື່ອນຍ້າຍຂອງໂຫນດ, ອິນທິເກຣດ ຟັງຊັນໃຕ້ອິນທິກຣັລ ລະດັບເອເລເມັນທີ່ໄດ້ໃນແຕ່ລະໂດເມນເອເລເມັນ ແລະນຳມາປະກອບເຂົ້າກັນ. ໃຫ້ ຟັງຊັນໃຕ້ອິນທິກຣັລ ລະດັບເອເລເມັນເປັນ \(\boldsymbol{K}^e_X\) (ສັນຍາລັກອີງ ສະພາບກຳນົດຮູບ ອ້າງອີງ, ສູດ TL) ຫຼື \(\boldsymbol{K}^e_x\) (ສັນຍາລັກອີງ ສະພາບກຳນົດຮູບ ປັດຈຸບັນ, ສູດ UL), ຄວາມແຂງສຳຜັດຂອງເອເລເມັນແມ່ນ

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

ຕໍ່ໄປນີ້ແມ່ນຮູບສຸດທ້າຍຂອງ ຟັງຊັນໃຕ້ອິນທິກຣັລ ສຳລັບ TL/UL. ທັງສອງກໍລະນີສາມາດແຍກເປັນຜົນບວກຂອງ ພົດຄວາມແຂງວັດສະດຸ (ພົດການເຄື່ອນຍ້າຍເລີ່ມຕົ້ນ) ແລະ ພົດຄວາມແຂງເລຂາຄະນິດ (ພົດຄວາມເຄັ້ນເລີ່ມຕົ້ນ).

ສູດ Total Lagrange

ໃນສູດ Total Lagrange ສົມມຸດຄວາມສຳພັນເຊິ່ງເສັ້ນລະຫວ່າງອັດຕາຂອງ ຄວາມເຄັ້ນ Piola-Kirchhoff ອັນດັບ 2 \(\dot{\boldsymbol{S}}\) ແລະ ອັດຕາຄວາມຄຽດ Green-Lagrange \(\dot{\boldsymbol{E}}\), ຄື \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\). ນີ້ສອດຄ່ອງກັບກົດປະກອບສຳລັບວັດສະດຸ ອີລາສຕິກເຊິ່ງເສັ້ນ (St. Venant-Kirchhoff ວັດສະດຸ) ແລະ ໄຮເປີອີລາສຕິກ ວັດສະດຸ, ແລະ FrontISTR ໃຊ້ສູດ Total Lagrange ສຳລັບວັດສະດຸເຫຼົ່ານີ້. ຟັງຊັນໃຕ້ອິນທິກຣັລ ຂອງຄວາມແຂງສຳຜັດຂອງເອເລເມັນຈຶ່ງຂຽນໃນຮູບ ເທນເຊີ ໄດ້ເປັນ

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

ພົດທຳອິດທາງຂວາແມ່ນ ພົດຄວາມແຂງວັດສະດຸ (ພົດການເຄື່ອນຍ້າຍເລີ່ມຕົ້ນ) ແລະພົດທີສອງແມ່ນ ພົດຄວາມແຂງເລຂາຄະນິດ (ພົດຄວາມເຄັ້ນເລີ່ມຕົ້ນ).

ໃນການປະຕິບັດຂອງ FrontISTR, ຟັງຊັນໃຕ້ອິນທິກຣັລ ນີ້ຖືກຄຳນວນໃນຮູບເມທຣິກໂດຍໃຊ້ສັນຍາລັກ Voigt:

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

ເມທຣິກແຕ່ລະອັນແມ່ນດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) ແມ່ນ ເມທຣິກ B ທີ່ນຳສະເໜີໃນ ການດິສຄຣີດໄຕຊ໌ວຽກສະເໝືອນຂອງແຮງພາຍໃນ, ແລະ \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) ແມ່ນການສະແດງ ເທນເຊີ ກົດປະກອບ \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) ໃນ ສັນຍາລັກ Voigt, ຄືເມທຣິກຄວາມແຂງວັດສະດຸ \(6\times 6\) (ສັນຍາລັກ ເທນເຊີ ແລະພື້ນຖານຄະນິດສາດ). \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) ແມ່ນເມທຣິກຈັດຮຽງຕໍ່ໄປນີ້ທີ່ໃຊ້ເພື່ອສະແດງພົດຄວາມແຂງເລຂາຄະນິດເປັນຜົນຄູນເມທຣິກ. ກ່ອນອື່ນ ສຳລັບ ເທນເຊີ ອັນດັບສອງ \(3\times 3\) \(\boldsymbol{A}\) ກຳນົດສັນຍາລັກ \([\,\cdot\,]\) ທີ່ຈັດຮຽງມັນເປັນເວັກເຕີ 9 ອົງປະກອບດັ່ງນີ້

