ວິທີການວິເຄາະໄດນາມິກ¶

ພາກນີ້ສະແດງວິທີວິເຄາະບັນຫາໄດນາມິກໂດຍໃຊ້ວິທີອິນທິເກຣດເວລາໂດຍກົງ. ດ້ານລຸ່ມສະແດງການສ້າງສູດຂອງວິທີອິມພລິຊິດ ແລະ ເອັກສພລິຊິດ.

ການແຍກດິສຄຣີດສົມຜົນການເຄື່ອນທີ່ (ກອບຮ່ວມ)¶

TBD (ຈະຂຽນເນື້ອຫາໃນໄລຍະຕໍ່ໄປ).

ວິທີອິມພລິຊິດ (ວິທີ Newmark-β)¶

ສຳລັບບັນຫາໄດນາມິກ ໄດ້ນຳວິທີອິນທິເກຣດເວລາໂດຍກົງມາໃຊ້ແກ້ສົມຜົນການເຄື່ອນທີ່ທີ່ສະແດງດ້ານລຸ່ມ.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

ໃນນີ້ \(M\) ແມ່ນເມທຣິກມວນ, \(C\) ແມ່ນເມທຣິກການໜ່ວງ, \(Q\) ແມ່ນເວັກເຕີແຮງພາຍໃນ, ແລະ \(F\) ແມ່ນເວັກເຕີແຮງພາຍນອກ. ໝາຍເຫດວ່າ ເມທຣິກມວນຖືກສົມມຸດໃຫ້ຄົງທີ່ບໍ່ຂຶ້ນກັບການປ່ຽນຮູບ ແມ່ນແຕ່ໃນການວິເຄາະບໍ່ເປັນເສັ້ນ.

ການປ່ຽນແປງຂອງການກະຈັດ, ຄວາມໄວ ແລະຄວາມເລັ່ງພາຍໃນຄ່າເພີ່ມເວລາ \(\Delta t\) ຖືກປະມານດ້ວຍວິທີ Newmark-\(\beta\) ດັ່ງສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.5.2}\) ແລະ \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

ໃນນີ້ \(\gamma\) ແລະ \(\beta\) ແມ່ນພາຣາມິເຕີຂອງວິທີ Newmark-\(\beta\).

ດັ່ງທີ່ຮູ້ກັນດີ ເມື່ອຕັ້ງ \(\gamma\) ແລະ \(\beta\) ເປັນຄ່າຕໍ່ໄປນີ້ ຈະກົງກັບວິທີຄວາມເລັ່ງເສັ້ນຊື່ ຫຼືກົດສີ່ຫຼ່ຽມຄາງໝູ ຕາມລຳດັບ.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (ວິທີຄວາມເລັ່ງເສັ້ນຊື່)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (ກົດສີ່ຫຼ່ຽມຄາງໝູ)

ເມື່ອແທນສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.5.2}\) ແລະ \(\eqref{eq:2.5.3}\) ເຂົ້າໃນສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.5.1}\) ຈະໄດ້ສົມຜົນຕໍ່ໄປນີ້.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

ໂດຍສະເພາະ ສຳລັບບັນຫາເສັ້ນຊື່ \(K_L\) ແມ່ນເມທຣິກຄວາມແຂງເສັ້ນຊື່ ແລະ \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). ເມື່ອແທນຄວາມສຳພັນນີ້ເຂົ້າໃນສົມຜົນຂ້າງເທິງ ຈະໄດ້ສົມຜົນຕໍ່ໄປນີ້.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

ສຳລັບຕຳແໜ່ງທີ່ກຳນົດຄວາມເລັ່ງເປັນເງື່ອນໄຂຂອບເຂດທາງເລຂາຄະນິດ ຈະຫາການກະຈັດຈາກສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.5.2}\) ໄດ້ດັ່ງນີ້.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

ເຊັ່ນດຽວກັນ ສຳລັບຕຳແໜ່ງທີ່ກຳນົດຄວາມໄວ ຈະຫາການກະຈັດຈາກສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.5.6}\) ໄດ້ດັ່ງນີ້.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

ໃນນີ້, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) ແມ່ນການກະຈັດຂອງໂຫນດທີ່ເວລາ \(t+\Delta{t}\), ແລະ \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) ແມ່ນຄວາມໄວຂອງໂຫນດທີ່ເວລາ \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) ແມ່ນຄວາມເລັ່ງຂອງໂຫນດທີ່ເວລາ \(t+\Delta{t}\), \(i\) ແມ່ນເລກອົງສາອິດສະລະຂອງໂຫນດ, ແລະ \(s\) ແມ່ນເລກໂຫນດ. ການຈັດການພົດມວນແລະພົດການໜ່ວງແມ່ນດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້.

