Pāriet uz saturu

Lineārā elastība

Šajā nodaļā aplūkots lineāri elastīgu materiālu konstitutīvais likums (Huka likums). Informāciju par modeļa izvēli un ievades norādēm skatiet funkciju sadaļā 03_material.

Parādība (lineāri elastīga reakcija)

Lineāri elastīgs ķermenis ir materiāls, kas diapazonā, kur slodzes izraisītā deformācija ir pietiekami maza, uzrāda lineāru sakarību starp spriegumu un deformāciju un atgriezenisku, no vēstures neatkarīgu reakciju: pēc atslogošanas visa deformācija izzūd un ķermenis atgriežas sākotnējā stāvoklī. Atšķirībā no plastiskuma vai šļūdes tam nav stāvokli raksturojošu iekšējo mainīgo (piemēram, plastiskās vai viskozās deformācijas), un spriegumu viennozīmīgi nosaka tikai pašreizējā deformācija.

Mazu deformāciju diapazonā izmanto Košī spriegumu \(\boldsymbol{\sigma}\) un bezgalīgi mazo deformāciju \(\boldsymbol{\varepsilon}\); galīgu deformāciju diapazonā (problēmām ar lielām rotācijām, bet mazu pašu deformāciju) izmanto otro Piolas–Kirhofa spriegumu \(\boldsymbol{S}\) un Grīna–Lagranža deformāciju \(\boldsymbol{E}\) (Senvenāna–Kirhofa materiāls).

Konstitutīvais likums

Izotrops lineāri elastīgs materiāls

Mazu deformāciju diapazonā izotropo Huka likumu, izmantojot Lamē konstantes \(\lambda, \mu\), izsaka šādi:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Komponenšu formā

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

un, veicot dubulto kontrakciju ar deformāciju, iegūst \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Lamē konstantes ar Junga moduli \(E\) un Puasona koeficientu \(\nu\) saista šādas sakarības:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Foigta pierakstā sakarību starp deformācijas vektoru \(\hat{\varepsilon}\) un sprieguma vektoru \(\hat{\sigma}\) raksta kā \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), un trīsdimensiju materiāla matrica \(D\) ir

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Šis matricas pieraksts tiek izmantots realizācijā.

Ortotrops lineāri elastīgs materiāls

Materiāliem, kuru elastības konstantes galveno asu virzienos atšķiras, izmanto ortotropu modeli ar deviņām neatkarīgām konstantēm: Junga moduļiem galveno asu virzienos \(E_1, E_2, E_3\), Puasona koeficientiem starp galvenajām asīm \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) un bīdes moduļiem \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Matricas \(D\) izvērsto formu skatiet standarta atsauces literatūrā.

Galīgu deformāciju diapazons: Senvenāna–Kirhofa materiāls

Problēmām ar lielām rotācijām, bet mazu pašu deformāciju Senvenāna–Kirhofa materiālu izmanto kā lineāri elastīgu likumu, kas saista otro Piolas–Kirhofa spriegumu \(\boldsymbol{S}\) un Grīna–Lagranža deformāciju \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamē konstantēm \(\lambda, \mu\) ir tās pašas definīcijas kā mazu deformāciju gadījumā. Tomēr jāņem vērā, ka sprieguma un deformācijas pāra definīcijas atšķiras, tādēļ tas ir cits konstitutīvais likums nekā Huka likums mazu deformāciju gadījumam.

Hipoelastīgs materiāls

Atjauninātajā Lagranža formulējumā izmanto hipoelastīgu materiālu, kuram lineāri elastīgais likums tiek pieņemts starp relatīvā Kirhofa sprieguma tenzora Jaumana atvasinājumu \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) un deformācijas ātruma tenzoru \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Arī šeit \(\boldsymbol{C}\) definīcija ar Lamē konstantēm ir tāda pati kā iepriekš, taču, tā kā sprieguma un deformācijas pāris atšķiras, tas ir cits konstitutīvais likums. Sīkāku informāciju par \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) atjaunināšanu laika integrēšanas procedūrā (uz priekšu vērstā Eilera integrēšana un centrālās diferences aproksimācija) skatiet tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Reducēšana divdimensiju analīzei un čaulas elementiem

Plaknes sprieguma stāvoklis (\(\sigma_{33} = 0\))

Plaknes sprieguma stāvoklim, kas raksturo plānu plātņu un čaulu slodzi, pieņem \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\), un ārpusplaknes deformācijas komponenti \(\varepsilon_{33}\) algebriski eliminē, iegūstot reducēto materiāla matricu \(D\):

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Plaknes deformācijas stāvoklis (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Plaknes deformācijas stāvoklim, kas raksturo biezuma virzienā ierobežotas garas konstrukcijas šķērsgriezumu, pieņem \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Aksiāli simetrisks ap rotācijas asi

Aksiāli simetriskā analīzē, kur aplūko cilindriskajās koordinātās \((r, \theta, z)\) virzienā \(\theta\) nemainīgas problēmas, saglabā četras komponentes \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) un \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), un

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

iegūst.

Čaulas elementi (plaknes sprieguma stāvoklis + šķērsbīde)

Čaulas elementiem plaknes spriegumus apstrādā kā plaknes sprieguma stāvokli, bet šķērsbīdes deformācijas komponentēm \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) piemēro bīdes korekcijas koeficientu \(\kappa\) (parasti \(\kappa = 5/6\)), iegūstot \(\kappa\, G\). Katra elementa detalizētu formulējumu skatiet sadaļā Uzlabotas elementu formulācijas. Funkciju sadaļas 03_material norāde, ka "čaulas elementi atbalsta tikai lineāro elastību", izriet no šīs vienkāršošanas, kur plaknes stāvoklis tiek aplūkots kā plaknes sprieguma stāvoklis.

Atkarība no temperatūras

Junga moduli \(E\), Puasona koeficientu \(\nu\) un lineārās izplešanās koeficientu \(\alpha\) parasti norāda kā temperatūras \(T\) funkcijas. FrontISTR šo īpašību vērtības ievada galīgai temperatūras punktu virknei \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), un aprēķina temperatūrai \(T\) atbilstošās īpašību vērtības nosaka ar lineāru interpolāciju starp blakuspunktiem. Temperatūrām ārpus diapazona (\(T < T_1\) vai \(T > T_n\)) ekstrapolācijai izmanto tuvākā gala punkta \(T_1\) vai \(T_n\) vērtību (konstanta ekstrapolācija).

Termisko īpašību (blīvuma, īpatnējās siltumietilpības un siltumvadītspējas) atkarību no temperatūras skatiet sadaļā Termiskās īpašības. Interpolācijas noteikumi šīm īpašībām ir kopīgi.

Saistītās tēmas