Pāriet uz saturu

Ārējo spēku virtuālais darbs un globālo vienādojumu montāža

Sadaļā Iekšējo spēku virtuālā darba diskretizācija vājās formas kreisā puse tika reducēta uz elementa iekšējo spēku vektoru \(\boldsymbol{q}^e\) (UL metode) vai \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL metode). Šajā nodaļā no ārējo spēku virtuālā darba tiek ieviests elementa mezglu ārējo spēku vektors \(\boldsymbol{F}^e\), pēc tam piemērota montāžas operācija, kas pārkārto un uzkrāj elementa mezglu lielumus pēc globālā mezgla numura, galarezultātā iegūstot nelineāro mezglu pārvietojumu vienādojumu sistēmu, ko risina FrontISTR nelineārā konstrukciju analīze.

Ārējo spēku virtuālā darba sadalījums pa elementiem

Sadaļas Virtuālā darba princips labo pusi var sadalīt pa elementiem ārējo spēku virtuālajā darbā, ko veido tilpuma spēki un noteiktie virsmas spēki uz mehāniskajām robežām. Lai sadaļā Formas funkcijas un galīgo elementu aproksimācija ieviesto pārvietojuma interpolāciju uzrakstītu matricas formā, izmanto mezgla \(\alpha\) formas funkciju \(N_\alpha^e\), kas izvietota pa diagonāli \(d \times d\) blokā \(\boldsymbol{N}_\alpha\), un veido \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), tā ka \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Ievietojot to atskaites konfigurācijā rakstītajā ārējo spēku virtuālajā darbā, iegūst

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

kur elementa mezglu ārējo spēku vektors ir sakārtots kā \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Tādējādi ārējo spēku virtuālais darbs tiek reducēts uz tādu pašu "elementa mezglu vektors × testa funkcija" formu kā iekšējo spēku puse (rakstot pašreizējā konfigurācijā, tādu pašu formu iegūst ar aizvietojumiem \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) un \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Elementu mezglu lielumu montāža

Katram elementam iegūtos mezglu lielumus \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) uzkrāj globālajos vektoros, kas sakārtoti pēc globālā mezgla numura. Lai globālā mezgla numurs, kas atbilst elementa \(\Omega^e\) lokālajam mezgla numuram \(\alpha\), būtu

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Tad elementa mezgla lielums ir identisks atbilstošajai globālā mezgla lieluma komponentei (piemēram, \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Tā kā mezgls \(i_g\) parasti ir kopīgs vairākiem elementiem, definē pāru \((e, \alpha)\) kopu, kuru globālā mezgla numurs ir \(i_g\), kā

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Izmantojot šo kopu un pārrakstot summu kā \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), iegūst mezgla iekšējo spēku un globālo iekšējo spēku vektoru visiem \(n_g\) mezgliem:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Šeit \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) ir elementu mezglu iekšējo spēku rezultējošais spēks, kas darbojas mezglā \(i_g\), un tas ir \(\boldsymbol{0}\), ja ārējais spēks nedarbojas un ir izpildīts līdzsvars. Tāda pati procedūra UL metodē dod \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); tā kā to skaitliskās vērtības apmierina \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), turpmāk, izņemot gadījumus, kad nepieciešama atšķiršana, izmanto pierakstu \(\boldsymbol{Q}\). Globālo ārējo spēku vektoru \(\boldsymbol{F}\) iegūst ar tādu pašu uzkrāšanu.

Realizācijā kopa \(\mathcal{E}(i_g)\) netiek izveidota tieši; tā vietā ieguldījumus pievieno atbilstošajām komponentēm elementu ciklā.

Inicializē globālo iekšējo spēku vektoru Q ar 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (elementu skaits)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Globālo ārējo spēku vektoru \(\boldsymbol{F}\) izveido ar tādu pašu procedūru. Šo elementu mezglu lielumu pievienošanas un glabāšanas operāciju vektoros un matricās, kas numurēti pēc globālā mezgla numura, sauc par montāžu. Otrās kārtas tenzoriem, kas saistīti ar diviem mezglu numuriem (piemēram, stinguma matricām), tādu pašu montāžu iegūst, izmantojot kopu \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{un}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (konkrēto izveidi skatiet sadaļā Pieskares stinguma matrica).

Risināmie nelineārie vienādojumi

Ievietojot samontētos iekšējos un ārējos spēkus Virtuālā darba principā un izmantojot to, ka tas ir spēkā jebkurai testa funkcijai \(\delta\boldsymbol{u}^n\), kas apmierina ģeometriskos robežnosacījumus, iegūst

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

Inkrementālās analīzes kontekstā (Inkrementālās analīzes shēma) atjauno laika apakšindeksu \(_{n+1}\) un izlaiž augšindeksu \(^n\), kas apzīmē globālo mezglu vektoru. Tad risināmais vienādojums ir

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Tādējādi diskretizētais robežvērtību uzdevums noteikt mezgla pārvietojumu \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) laikā \(t_{n+1}\) reducējas uz šī nelineārā pārvietojuma vienādojuma atrisināšanu kopā ar ģeometriskajiem robežnosacījumiem. Vienādojuma linearizācija un pieskares stinguma matricas izveide aprakstīta sadaļā Pieskares stinguma matrica, bet iteratīvā risināšanas metode — sadaļā Ņūtona–Rafsona metode.

Saistītās tēmas