ການຈັດການພົດມວນ¶

ໂດຍຫຼັກການ ເມທຣິກມວນຖືກຈັດການເປັນເມທຣິກມວນແບບລວມຈຸດ.

ການຈັດການພົດການໜ່ວງ¶

ພົດການໜ່ວງຖືກຈັດການເປັນການໜ່ວງແບບ Rayleigh ທີ່ສະແດງໂດຍສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

ໃນນີ້ \(R_m\) ແລະ \(R_k\) ແມ່ນພາຣາມິເຕີຂອງການໜ່ວງແບບ Rayleigh.

ຄ່າ \(R_m\) ແລະ \(R_k\) ທີ່ກຳນົດໃນກາດ !DYNAMIC ຖືກນຳໃຊ້ຢ່າງສະເໝີກັບແບບຈຳລອງທັງໝົດ. ຖ້າຕ້ອງການກຳນົດ \(R_m\) ແລະ \(R_k\) ແຕກຕ່າງກັນຕາມວັດສະດຸ ໃຫ້ກຳນົດກາດ !DAMPING ພາຍໃນບລັອກ !MATERIAL ຂອງວັດສະດຸນັ້ນ. ສຳລັບອົງປະກອບທີ່ຢູ່ໃນວັດສະດຸທີ່ກຳນົດ !DAMPING, ເມທຣິກການໜ່ວງຂອງອົງປະກອບຈະຖືກຄຳນວນເປັນ \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) ຈາກເມທຣິກມວນຂອງອົງປະກອບ \(M_i\) ແລະເມທຣິກຄວາມແຂງແບບສຳຜັດ \(K_i\), ແລ້ວປະກອບເຂົ້າໃນເມທຣິກການໜ່ວງລວມ. ຟັງຊັນນີ້ມີຜົນສະເພາະກັບວິທີອິມພລິຊິດ.

ວິທີເອັກສພລິຊິດ (ວິທີຜົນຕ່າງກາງ)¶

ວິທີເອັກສພລິຊິດ ອີງໃສ່ສົມຜົນການເຄື່ອນທີ່ທີ່ເວລາ t ດັ່ງສົມຜົນຂ້າງລຸ່ມ.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

ໃນນີ້ ການກະຈັດທີ່ເວລາ \(t + \Delta t\) ແລະ \(t - \Delta t\) ຖືກສະແດງດ້ວຍ ການຂະຫຍາຍ Taylor ຮອບເວລາ \(t\); ເມື່ອເກັບພົດເຖິງລຳດັບສອງຂອງ \(\Delta t\) ຈະໄດ້ດັ່ງນີ້.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

ຈາກຜົນຕ່າງແລະຜົນບວກຂອງສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.5.3}\) ແລະ \(\eqref{eq:2.5.4}\) ຈະໄດ້ສົມຜົນຕໍ່ໄປນີ້.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

ເມື່ອແທນສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.5.12}\) ແລະ \(\eqref{eq:2.5.13}\) ເຂົ້າໃນສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.5.9}\) ຈະໄດ້ສົມຜົນຕໍ່ໄປນີ້.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

ໂດຍສະເພາະ ສຳລັບບັນຫາເສັ້ນຊື່ \(Q(t) = K_L U(t)\), ດັ່ງນັ້ນສົມຜົນຂ້າງເທິງຈະເປັນ

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

ໃນນີ້ ຖ້າຕັ້ງເມທຣິກມວນ \(M\) ເປັນເມທຣິກມວນແບບລວມຈຸດ ແລະເມທຣິກການໜ່ວງເປັນເມທຣິກການໜ່ວງສັດສ່ວນ \(C = R_m M\), ສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.5.15}\) ຈະບໍ່ຕ້ອງໃຊ້ການແກ້ລະບົບສົມຜົນພ້ອມກັນ.

ດັ່ງນັ້ນ ຈາກສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.5.15}\), \(U(t+\Delta t)\) ສາມາດຫາໄດ້ດ້ວຍສົມຜົນຕໍ່ໄປນີ້.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

ຫົວຂໍ້ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ¶

ປະເພດການວິເຄາະ — ພາບລວມຟັງຊັນແລະການເລືອກໃຊ້ການວິເຄາະໄດນາມິກ
ເອກະສານອ້າງອີງ