Pāriet uz saturu

Lineārā elastīgā statiskā analīze (ievads)

Šajā sadaļā ir izklāstīta elastīgas statiskās analīzes formulācija, kas balstīta uz mazo deformāciju teoriju. Sprieguma–deformācijas sakarībai tiek pieņemta lineārā elastība. Šī nodaļa ir paredzēta kā ievads galīgo elementu konstrukciju analīzes kopējās struktūras izpratnei un ir veidota kā patstāvīga nodaļa.

Vispārīgo virtuālā darba principa teoriju (pašreizējās konfigurācijas formu, sākotnējās konfigurācijas formu un reducēšanu uz mazām deformācijām) skatiet Virtuālā darba princips; lineāri elastīgā konstitutīvā likuma detaļas skatiet Lineārā elastība; tenzoru un Foigta pieraksta konvencijas skatiet Tenzoru pieraksts un matemātiskie pamati; galīgu deformāciju vispārīgo formulāciju skatiet Kustība, deformēšanās un deformācija; bet nelineāru uzdevumu risināšanas metodes skatiet Pieskares stinguma matrica.

Pamatvienādojumi

Pie mazo deformāciju un lineārās elastības pieņēmumiem cietvielu mehānikas robežuzdevums sastāv no līdzsvara vienādojuma, mehāniskajiem robežnosacījumiem un ģeometriskajiem robežnosacījumiem (būtiskajiem robežnosacījumiem) (skat. 2.1.1. attēlu):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{iekš} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{uz} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{uz} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Šeit \(\boldsymbol{\sigma}\) ir Košī spriegums, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) ir tilpuma spēks uz tilpuma vienību, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) ir noteiktā virsmas vilce, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) ir noteiktais pārvietojums, bet \(S_t, S_u\) ir mehāniskā un ģeometriskā robeža.

Cietvielu mehānikas robežuzdevums (mazo deformāciju uzdevums)

2.1.1. attēls Cietvielu mehānikas robežuzdevums (mazo deformāciju uzdevums)

Izmantojot simetriskā gradienta operatoru, deformācijas–pārvietojuma sakarība ir

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Lineāri elastīgais konstitutīvais vienādojums ir

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

kur \(\boldsymbol{C}\) ir ceturtās kārtas elastības tenzors.

Virtuālā darba princips

Virtuālā darba principa vispārīgās formas (pašreizējās konfigurācijas forma, sākotnējās konfigurācijas forma un reducēšana uz mazām deformācijām) ir apkopotas sadaļā Virtuālā darba princips. Pie mazo deformāciju un lineārās elastības pieņēmumiem vājā forma ir

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{uz} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Ievietojot konstitutīvo vienādojumu \eqref{eq:2.1.5} un Foigta pierakstā rakstot \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), iegūst formu, ko tieši izmanto diskretizācijai:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

iegūst, kur \(D\) ir elastības matrica, kas definēta sadaļā Lineārā elastība. Vienādojumi \eqref{eq:2.1.10} un \eqref{eq:2.1.7} veido virtuālā darba principu, kas tālāk diskretizēts.

Globālā vienādojuma diskretizācija un montāža

Diskretizējot virtuālā darba principu vienādojumā \( \eqref{eq:2.1.10} \) pa galīgajiem elementiem, iegūst

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Katram elementam pārvietojumu lauku interpolē, izmantojot elementu veidojošo mezglu pārvietojumus, kā norādīts tālāk.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Tad deformāciju, izmantojot vienādojumu \(\eqref{eq:2.1.4}\), izsaka šādi.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Ievietojot vienādojumus \(\eqref{eq:2.1.12}\) un \(\eqref{eq:2.1.13}\) vienādojumā \(\eqref{eq:2.1.11}\), iegūst

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Vienādojumu \(\eqref{eq:2.1.14}\) var uzrakstīt kā

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Šeit matricas un vektora komponentes, kas definētas ar vienādojumiem \(\eqref{eq:2.1.16}\) un \(\eqref{eq:2.1.17}\), var aprēķināt katram galīgajam elementam un samontēt ar superpozīciju.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Tā kā vienādojums \(\eqref{eq:2.1.15}\) ir spēkā patvaļīgam virtuālajam pārvietojumam \(\delta \boldsymbol{U}\), iegūst šādu vienādojumu.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Savukārt pārvietojuma robežnosacījumu vienādojumā \(\eqref{eq:2.1.3}\) izsaka šādi.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Atrisinot vienādojumu \(\eqref{eq:2.1.18}\), ievērojot ierobežojuma nosacījumu vienādojumā \(\eqref{eq:2.1.19}\), var noteikt mezglu pārvietojumu \(\boldsymbol{U}\).

Saistītās tēmas