ການວິເຄາະໂໝດ¶

ບັນຫາຄ່າໄອເກນແບບທົ່ວໄປ¶

ໃນການວິເຄາະການສັ່ນເສລີຂອງສື່ຕໍ່ເນື່ອງ, ໂຄງສ້າງຈະຖືກດິສຄຣີຕຕາມອາວະກາດ ແລະຈຳລອງເປັນລະບົບຫຼາຍອົງສາອິດສະລະທີ່ມີມວນລວມເປັນຈຸດ ດັ່ງຮູບ 2.3.1. ສຳລັບບັນຫາການສັ່ນເສລີທີ່ບໍ່ມີການໜ່ວງ, ສົມຜົນຄວບຄຸມ (ສົມຜົນການເຄື່ອນທີ່) ແມ່ນດັ່ງນີ້.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

ໃນນີ້, $u$ ແມ່ນເວັກເຕີການເຄື່ອນຍ້າຍທົ່ວໄປ, $M$ ແມ່ນເມທຣິກມວນ ແລະ $K$ ແມ່ນເມທຣິກຄວາມແຂງ. ໃຫ້ $\omega$ ເປັນຄວາມຖີ່ມຸມທຳມະຊາດ, ໃຫ້ $a$ ແລະ $b$ ເປັນຄ່າຄົງທີ່ໃດໆທີ່ບໍ່ເປັນສູນພ້ອມກັນ, ແລະໃຫ້ $x$ ເປັນເວັກເຕີ. ກຳນົດຟັງຊັນ

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

ອະນຸພັນອັນດັບສອງຂອງມັນແມ່ນ

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

ເມື່ອແທນສົມຜົນ $\eqref{eq:2.3.2}$ ແລະສົມຜົນ $\eqref{eq:2.3.3}$ ເຂົ້າໃນສົມຜົນ $\eqref{eq:2.3.1}$, ຈະໄດ້

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

ຈຶ່ງໄດ້ສົມຜົນຂ້າງເທິງ.

ສຳລັບການສັ່ນທີ່ບໍ່ແມ່ນຄຳຕອບສູນ, $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ ບໍ່ເປັນສູນສຳລັບທຸກເວລາ.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

ດັ່ງນັ້ນ ຄວາມສຳພັນຂ້າງເທິງຈຶ່ງຕາມມາ. ເມື່ອກຳນົດ $\lambda=\omega^2$, ຈະໄດ້

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

ຈຶ່ງໄດ້ສົມຜົນຂ້າງເທິງ.

ສະເກລາ $\lambda$ ເອີ້ນວ່າຄ່າໄອເກນ, ເວັກເຕີ $x$ ເອີ້ນວ່າເວັກເຕີໄອເກນ, ແລະບັນຫາທີ່ສະແດງດ້ວຍສົມຜົນ $\eqref{eq:2.3.5}$ ເອີ້ນວ່າບັນຫາຄ່າໄອເກນແບບທົ່ວໄປ.

ຄວາມຖີ່ມຸມທຳມະຊາດ $\omega$ ໄດ້ຈາກຄ່າໄອເກນ $\lambda=\omega^2$, ແລະເວັກເຕີໄອເກນ $x$ ທີ່ສອດຄ່ອງກັນສະແດງຮູບຮ່າງໂໝດ.

ຕົວຢ່າງລະບົບຫຼາຍອົງສາອິດສະລະສຳລັບການສັ່ນເສລີທີ່ບໍ່ມີການໜ່ວງ

ຮູບ 2.3.1 ຕົວຢ່າງລະບົບຫຼາຍອົງສາອິດສະລະສຳລັບການສັ່ນເສລີທີ່ບໍ່ມີການໜ່ວງ

ຄຸນສົມບັດແລະສົມມຸດຖານຂອງເມທຣິກ¶

ສຳລັບບັນຫາຄ່າໄອເກນແບບທົ່ວໄປ $Kx=\lambda Mx$ ທີ່ໄດ້ໃນພາກກ່ອນ, ຄູ່ມືນີ້ສົມມຸດວ່າເມທຣິກທີ່ກ່ຽວຂ້ອງເປັນເມທຣິກສົມມາດ. ສຳລັບເມທຣິກຊັບຊ້ອນ ນີ້ກົງກັບເມທຣິກເຮີມິຊຽນ; ສຳລັບເມທຣິກຈິງ ນີ້ກົງກັບເມທຣິກສົມມາດ.

