Skip to content

ການວິເຄາະການຕອບສະໜອງຄວາມຖີ່

ການກຳນົດບັນຫາ

ການວິເຄາະການຕອບສະໜອງຄວາມຖີ່ ແມ່ນການປະເມີນແອມພລິຈູດແລະເຟດຂອງການຕອບສະໜອງຂອງລະບົບໃນສະພາວະຄົງທີ່ໃນໂດເມນຄວາມຖີ່ ເມື່ອແຮງພາຍນອກປ່ຽນແປງແບບຮາໂມນິກຕາມເວລາ. ເນື່ອງຈາກສົມຜົນການເຄື່ອນທີ່ທີ່ພິຈາລະນາມີກອບການຈັດການຕ່າງກັນເມື່ອມີແລະບໍ່ມີການໜ່ວງ, ບົດນີ້ຈຶ່ງເລີ່ມຈາກການສັ່ນອິດສະລະແບບບໍ່ມີການໜ່ວງເພື່ອຫາໂໝດໄອເກນ, ແລ້ວໃຊ້ໂໝດເຫຼົ່ານັ້ນເປັນຖານໂໝດເພື່ອຂະຫຍາຍການຕອບສະໜອງຮາໂມນິກທີ່ມີການໜ່ວງ.

ການສັ່ນອິດສະລະແບບບໍ່ມີການໜ່ວງແລະໂໝດໄອເກນ

ເມື່ອບໍ່ພິຈາລະນາການໜ່ວງ ສົມຜົນການເຄື່ອນທີ່ມີຮູບດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

ເມື່ອຂະຫຍາຍສິ່ງນີ້ຕາມແຕ່ລະໂໝດໄອເກນ,

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

ຈະໄດ້ຮູບນີ້. ເມື່ອແທນລົງໃນສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.6.1}\),

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

ຈະໄດ້ບັນຫາຄ່າໄອເກນທົ່ວໄປນີ້. ວິທີແກ້ເຊີງຕົວເລກຂອງບັນຫານີ້ (ການວົນຊ້ຳແບບຜົກຜັນທີ່ມີ shift ແລະວິທີ Lanczos) ອະທິບາຍໄວ້ໃນ ການວິເຄາະໂໝດ. ພາກນີ້ຈະສະຫຼຸບສົມບັດຂອງຄວາມຖີ່ທຳມະຊາດແລະໂໝດໄອເກນທີ່ໄດ້ ເຊິ່ງຈະໃຊ້ໃນການຂະຫຍາຍການຕອບສະໜອງຮາໂມນິກຕໍ່ໄປ.

ຄວາມເປັນຈຳນວນຈິງຂອງຄວາມຖີ່ທຳມະຊາດ

ສາມາດພິສູດໄດ້ດັ່ງນີ້ວ່າຄວາມຖີ່ທຳມະຊາດນີ້ເປັນຈຳນວນຈິງ. ໃຫ້ \(\omega_j^2 = \lambda_j\), ແລະເມື່ອຫາຄອມເພລັກຄອນຈູເກດຂອງສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.6.3}\) ຈະໄດ້ສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

ເມື່ອຄູນສິ່ງນີ້ດ້ວຍ \(\overline{U}_J^T\),

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

ຈະໄດ້. ຈາກສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

ຈະໄດ້ຮູບນີ້. ເນື່ອງຈາກເມທຣິກມວນເປັນເມທຣິກສົມມາດແບບບວກແນ່ນອນ, ສຳລັບເວັກເຕີໄອເກນທີ່ບໍ່ແມ່ນເວັກເຕີສູນ

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

ຄວາມສຳພັນນີ້ເປັນຈິງ. ດັ່ງນັ້ນ,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

ຈຶ່ງໄດ້ວ່າ \(\omega_j^2 = \lambda_j\) ເປັນຈຳນວນຈິງ.

ຄວາມຕັ້ງສາກແລະການນໍມອລໄລຊ໌ຂອງໂໝດໄອເກນ

ພິຈາລະນາສອງໂໝດທີ່ແຕກຕ່າງກັນ.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

ຈາກນີ້,

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

ຈະໄດ້, ແລະເມື່ອຄ່າໄອເກນແຕກຕ່າງກັນ,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

ຈະໄດ້ຮູບນີ້. ນັ້ນຄື ໂໝດໄອເກນທີ່ແຕກຕ່າງກັນຈະຕັ້ງສາກກັນເມື່ອອ້າງອີງເມທຣິກມວນ. ສຳລັບໂໝດດຽວກັນ ການນໍມອລໄລຊ໌ຕາມເມທຣິກມວນ (ສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.6.12}\)) ມີຂໍ້ດີຄືເຮັດໃຫ້ການຈັດການຕໍ່ໄປງ່າຍຂຶ້ນ.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

ການຕອບສະໜອງຮາໂມນິກພາຍໃຕ້ການໜ່ວງ

ຕໍ່ໄປນີ້ສະແດງການສ້າງສູດສຳລັບການວິເຄາະການຕອບສະໜອງຄວາມຖີ່ເມື່ອພິຈາລະນາການໜ່ວງ. ສົມຜົນການເຄື່ອນທີ່ທີ່ພິຈາລະນາສະແດງໄວ້ໃນສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

ສົມມຸດວ່າພົດການໜ່ວງເປັນແບບ Rayleigh ແລະສາມາດສະແດງໄດ້ດັ່ງສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

ໂດຍໃຊ້ເວັກເຕີໄອເກນທີ່ໄດ້ຈາກການວິເຄາະໂໝດ ເວັກເຕີການກະຈັດທີ່ເວລາ t ສາມາດຂະຫຍາຍໄດ້ດັ່ງສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

ໃນເວລານີ້ ຖ້າພົດແຮງພາຍນອກມີຮູບອອສຊິເລເຕີຮາໂມນິກຄື

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

ໃນກໍລະນີນີ້ ຈະກຳນົດ \(b_{j}(t)\). ເນື່ອງຈາກສົມຜົນການເຄື່ອນທີ່ \(\eqref{eq:2.6.13}\) ມີຮູບຂອງການສັ່ນແບບບັງຄັບ,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

ຄວາມສຳພັນນີ້ເປັນຈິງ. ເມື່ອຫາສ່ວນຈິງແລະສ່ວນຈິນຕະພາບຂອງສຳປະສິດການຂະຫຍາຍ \(b_{j}(t)\), ຈະໄດ້ຮູບຂອງສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.6.18}i\) ແລະ \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

ຈະໄດ້ດັ່ງນີ້.

ຫົວຂໍ້ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