ການວິເຄາະການນຳຄວາມຮ້ອນແບບບໍ່ຄົງທີ່
ສະແດງການແຍກດິສຄຣີດຕາມເວລາແລະວິທີແກ້ແບບວົນຊ້ຳສຳລັບການວິເຄາະການນຳຄວາມຮ້ອນໃນຂອງແຂງດ້ວຍວິທີໄຟນາຍເອເລເມັນ (ວິທີໄຟໄນຕ໌ເອເລເມັນ). ສຳລັບສົມຜົນຄວບຄຸມແລະເງື່ອນໄຂຂອບເຂດໃນສື່ຕໍ່ເນື່ອງ ໃຫ້ເບິ່ງ ສົມຜົນການນຳຄວາມຮ້ອນ.
ສົມຜົນດິສຄຣີດ (ຈຸດເລີ່ມຕົ້ນ)
ເມື່ອແຍກດິສຄຣີດສົມຜົນການນຳຄວາມຮ້ອນ (ສົມຜົນ (gov_he_main) ຂອງສົມຜົນການນຳຄວາມຮ້ອນ) ດ້ວຍວິທີ Galerkin,
\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]
ໂດຍທີ່,
\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]
ໃນນີ້ \(K\), \(M\), \(F\), ແລະ \(N\) ແມ່ນເມທຣິກການນຳຄວາມຮ້ອນ (ລວມພົດການພາແລະການແຜ່ລັງສີຈາກສ່ວນປະກອບຂອບເຂດ), ເມທຣິກມວນ, ເວັກເຕີໂຫຼດຄວາມຮ້ອນ, ແລະເມທຣິກຟັງຊັນຮູບຮ່າງ ຕາມລຳດັບ. ນິຍາມຂອງສັນຍາລັກສົມບັດວັດສະດຸ (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\), ແລະອື່ນໆ) ໃຫ້ອີງຕາມ ສົມຜົນການນຳຄວາມຮ້ອນ.
ການແຍກດິສຄຣີດຕາມເວລາແລະວິທີແກ້ແບບວົນຊ້ຳ
ສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.4.8}\) ເປັນສົມຜົນບໍ່ເປັນເສັ້ນແລະບໍ່ຄົງທີ່. ຕອນນີ້ ໃຫ້ແຍກດິສຄຣີດຕາມເວລາດ້ວຍວິທີ backward Euler ແລະ ເມື່ອຮູ້ອຸນຫະພູມທີ່ເວລາ \(t=t_0\), ຄຳນວນອຸນຫະພູມທີ່ເວລາ \(t=t_0+\Delta t\) ໂດຍໃຊ້ສົມຜົນຕໍ່ໄປນີ້.
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]
ພິຈາລະນາການປັບປຸງເວັກເຕີອຸນຫະພູມ \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) ທີ່ຕອບສະໜອງສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.4.13}\) ໂດຍປະມານ ເພື່ອຫາຄຳຕອບທີ່ແມ່ນຍຳກວ່າ \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).
ເພື່ອຈຸດປະສົງນີ້ ກ່ອນອື່ນໃຫ້ສະແດງເວັກເຕີອຸນຫະພູມດັ່ງນີ້.
\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]
ຜົນຄູນຂອງເມທຣິກການນຳຄວາມຮ້ອນກັບເວັກເຕີອຸນຫະພູມ, ເມທຣິກມວນ ແລະອື່ນໆ ຖືກປະມານດັ່ງສົມຜົນຕໍ່ໄປນີ້.
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]
ເມື່ອແທນສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\), ແລະ \(\eqref{eq:2.4.16}\) ເຂົ້າໃນສົມຜົນ \(\eqref{eq:2.4.13}\) ແລ້ວລະພົດລຳດັບສອງຂຶ້ນໄປ ຈະໄດ້ສົມຜົນຕໍ່ໄປນີ້.
\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]
ຕໍ່ໄປ ປະເມີນເມທຣິກສຳປະສິດທາງຊ້າຍໂດຍປະມານດ້ວຍສົມຜົນຕໍ່ໄປນີ້.
\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]
ໃນນີ້ \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) ແມ່ນເມທຣິກຄວາມແຂງແບບສຳຜັດ.
ສຸດທ້າຍ ສາມາດຄຳນວນອຸນຫະພູມທີ່ເວລາ \(t=t_0+\Delta t\) ໄດ້ໂດຍດຳເນີນການຄຳນວນແບບວົນຊ້ຳດ້ວຍສົມຜົນຕໍ່ໄປນີ້.
\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]
ໂດຍສະເພາະ ສຳລັບການວິເຄາະແບບຄົງທີ່ ໃຫ້ດຳເນີນການຄຳນວນແບບວົນຊ້ຳດ້ວຍສົມຜົນຕໍ່ໄປນີ້.
\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]
ໃນການວິເຄາະແບບບໍ່ຄົງທີ່ ການເລືອກຄ່າເພີ່ມເວລາ \(\Delta t\) ໂດຍທົ່ວໄປບໍ່ຖືກຈຳກັດຂະໜາດ ເນື່ອງຈາກໃຊ້ວິທີ ອິມພລິຊິດ ສຳລັບການແຍກດິສຄຣີດຕາມເວລາ. ແຕ່ຖ້າຄ່າເພີ່ມເວລາ \(\Delta t\) ໃຫຍ່ເກີນໄປ ຈຳນວນການວົນຊ້ຳເພື່ອໃຫ້ລູ່ເຂົ້າຈະເພີ່ມຂຶ້ນ. ໂດຍທົ່ວໄປ ຖ້າຄ່າເພີ່ມເວລາ \(\Delta t\) ໃຫຍ່ເກີນໄປ ຈຳນວນການວົນຊ້ຳຈະເພີ່ມຂຶ້ນ. ໃນການນຳໃຊ້ຈິງ ຈະຕິດຕາມຂະໜາດຂອງເວັກເຕີຄ່າເຫຼືອ ແລະໃຊ້ການຄວບຄຸມຄ່າເພີ່ມແບບອັດຕະໂນມັດ: ຖ້າການລູ່ເຂົ້າຊ້າ ໃຫ້ຫຼຸດ \(\Delta t\), ແລະຖ້າຈຳນວນການວົນຊ້ຳໜ້ອຍ ໃຫ້ເພີ່ມ \(\Delta t\) (→ ລາຍລະອຽດເບິ່ງ ການຄວບຄຸມສະເຕັບ).
ຫົວຂໍ້ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