Skip to content

ການຈັດການເງື່ອນໄຂຂອບເຂດທາງເລຂາຄະນິດ

ສົມຜົນເສັ້ນຊື່ \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) ທີ່ແກ້ໃນແຕ່ລະການວົນຊ້ຳຂອງ ວິທີ Newton-Raphson ຍັງບໍ່ໄດ້ລວມເງື່ອນໄຂຂອບເຂດທາງເລຂາຄະນິດ (ຂໍ້ຈຳກັດການກະຈັດ). ບົດນີ້ສະແດງວິທີດັດແກ້ເມທຣິກຄວາມແຂງ \(\boldsymbol{K}\) ແລະເວັກເຕີຄ່າເຫຼືອ \(\boldsymbol{R}\) ສຳລັບອົງສາອິດສະລະທີ່ກຳນົດຂໍ້ຈຳກັດການກະຈັດ \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) ເພື່ອໃຫ້ການກະຈັດຫຼັງການວົນຊ້ຳບັນລຸຄ່າທີ່ກຳນົດ. ຂໍ້ຈຳກັດຫຼາຍຈຸດ (MPC) ແລະຂໍ້ຈຳກັດບໍ່ເປັນເສັ້ນທີ່ເກີດຈາກການສຳຜັດແມ່ນຈັດການໂດຍລະບົບອື່ນ; ໃຫ້ເບິ່ງ ຂໍ້ຈຳກັດຫຼາຍຈຸດ ແລະ ການສຳຜັດ.

ແນວທາງທີ່ຄົງຂໍ້ຈຳກັດການກະຈັດໄວ້ເປັນຕົວແປບໍ່ຮູ້ຄ່າ

ການກະຈັດຂອງໂຫນດທີ່ຖືກກຳນົດເງື່ອນໄຂຂອບເຂດທາງເລຂາຄະນິດບໍ່ແມ່ນຕົວແປບໍ່ຮູ້ຄ່າອີກຕໍ່ໄປ ແຕ່ຖືກຕຶງໄວ້ທີ່ຄ່າກຳນົດ \(\bar{u}_i\). ສາມາດຖືອົງສາອິດສະລະເຫຼົ່ານີ້ເປັນຄ່າຄົງທີ່ແລະຕັດອອກຈາກສົມຜົນເສັ້ນຊື່ \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) ໄດ້; ແຕ່ FrontISTR ບັງຄັບຂໍ້ຈຳກັດໂດຍປັບປ່ຽນຝັ່ງ \(\boldsymbol{K}\) ແລະ \(\boldsymbol{R}\) ໃນຂະນະທີ່ຍັງລວມອົງສາອິດສະລະທີ່ຖືກຈຳກັດໄວ້ໃນເວັກເຕີປະລິມານແກ້ໄຂ \(d\boldsymbol{u}\) ເຊັ່ນດຽວກັບອົງສາອິດສະລະອື່ນ.

ດ້ວຍວິທີນີ້ ມິຕິຂອງເມທຣິກສຳປະສິດແລະລຳດັບອົງສາອິດສະລະບໍ່ປ່ຽນຕາມວ່າມີຂໍ້ຈຳກັດຫຼືບໍ່, ຈຶ່ງບໍ່ຕ້ອງຕັດຕົວແປແລ້ວຈັດແຖວແລະຖັນທີ່ຫວ່າງໃຫ້ແນ່ນໃໝ່. ໃນການປະຕິບັດທີ່ເກັບເມທຣິກສຳປະສິດໃນຮູບເມທຣິກບາງ ການຈັດໃໝ່ນີ້ຊັບຊ້ອນ, ດັ່ງນັ້ນ FrontISTR ຈຶ່ງໃຊ້ວິທີຫຼັງ ທີ່ບັນລຸຂໍ້ຈຳກັດດ້ວຍການອັບເດດສະເພາະເມທຣິກສຳປະສິດແລະຝັ່ງຂວາ.

ຄ່າເປົ້າໝາຍຂອງປະລິມານແກ້ໄຂ Newton-Raphson

ສຳລັບອົງສາອິດສະລະ \(i\) ທີ່ຖືກຈຳກັດການກະຈັດ ໃຫ້ປະລິມານແກ້ໄຂ \(du_i\) ທີ່ຫາໄດ້ໃນການວົນຊ້ຳ Newton-Raphson ເທົ່າກັບ

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{ການວົນຊ້ຳຄັ້ງທີ 1}) \\ 0 & (\text{ຕັ້ງແຕ່ການວົນຊ້ຳຄັ້ງທີ 2 ເປັນຕົ້ນໄປ}) \end{cases} \]

ແລະດັດແກ້ \(\boldsymbol{K}\) ແລະ \(\boldsymbol{R}\) ໃຫ້ໄດ້ຄ່ານີ້. ດ້ວຍວິທີນີ້ ໃນການວົນຊ້ຳຄັ້ງທຳອິດ ຄ່າເພີ່ມການກະຈັດຈະບັນລຸຄ່າກຳນົດ \(\bar{u}_i\), ແລະຕັ້ງແຕ່ການວົນຊ້ຳຄັ້ງທີສອງ ປະລິມານແກ້ໄຂຈະເປັນ \(0\) ເພື່ອຮັກສາຄ່າກຳນົດ.