ໃຫ້ $k_{ij}$ ເປັນອົງປະກອບ $ij$ ຂອງເມທຣິກ $K$. ຄຸນສົມບັດເຮີມິຊຽນແມ່ນ

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

ດັ່ງສົມຜົນຂ້າງເທິງ, ໂດຍທີ່ $\bar{k}_{ji}$ ແມ່ນຄອນຈູເກດຊັບຊ້ອນຂອງ $k_{ji}$. ສຳລັບເມທຣິກຈິງ ຄວາມສຳພັນນີ້ກາຍເປັນ $k_{ij}=k_{ji}$.

ເມທຣິກຈິງສົມມາດ $H$ ເອີ້ນວ່າບວກແນ່ນອນ ຖ້າສຳລັບທຸກເວັກເຕີບໍ່ເປັນສູນ $x$,

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

ອະສົມການຂ້າງເທິງເປັນຈິງ. ໃນກໍລະນີນີ້ ຄ່າໄອເກນທັງໝົດຂອງ $H$ ເປັນບວກ.

ໃນບັນຫາຄ່າໄອເກນຂອງໂຄງສ້າງ, ເມທຣິກມວນ $M$ ປົກກະຕິຖືກຈັດໃຫ້ເປັນບວກແນ່ນອນ. ແຕ່ເມທຣິກຄວາມແຂງ $K$ ອາດເປັນບວກເຄິ່ງແນ່ນອນ ຂຶ້ນກັບເງື່ອນໄຂການຍຶດ, ແລະອາດມີຄ່າໄອເກນສູນທີ່ສອດຄ່ອງກັບໂໝດວັດຖຸແຂງ.

ວິທີວົນຊ້ຳຜົກຜັນແບບເລື່ອນ¶

ໃນການວິເຄາະໂຄງສ້າງດ້ວຍວິທີໄຟໄນ໌ເອລິເມັນ, ໃນທາງປະຕິບັດມັກບໍ່ຈຳເປັນຕ້ອງຫາຄ່າໄອເກນທັງໝົດ; ຄ່າໄອເກນລຳດັບຕ່ຳພຽງບໍ່ກີ່ຄ່າມັກພຽງພໍ. HEC-MW ຖືກອອກແບບສຳລັບບັນຫາຂະໜາດໃຫຍ່, ເຊິ່ງເມທຣິກມີຂະໜາດໃຫຍ່ແລະກະຈາຍຫຼາຍ ໂດຍມີອົງປະກອບສູນຈຳນວນຫຼາຍ. ດັ່ງນັ້ນ ຈຶ່ງສຳຄັນທີ່ຈະຄຳນວນຄ່າໄອເກນຂອງໂໝດລຳດັບຕ່ຳຢ່າງມີປະສິດທິພາບ ໂດຍຄຳນຶງເຖິງລັກສະນະເຫຼົ່ານີ້.

ສຳລັບຄ່າເລື່ອນ $\sigma$, ຖ້າ $-\sigma$ ບໍ່ແມ່ນຄ່າໄອເກນ ແລະ $K+\sigma M$ ບໍ່ເປັນຊິງກູລາ, ສົມຜົນ $\eqref{eq:2.3.5}$ ສາມາດປ່ຽນຮູບໄດ້ດັ່ງນີ້.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

ການປ່ຽນຮູບນີ້ຮັກສາເວັກເຕີໄອເກນ $x$ ໄວ້ບໍ່ປ່ຽນແປງ ແລະແປງຄ່າໄອເກນ $\lambda$ ໄປເປັນ $1/(\lambda+\sigma)$.

ດັ່ງນັ້ນ ຍິ່ງ $\lambda$ ໃກ້ກັບ $-\sigma$ ຫຼາຍເທົ່າໃດ, ຄ່າສຳບູນຂອງຄ່າໄອເກນຫຼັງການປ່ຽນຮູບຍິ່ງໃຫຍ່ຂຶ້ນ. ສຳລັບບັນຫາຄ່າໄອເກນຂອງໂຄງສ້າງ, $\lambda \geq 0$ ແລະ $\sigma \geq 0$, ດັ່ງນັ້ນຄ່າໄອເກນຕ່ຳສຸດຈະຖືກແປງໄປເປັນຄ່າໄອເກນທີ່ມີຄ່າສຳບູນໃຫຍ່ສຸດ. ໂດຍໃຊ້ຄຸນສົມບັດນີ້ ແລະນຳວິທີວົນຊ້ຳທີ່ມັກລູ່ເຂົ້າຫາຄ່າໄອເກນທີ່ມີຄ່າສຳບູນໃຫຍ່ກ່ອນ ໄປໃຊ້ກັບສົມຜົນ $\eqref{eq:2.3.8}$, ຈະສາມາດຫາຄ່າໄອເກນລຳດັບຕ່ຳຕາມລຳດັບເພີ່ມໄດ້ຢ່າງມີປະສິດທິພາບ.