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

ດ້ວຍນິຍາມນີ້ \(\boldsymbol{F}_9\) ສະແດງ ການແປຜັນ ຂອງ ເກຣດຽນການປ່ຽນຮູບ ໃນຮູບ \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) ແລະເປັນເມທຣິກ \(9\times d n_e\). ສຳລັບໂຫນດເອເລເມັນ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\), ບລັອກ \(9\times d\) ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງແມ່ນ

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ ແມ່ນ } 3\times 3 \text{ ເມທຣິກເອກະລັກ}) \]

ແລະກຳນົດໃຫ້ \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\) ໂດຍຈັດບລັອກຕາມແນວນອນຕາມລຳດັບໂຫນດເອເລເມັນ. \(\boldsymbol{S}_9\) ຖືກເລືອກໃຫ້ເມື່ອປະສົມກັບເມທຣິກນີ້ ພົດຄວາມແຂງເລຂາຄະນິດສາມາດສະແດງເປັນ \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\); ມັນແມ່ນເມທຣິກ \(9\times 9\) ຕໍ່ໄປນີ້

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

ເມທຣິກທີ່ໄດ້ແມ່ນດັ່ງນີ້.

ສູດ Updated Lagrange

ໃນສູດ Updated Lagrange ສົມມຸດຄວາມສຳພັນເຊິ່ງເສັ້ນລະຫວ່າງ ອັດຕາ Jaumann ຂອງ ຄວາມເຄັ້ນ Kirchhoff ສຳພັນ ເທນເຊີ \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) ແລະ ອັດຕາການປ່ຽນຮູບ ເທນເຊີ \(\boldsymbol{D}\), ຄື \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\). ນີ້ແມ່ນຮູບຂອງກົດປະກອບ ໄຮໂປອີລາສຕິກ ທີ່ໃຊ້ຮ່ວມກັນສຳລັບວັດສະດຸ ອີລາສຕິກເຊິ່ງເສັ້ນ, ອີລາສໂຕພລາສຕິກ ແລະ ການຄືບ, ແລະ FrontISTR ໃຊ້ສູດ Updated Lagrange ສຳລັບວັດສະດຸເຫຼົ່ານີ້. ຟັງຊັນໃຕ້ອິນທິກຣັລ ຂອງຄວາມແຂງສຳຜັດຂອງເອເລເມັນທີ່ສະແດງໃນ ສະພາບກຳນົດຮູບ ປັດຈຸບັນຈຶ່ງຂຽນໃນຮູບ ເທນເຊີ ໄດ້ເປັນ

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

ໂດຍທີ່ \(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) ແມ່ນ ອັດຕາ Truesdell, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) ແມ່ນສ່ວນເຊິ່ງເສັ້ນຂອງ ຄວາມຄຽດ Almansi, \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) ແມ່ນ ເກຣດຽນການເຄື່ອນຍ້າຍ ອີງຕາມ ສະພາບກຳນົດຮູບ ປັດຈຸບັນ ແລະ \(\boldsymbol{L}\) ແມ່ນ ຄວາມໄວ-ເກຣດຽນ ເທນເຊີ. ພົດທຳອິດທາງຂວາແມ່ນ ພົດຄວາມແຂງວັດສະດຸ, ແລະພົດທີສອງແມ່ນ ພົດຄວາມແຂງເລຂາຄະນິດ.