ຂັ້ນຕອນການດັດແກ້ເມທຣິກແລະເວັກເຕີຄ່າເຫຼືອ

ຄ່າເປົ້າໝາຍໃນພາກກ່ອນສາມາດບັນລຸໄດ້ດ້ວຍການດັດແກ້ 2 ຢ່າງຕໍ່ໄປນີ້ ໂດຍຍັງຮັກສາຮູບຂອງສົມຜົນເສັ້ນຊື່ \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\).

  1. ເຮັດໃຫ້ແຖວ \(i\) ເປັນແນວທະແຍງ: ແທນພົດແນວທະແຍງ \(K_{ii}\) ທີ່ເປັນສຳປະສິດຂອງ \(du_i\) ດ້ວຍ \(1\), ແທນສຳປະສິດອື່ນທັງໝົດ \(K_{ij}\ (j \not= i)\) ດ້ວຍ \(0\), ແລະຕັ້ງຝັ່ງຂວາເປັນ \(R_i \to d\bar{u}_i\). ຈາກນັ້ນສົມຜົນໃນແຖວ \(i\) ຈະເປັນ \(du_i = d\bar{u}_i\).
  2. ຍ້າຍພົດຈາກແຖວ \(j(\not= i)\): ສຳລັບແຕ່ລະແຖວ \(j(\not= i)\), ຖ້າ \(K_{ji} \not= 0\) ໃຫ້ຍ້າຍພົດ \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) ໄປຝັ່ງຂວາ. ກ່າວຄື ຫັກ \(K_{ji} d\bar{u}_i\) ອອກຈາກຝັ່ງຂວາ ແລະຕັ້ງສຳປະສິດ \(K_{ji}\) ຂອງ \(du_i\) ເປັນ \(0\).

ເມື່ອຂຽນໃນຮູບອົງປະກອບ ສົມຜົນກ່ອນແລະຫຼັງການດັດແກ້ຈະສອດຄ່ອງກັນດັ່ງນີ້.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

ໃຫ້ຂຽນເມທຣິກສຳປະສິດແລະຝັ່ງຂວາຫຼັງການດັດແກ້ເປັນ \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) ຕາມລຳດັບ. ສົມຜົນເສັ້ນຊື່ທີ່ຕ້ອງແກ້ສຸດທ້າຍແມ່ນ

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

ດັ່ງນີ້. ຖ້າມີອົງສາອິດສະລະທີ່ຖືກຈຳກັດຫຼາຍອັນ ໃຫ້ນຳການດັດແກ້ 1 ແລະ 2 ຂ້າງເທິງມາໃຊ້ຕາມລຳດັບກັບແຕ່ລະອົງສາອິດສະລະ \(i\) ທີ່ຖືກຈຳກັດ.

ຂອບເຂດການປະມວນຜົນໃນການປະຕິບັດເມທຣິກບາງ

ໃນການປະຕິບັດ ເມທຣິກສຳປະສິດ \(\boldsymbol{K}\) ຖືກເກັບໃນຮູບເມທຣິກບາງ. ດັ່ງນັ້ນ ການປະມວນຜົນແຖວ \(j(\not= i)\) ໃນຂັ້ນຕອນ 2 ຂອງພາກກ່ອນ ຈຶ່ງເຮັດສະເພາະກັບແຖວທີ່ມີອົງປະກອບບໍ່ເປັນສູນໃນຖັນ \(i\), ນັ້ນຄື ກັບອົງສາອິດສະລະຂອງໂຫນດທີ່ເຊື່ອມຕໍ່ຜ່ານອົງປະກອບກັບອົງສາອິດສະລະ \(i\) ທີ່ຖືກຈຳກັດ. ສຳລັບອົງສາອິດສະລະທີ່ບໍ່ໄດ້ເຊື່ອມຕໍ່ \(K_{ji} = 0\), ດັ່ງນັ້ນການຍ້າຍພົດຈຶ່ງບໍ່ປ່ຽນຝັ່ງຂວາ. ການຈຳກັດຂອບເຂດນີ້ເຮັດໃຫ້ການຈັດການຂໍ້ຈຳກັດສຳເລັດໄດ້ດ້ວຍການດຳເນີນງານເຉພາະທ້ອງຖິ່ນເມື່ອທຽບກັບຈຳນວນໂຫນດທັງໝົດ.

ຫົວຂໍ້ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