ວິທີນີ້ເອີ້ນວ່າ ວິທີວົນຊ້ຳຜົກຜັນແບບເລື່ອນ.

ສຳລັບການວິເຄາະທີ່ມີເງື່ອນໄຂການຍຶດ, FrontISTR ກຳນົດ $\sigma = 0$, ແລະສົມຜົນ $\eqref{eq:2.3.8}$ ກາຍເປັນ $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, ນັ່ນຄື ການວົນຊ້ຳຜົກຜັນແບບບໍ່ມີຄ່າເລື່ອນ. ໃນການວິເຄາະເສລີ–ເສລີທີ່ບໍ່ມີເງື່ອນໄຂການຍຶດ, $K$ ເປັນຊິງກູລາ ເພາະມີຄ່າໄອເກນສູນທີ່ສອດຄ່ອງກັບໂໝດວັດຖຸແຂງ; ການກຳນົດຄ່າບວກໃຫ້ $\sigma$ ເຮັດໃຫ້ $K+\sigma M$ ບໍ່ເປັນຊິງກູລາ. ຄ່າ $\sigma$ ກຳນົດດ້ວຍ SIGMA ໃນ !EIGEN.

ວິທີ Lanczos¶

ເຫດຜົນໃນການເລືອກ (ປຽບທຽບກັບວິທີ Jacobi)¶

ວິທີ Jacobi ເປັນວິທີແບບດັ້ງເດີມທີ່ຮູ້ຈັກດີ.

ວິທີນີ້ມີປະສິດທິພາບເມື່ອເມທຣິກມີຂະໜາດນ້ອຍແລະໜາແໜ້ນ. ແຕ່ເນື່ອງຈາກເມທຣິກທີ່ HEC-MW ຈັດການມີຂະໜາດໃຫຍ່ແລະກະຈາຍ, ຈຶ່ງບໍ່ໃຊ້ວິທີ Jacobi; ແຕ່ໃຊ້ວິທີວົນຊ້ຳ Lanczos.

ອັນກໍລິທຶມແລະຄຸນລັກສະນະ¶

ວິທີນີ້ສະເໜີໂດຍ C. Lanczos ໃນຊ່ວງທົດສະວັດ 1950, ເປັນອັນກໍລິທຶມສຳລັບປ່ຽນເມທຣິກເປັນຮູບສາມແນວທະແຍງ ແລະມີຄຸນລັກສະນະຕໍ່ໄປນີ້.

ເປັນວິທີວົນຊ້ຳ ແລະສາມາດຄຳນວນໂດຍຮັກສາເມທຣິກໃຫ້ກະຈາຍ.
ການດຳເນີນງານຂອງມັນສ່ວນໃຫຍ່ແມ່ນຜົນຄູນເມທຣິກ–ເວັກເຕີ, ຈຶ່ງເໝາະກັບການຂະໜານ.
ເໝາະກັບການແບ່ງໂດເມນທາງເລຂາຄະນິດທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບເມຊໄຟໄນ໌ເອລິເມັນ.
ສາມາດຄຳນວນຢ່າງມີປະສິດທິພາບໂດຍຈຳກັດຈຳນວນຄ່າໄອເກນ ຫຼືຊ່ວງໂໝດທີ່ຕ້ອງການ.

ວິທີ Lanczos ເລີ່ມຈາກເວັກເຕີເລີ່ມຕົ້ນ, ສ້າງເວັກເຕີຕັ້ງສາກຕາມລຳດັບ ແລະສ້າງຖານຂອງປະລິພູມຍ່ອຍ Krylov.

ໃນເລກຄະນິດຄວາມລະອຽດຈຳກັດ, ຄວາມຜິດພາດຈາກການປັດເສດອາດເຮັດໃຫ້ເວັກເຕີສູນເສຍຄວາມຕັ້ງສາກ. ເພື່ອຫຼຸດຜົນກະທົບນີ້, ການປະຕິບັດຂອງ FrontISTR ຈັດເວັກເຕີແຕ່ລະອັນໃຫ້ຕັ້ງສາກຄືນກັບເວັກເຕີຖານ Lanczos ທີ່ໄດ້ຮັບແລ້ວ.

