Pāriet uz saturu

3D cietķermeņa elementu formas funkcijas

Šajā nodaļā apkopotas dabisko koordinātu sistēmas un formas funkciju \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) tiešās izteiksmes, kas ieviestas sadaļā Formas funkcijas un galīgo elementu aproksimācija, trīsdimensiju cietķermeņa elementiem, kurus FrontISTR izmanto kontinuuma analīzē. Seši elementu veidi ir pirmās/otrās kārtas tetraedri (341/342), pirmās/otrās kārtas trīsstūra prizmas (351/352) un pirmās/otrās kārtas heksaedri (361/362). Mezglu secību un skaldņu numurus HEC-MW tīkla formātā skatiet funkciju atsauces sadaļā Elementu bibliotēka.

Elementa integrēšanas izveides procedūra no šīm formas funkcijām un Jakobi determinanta atbilst sadaļai Skaitliskā integrēšana. B-bar, F-bar un nesaderīgie formulējumi elementam 361, kā arī siju un čaulu elementu formas funkcijas apskatītas sadaļā Uzlabotas elementu formulācijas.

Dabisko koordinātu sistēmas un iekšējā mezglu secība

Formas funkcijas definē katra elementa dabiskajās koordinātās \(\boldsymbol{r}\). Trīsdimensiju cietķermeņa elementi atkarībā no elementa formas izmanto šādas trīs dabisko koordinātu sistēmas.

  • Heksaedri (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraedri (341/342): tilpuma koordinātas \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), kur \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) un \(L_i \ge 0\). Izvēloties \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) kā neatkarīgos mainīgos, \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Trīsstūra prizmas (351/352): pamatnes trīsstūra tilpuma koordinātas \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) apvieno ar aksiālo koordinātu \(\zeta \in [-1, 1]\), veidojot \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Palīglielumu \(a = 1 - \xi - \eta\) izmanto kā trešo tilpuma koordinātu pamatnē.

Pirmās kārtas elementiem elementa mezglu numerācija HEC-MW ievades formātā un iekšējā formātā ir vienāda. Otrās kārtas elementiem vidusmalu mezglu secības konvencijas atšķiras. FrontISTR kā ievadi pieņem HEC-MW formātu (vispirms ap elementu uzskaita stūra mezglus, pēc tam vidusmalu mezglus malu secībā 1-2, 2-3, …), bet elementu bibliotēkas formas funkcijas ir realizētas, pieņemot citu mezglu secību.

Atšķirību starp abiem formātiem atrisina hecmw2fstr_mesh_conv, ko izsauc uzreiz pēc tīkla ievades un kas pārkārto katra elementa mezglus. No trīsdimensiju cietķermeņa elementiem tiek konvertēti šādi divi veidi.

Elementa tips Konversijas tabula Apraksts
342 (otrās kārtas tetraedrs) Table342 Pārkārto 10 mezglus uz \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (otrās kārtas trīsstūra prizma) Table352 Pārkārto 15 mezglus uz \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Tā kā pārkārtošanu veic tieši masīvā, kurā glabājas elementu savienojamība, visi turpmākie elementu bibliotēkas izsaukumi izmanto FrontISTR iekšējo mezglu secību. Otrās kārtas heksaedra elementam 362 konversijas tabulas nav, jo vidusmalu mezglu secība HEC-MW ievadē un FrontISTR iekšējā formātā ir vienāda. Rezultātu izvadē apgrieztā konversija fstr2hecmw_mesh_conv pirms rakstīšanas atjauno HEC-MW mezglu secību, tādēļ lietotājam gan ievadē, gan izvadē jāņem vērā tikai HEC-MW formāts. Tālāk dotajās formas funkcijās mezglu numuri izmanto konvertēto FrontISTR iekšējo formātu.

Pirmās kārtas elementu formas funkcijas

Pirmās kārtas tetraedra elementam (341) formas funkcijas ir pašas tilpuma koordinātas:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Pirmās kārtas trīsstūra prizmas elementam (351) formas funkcijas ir pamatnes trīsstūra lineāro formas funkciju (\(a, \xi, \eta\)) un aksiālo lineāro formas funkciju (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) reizinājumi:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Pirmās kārtas heksaedra elementam (361) formas funkcijas ir lineāro formas funkciju tenzoru reizinājumi trīs koordinātu virzienos:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Šeit \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) ir mezgla \(\alpha\) dabisko koordinātu vērtības (katra komponente ir \(\pm 1\)).

Otrās kārtas elementu formas funkcijas

Otrās kārtas tetraedra elementam (342) formas funkcijas iedala četros stūra mezglos un sešos vidusmalu mezglos:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Vidusmalu mezgli 5–10 attiecīgi atbilst malu 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 un 3-4 viduspunktiem.

Otrās kārtas trīsstūra prizmas elements (352) sastāv no sešiem stūra mezgliem, sešiem vidusmalu mezgliem uz trīsstūra skaldnēm un trim vidusmalu mezgliem uz aksiālajām malām:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Vidusmalu mezgli 7–9 atbilst apakšējā trīsstūra malu viduspunktiem (\(\zeta = -1\)), mezgli 10–12 — augšējā trīsstūra malu viduspunktiem (\(\zeta = +1\)), bet mezgli 13–15 — aksiālo malu viduspunktiem.

Otrās kārtas heksaedra elements (362) ir Serendipity saimes 20 mezglu elements. Lai mezgla \(\alpha\) dabisko koordinātu vērtības būtu \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Stūra mezgliem (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), katrai komponentei esot \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Vidusmalu mezgliem (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), kur viena no trim dabiskajām koordinātām ir \(0\), bet pārējās divas ir \(\pm 1\)) mezgliem ar \(\xi_\alpha = 0\) (malas orientētas \(\xi\) virzienā) ir

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Vidusmalu mezgli, kuru malas virziens ir \(\eta\) vai \(\zeta\) ass, tiek definēti analogi, attiecīgo dabisko koordinātu izslēdzot ar kvadrāta locekli.

Saistītās tēmas