ໃນການປະຕິບັດຂອງ FrontISTR, ຟັງຊັນໃຕ້ອິນທິກຣັລ ນີ້ຖືກຄຳນວນໃນຮູບເມທຣິກໂດຍໃຊ້ສັນຍາລັກ Voigt:

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

ທີ່ນີ້ \(\boldsymbol{b}\) ແມ່ນ ເມທຣິກ B ທີ່ສ້າງໃນ ສະພາບກຳນົດຮູບ ປັດຈຸບັນ (ການດິສຄຣີດໄຕຊ໌ວຽກສະເໝືອນຂອງແຮງພາຍໃນ). \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) ໄດ້ຈາກ \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) ທີ່ກຳນົດສຳລັບສູດ TL ໂດຍແທນ ຄວາມເຄັ້ນ PK ອັນດັບ 2 \(\boldsymbol{S}\) ດ້ວຍ ຄວາມເຄັ້ນ Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) ແລະແທນ ເກຣດຽນ ຂອງ ສະພາບກຳນົດຮູບ ອ້າງອີງ \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ດ້ວຍ ເກຣດຽນ ຂອງ ສະພາບກຳນົດຮູບ ປັດຈຸບັນ \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\).

\(\boldsymbol{G}\) ແມ່ນເມທຣິກແກ້ໄຂທີ່ຂຶ້ນກັບ ຄວາມເຄັ້ນ Cauchy ເພື່ອເຮັດໃຫ້ກົດປະກອບ ໄຮໂປອີລາສຕິກ \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) ສອດຄ່ອງກັບກອບຄວາມແຂງສຳຜັດໃນຮູບກົດປະກອບອີງ ອັດຕາ Truesdell. ມັນໄດ້ຈາກການຈັດອົງປະກອບ ເທນເຊີ ອັນດັບສີ່ \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\) ເປັນຮູບ Voigt \(6\times 6\) ດັ່ງນີ້

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

ເມທຣິກທີ່ໄດ້ແມ່ນດັ່ງນີ້.

ການປະກອບເມທຣິກຄວາມແຂງລວມ

ຄວາມແຂງສຳຜັດລວມ \(\boldsymbol{K}\) ໄດ້ຈາກການແບ່ງຄວາມແຂງຂອງແຕ່ລະເອເລເມັນ \(\boldsymbol{K}^e\) ເປັນບລັອກ \(d\times d\) \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) ສຳລັບແຕ່ລະຄູ່ໂຫນດ ແລະໃຊ້ຊຸດການປະກອບ ເທນເຊີ ອັນດັບສອງ \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) ທີ່ນຳສະເໜີໃນ ການປະກອບປະລິມານກາຍະພາບທີ່ໂຫນດຂອງເອເລເມັນ:

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

ຄ່າທີ່ໄດ້ຈະຖືກຈັດເປັນເມທຣິກທີ່ມີແຖວ \(i_g\) ແລະຖັນ \(i_h\). ໃນການປະຕິບັດ ຊຸດ \(\mathcal{E}^2\) ບໍ່ຖືກສ້າງຢ່າງຊັດເຈນ; ແຕ່ບລັອກທີ່ກ່ຽວຂ້ອງຈະຖືກບວກເຂົ້າໂດຍກົງພາຍໃນ ວົງຮອບເອເລເມັນ. ເມທຣິກເປັນເມທຣິກຈະຕຸລັດທີ່ມີມິຕິເທົ່າກັບຈຳນວນ DOF ຕໍ່ໂຫນດ \(\times\) ຈຳນວນໂຫນດທັງໝົດ \(n_g\), ແຕ່ເນື່ອງຈາກອົງປະກອບອື່ນນອກຈາກລະຫວ່າງໂຫນດທີ່ເຊື່ອມກັນຜ່ານເອເລເມັນເປັນ \(0\), ຈຶ່ງເກັບໃນຮູບ ເມທຣິກກະຈາຍ.

ເມທຣິກຄວາມແຂງຂອງເອເລເມັນສຳລັບສູດ TL ແລະ UL ມີຮູບດຽວກັນ ຍົກເວັ້ນການສະຫຼັບ ສະພາບກຳນົດຮູບ ອ້າງອີງ (ພິກັດໂຫນດ ແລະແຫຼ່ງທີ່ໃຊ້ສ້າງ ເມທຣິກ B) ແລະການມີຫຼືບໍ່ມີເມທຣິກ \(\boldsymbol{G}\). ດັ່ງນັ້ນ FrontISTR ຈຶ່ງປະຕິບັດສູດທັງສອງໃນ ຮູທີນຍ່ອຍ ຮ່ວມກັນ.