ຄວາມໝາຍທາງເລຂາຄະນິດ (ປະລິພູມຍ່ອຍ Krylov)¶

ໂດຍນຳການປ່ຽນຕົວແປຕໍ່ໄປນີ້ໄປໃຊ້ກັບສົມຜົນ $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

ບັນຫາສາມາດຂຽນໃໝ່ເປັນ

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

ຈຶ່ງໄດ້ສົມຜົນຂ້າງເທິງ.

ສຳລັບເວັກເຕີບໍ່ເປັນສູນໃດໆ $q_0$,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

ປະລິພູມທີ່ເວັກເຕີເຫຼົ່ານີ້ແຜ່ຄຸມ

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

ເອີ້ນວ່າ ປະລິພູມຍ່ອຍ Krylov.

ວິທີ Lanczos ສ້າງຖານຂອງປະລິພູມຍ່ອຍ Krylov ນີ້ຕາມລຳດັບ.

FrontISTR ໃຊ້ຜົນຄູນພາຍໃນຕໍ່ໄປນີ້ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບເມທຣິກມວນ $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

ເພື່ອຈັດຖານໃຫ້ຕັ້ງສາກແລະມີນໍມເທົ່າ 1. ຜົນຄູນພາຍໃນ $\langle x,y\rangle$ ແລະນໍມ $\|x\|$ ທີ່ສະແດງໃນຮູບຕໍ່ໄປນີ້ ໃນການຄຳນວນຂອງ FrontISTR ຖືກຕີຄວາມໝາຍເປັນຜົນຄູນພາຍໃນ $M$ ນີ້ ແລະນໍມ $M$ ທີ່ສອດຄ່ອງກັນ

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

ຕາມລຳດັບ.

ນຳການປ່ຽນເຊິ່ງເສັ້ນທີ່ກຳນົດໂດຍເມທຣິກ $A$ ໄປໃຊ້ກັບເວັກເຕີໃດໆ $q_0$, ດັ່ງຮູບ 2.3.2.

$ການປ່ຽນເຊິ່ງເສັ້ນຂອງ $q_0$ ດ້ວຍເມທຣິກ $A$$

ຮູບ 2.3.2 ການປ່ຽນເຊິ່ງເສັ້ນຂອງ $q_0$ ດ້ວຍເມທຣິກ $A$

ເວັກເຕີທີ່ຖືກປ່ຽນຈະຖືກຈັດໃຫ້ຕັ້ງສາກພາຍໃນປະລິພູມທີ່ມັນສ້າງຮ່ວມກັບເວັກເຕີເດີມ. ໂດຍສະເພາະ ຈະດຳເນີນການຈັດຕັ້ງສາກແບບ Gram-Schmidt ດັ່ງຮູບ 2.3.3. ໃຫ້ເວັກເຕີທີ່ໄດ້ເປັນ $r_1$; ເມື່ອປັບນໍມຂອງມັນ ຈະໄດ້ $q_1$.

$ເວັກເຕີ $q_1$ ທີ່ຕັ້ງສາກກັບ $q_0$$

ຮູບ 2.3.3 ເວັກເຕີ $q_1$ ທີ່ຕັ້ງສາກກັບ $q_0$

ດ້ວຍຂັ້ນຕອນດຽວກັນ ຈະໄດ້ $q_2$ ຈາກ $q_1$. ໃນນີ້ $q_2$ ຕັ້ງສາກກັບທັງ $q_1$ ແລະ $q_0$, ດັ່ງຮູບ 2.3.4.

$ເວັກເຕີ $q_2$ ທີ່ຕັ້ງສາກກັບ $q_1$ ແລະ $q_0$$

ຮູບ 2.3.4 ເວັກເຕີ $q_2$ ທີ່ຕັ້ງສາກກັບ $q_1$ ແລະ $q_0$

ດ້ວຍວິທີນີ້ ວິທີ Lanczos ສ້າງຖານທີ່ຕັ້ງສາກແລະມີນໍມ 1 ຂອງປະລິພູມຍ່ອຍ Krylov ຕາມລຳດັບ. ໃນທາງທິດສະດີ, ຄວາມສົມມາດຂອງບັນຫາຄ່າໄອເກນເຮັດໃຫ້ການວົນຊ້ຳນີ້ຂຽນເປັນສົມຜົນເວຽນເກີດສາມພົດ ໂດຍໃຊ້ເວັກເຕີຖານລ່າສຸດ.

