Pāriet uz saturu

Elastoplastiskums

Šajā nodaļā aprakstīta FrontISTR izmantotā elastoplastiskā konstitutīvā likuma pamatstruktūra. Informāciju par izvēli un ievades specifikācijām skatiet funkciju sadaļas 03_material.

Parādība (plastiskā deformācija)

TBD (tiks uzrakstīts nākamajā posmā).

Konstitutīvā likuma pamatstruktūra

FrontISTR izmanto elastoplastisku konstitutīvo vienādojumu, kura pamatā ir asociētais tecēšanas likums. Konstitutīvais vienādojums izsaka sakarību starp Kirhofa sprieguma Jaumana atvasinājumu un deformācijas ātruma tenzoru, bet deformāciju analīzē tiek izmantots atjauninātais Lagranža formulējums.

Pieņemsim, ka elastoplastiska materiāla tecēšanas kritērijs ir dots šādi.

Sākotnējais tecēšanas kritērijs:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Turpmākais tecēšanas kritērijs:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

kur

  • \(F\): tecēšanas funkcija
  • \(\sigma_{y_0}\): sākotnējais tecēšanas spriegums
  • \(\sigma_y\): turpmākais tecēšanas spriegums
  • \(\sigma\): sprieguma tenzors
  • \(e\): infinitesimālo deformāciju tenzors
  • \(e^p\): plastisko deformāciju tenzors
  • \(\overline{e}^p\): ekvivalentā plastiskā deformācija

Tiek pieņemts, ka tecēšanas sprieguma un ekvivalentās plastiskās deformācijas sakarība sakrīt ar sprieguma un plastiskās deformācijas sakarību vienass spriegumstāvoklī.

Sprieguma–plastiskās deformācijas sakarība vienass spriegumstāvoklī

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

kur \(H'\) ir deformācijas nostiprināšanās modulis.

Ekvivalentā sprieguma–ekvivalentās plastiskās deformācijas sakarība

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Vispārīgā gadījumā turpmākā tecēšanas funkcija ir temperatūras un plastiskās deformācijas darba funkcija, bet vienkāršības labad šeit tiek pieņemts, ka tā ir tikai ekvivalentās plastiskās deformācijas \(\overline{e}^p\) funkcija. Plastiskajai deformācijai attīstoties, nosacījumam \(F = 0\) jāturpina izpildīties, tādēļ jāizpildās šādam vienādojumam.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Šeit \(\dot{F}\) apzīmē \(F\) atvasinājumu pēc laika. Turpmāk lieluma \(A\) atvasinājums pēc laika tiek apzīmēts ar \(\dot{A}\).

Pieņemsim, ka eksistē plastiskais potenciāls \(\Theta\), un plastiskās deformācijas ātrumu izsakām ar šādu vienādojumu.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Šeit \(\dot{\lambda}\) ir koeficients.

Turklāt, pieņemot, ka plastiskais potenciāls \(\Theta\) ir vienāds ar tecēšanas funkciju \(F\), tiek izmantots šāds asociētais tecēšanas likums.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Ievietojot šo vienādojumu saskaņotības nosacījumā, iegūst šādu vienādojumu.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Šeit \(D\) ir elastības matrica, un

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Elastoplastisko sprieguma–deformācijas sakarību var uzrakstīt šādi.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Kad elastoplastiskā materiāla tecēšanas funkcija \(F\) ir zināma, no šīs izteiksmes iegūst tā konstitutīvo vienādojumu.

Tecēšanas funkcijas

FrontISTR izmantotās elastoplastiskās tecēšanas funkcijas ir uzskaitītas tālāk.

Fon Mīzesa tecēšanas funkcija

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Šeit \(J_2\) ir deviatoriskā sprieguma tenzora otrais invariants.

Mora–Kulona tecēšanas funkcija

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Šeit \(\sigma_1, \sigma_3\) ir attiecīgi maksimālais un minimālais galvenais spriegums, \(c\) ir kohēzija, bet \(\phi\) ir iekšējās berzes leņķis.

Drukera–Prāgera tecēšanas funkcija

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Šeit materiāla konstantes \(\alpha\) un \(\sigma_y\) tiek aprēķinātas no materiāla kohēzijas un berzes leņķa šādi.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Saistītās tēmas