ອັນກໍຣິທຶມການວົນຊ້ຳ

ໂດຍສະຫຼຸບ ຕອນເລີ່ມການວົນຊ້ຳ ໃຫ້ \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) ແລະຄຳນວນເສດເຫຼືອເລີ່ມຕົ້ນ \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\). ຈາກນັ້ນ ໃນການວົນຊ້ຳຄັ້ງທີ \(i\) ໃຫ້ດຳເນີນຂັ້ນຕອນຕໍ່ໄປນີ້.

  1. ທີ່ການເຄື່ອນຍ້າຍປັດຈຸບັນ \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) ຄຳນວນຄວາມແຂງສຳຜັດ \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) ຕາມຂັ້ນຕອນໃນ ການສ້າງເມທຣິກຄວາມແຂງສຳຜັດ.
  2. ເພື່ອນຳໃຊ້ເງື່ອນໄຂຂອບເຂດທາງເລຂາຄະນິດ ໃຫ້ດັດແປງເມທຣິກຄວາມແຂງສຳຜັດ ແລະເວັກເຕີເສດເຫຼືອສຳລັບ DOF ທີ່ມີຂໍ້ຈຳກັດການເຄື່ອນຍ້າຍ ເພື່ອໄດ້ \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) (ການຈັດການເງື່ອນໄຂຂອບເຂດທາງເລຂາຄະນິດ).
  3. ແກ້ສົມຜົນເຊິ່ງເສັ້ນ \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) ເພື່ອຫາຄ່າແກ້ໄຂ \(d\boldsymbol{u}_i\). ຂັ້ນຕອນນີ້ມັກຈະໃຊ້ພາລະການຄຳນວນສ່ວນໃຫຍ່ຂອງການຄຳນວນແບບວົນຊ້ຳ.
  4. ອັບເດດຄ່າເພີ່ມການເຄື່ອນຍ້າຍເປັນ \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\) ແລະຕາມນັ້ນຄຳນວນເວັກເຕີແຮງພາຍໃນ \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) ແລະເສດເຫຼືອ \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\).
  5. ກວດສອບການລູ່ເຂົ້າ ແລະຢຸດການວົນຊ້ຳຖ້າລູ່ເຂົ້າແລ້ວ. ໃນເສດເຫຼືອ \(\boldsymbol{R}_i\) ທີ່ DOF ທີ່ມີເງື່ອນໄຂຂອບເຂດທາງເລຂາຄະນິດຈະມີອົງປະກອບທີ່ສອດຄ່ອງກັບ ແຮງປະຕິກິລິຍາ ຂອງຂໍ້ຈຳກັດ, ດັ່ງນັ້ນຕົວຊີ້ວັດການລູ່ເຂົ້າຈະຖືກສ້າງຈາກ \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) ຫຼັງຈາກຕັດອົງປະກອບເຫຼົ່ານີ້ອອກ. ຕົວຊີ້ວັດ ແລະ ຄ່າເກນ ທີ່ໃຊ້ຈິງອະທິບາຍໃນ ເງື່ອນໄຂການລູ່ເຂົ້າ. ຖ້າບໍ່ລູ່ເຂົ້າ ແລະຮອດຂີດຈຳກັດຈຳນວນການວົນຊ້ຳ ໃຫ້ຖືວ່າການວົນຊ້ຳລົ້ມເຫຼວ.

ເມື່ອການວົນຊ້ຳລູ່ເຂົ້າ ໃຫ້ນຳ \(\Delta\boldsymbol{u}\) ທີ່ລູ່ເຂົ້າແລ້ວໄປບວກກັບ \(\boldsymbol{u}_n\) ເພື່ອໄດ້ການເຄື່ອນຍ້າຍສະສົມທີ່ເວລາ \(t_{n+1}\), \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\), ແລ້ວໄປຫາ ຂັ້ນເວລາ ຕໍ່ໄປ.

ຫົວຂໍ້ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