ແຕ່ການປະຕິບັດຂອງ FrontISTR ຈັດເວັກເຕີແຕ່ລະອັນໃຫ້ຕັ້ງສາກຄືນກັບເວັກເຕີຖານ Lanczos ທີ່ໄດ້ຮັບແລ້ວ ໂດຍໃຊ້ຜົນຄູນພາຍໃນ $M$, ເພື່ອຫຼຸດການສູນເສຍຄວາມຕັ້ງສາກທີ່ເກີດຈາກເລກຄະນິດຄວາມລະອຽດຈຳກັດ.

ການແປງເປັນຮູບສາມແນວທະແຍງ¶

ໃນການວົນຊ້ຳ Lanczos ຂອງ FrontISTR, ເວັກເຕີຖານຖືກຈັດໃຫ້ຕັ້ງສາກແລະມີນໍມ 1 ຕາມຜົນຄູນພາຍໃນ $M$ ທີ່ອະທິບາຍໃນພາກກ່ອນ, ດັ່ງນັ້ນ

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

ຄວາມສຳພັນຂ້າງເທິງເປັນຈິງ.

ເມື່ອໃຊ້ເມທຣິກ $A$ ຈາກສົມຜົນ $\eqref{eq:2.3.10}$, ການວົນຊ້ຳ Lanczos ຕາມທິດສະດີແມ່ນ

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

ຊຶ່ງສະແດງດ້ວຍສົມຜົນເວຽນເກີດສາມພົດຂ້າງເທິງ.

ກ່ອນອື່ນ ກຳນົດ $\alpha_i$ ດັ່ງນີ້.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

ຕໍ່ມາ ກຳນົດເສດເຫຼືອຊົ່ວຄາວເປັນ

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

ດັ່ງທີ່ສະແດງຂ້າງເທິງ.

ເພື່ອຫຼຸດການສູນເສຍຄວາມຕັ້ງສາກທີ່ເກີດຈາກເລກຄະນິດຄວາມລະອຽດຈຳກັດ, ການປະຕິບັດຂອງ FrontISTR ຈັດ $\tilde{r}_{i+1}$ ໃຫ້ຕັ້ງສາກຄືນກັບເວັກເຕີຖານ Lanczos ທີ່ໄດ້ຮັບແລ້ວ ໂດຍໃຊ້ຜົນຄູນພາຍໃນ $M$. ຖ້າ $r_{i+1}$ ແມ່ນເສດເຫຼືອຫຼັງຈາກຈັດໃຫ້ຕັ້ງສາກຄືນ, ແລ້ວ

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

ຄວາມສຳພັນຂ້າງເທິງເປັນຈິງ.

ຮວບຮວມເວັກເຕີຖານ $m$ ອັນທີ່ໄດ້ຈາກການວົນຊ້ຳ Lanczos ເປັນ

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

ຈາກນັ້ນ ຫຼັງຈາກການວົນຊ້ຳ Lanczos ຈຳນວນຈຳກັດ

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

ຄວາມສຳພັນຂ້າງເທິງເປັນຈິງ.

ໃນນີ້ $e_m$ ແມ່ນເວັກເຕີຫົວໜ່ວຍ $m$ ມິຕິ ທີ່ອົງປະກອບອັນດັບ $m$ ເປັນ 1 ແລະອົງປະກອບອື່ນເປັນສູນ, ແລະ

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

ແມ່ນເມທຣິກສາມແນວທະແຍງສົມມາດ.

ດັ່ງນັ້ນ ຄ່າໄອເກນຂອງບັນຫາຄ່າໄອເກນຂະໜາດໃຫຍ່ເດີມສາມາດປະມານໄດ້ ໂດຍຄຳນວນຄ່າໄອເກນຂອງເມທຣິກສາມແນວທະແຍງ $T_m$.

ຫົວຂໍ້ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ¶

ການວິເຄາະການຕອບສະໜອງຄວາມຖີ່ — ການຕອບສະໜອງຄວາມຖີ່ໂດຍໃຊ້ຜົນການວິເຄາະໂໝດ
ປະເພດການວິເຄາະ — ພາບລວມດ້ານໜ້າທີ່ຂອງການວິເຄາະໂໝດ